elemento cero

En matemáticas , el cero es una de las diversas generalizaciones del número cero a otras estructuras algebraicas . Estos significados alternativos pueden o no reducirse a lo mismo, dependiendo del contexto.

Una identidad aditiva es el elemento identidad en un grupo aditivo o monoide . Corresponde al elemento${\displaystyle 0}$de tal manera que para todos${\displaystyle x}$en el grupo,${\displaystyle 0+x=x+0=x}$Algunos ejemplos de identidad aditiva incluyen:

• El vector cero bajo la suma de vectores : el vector cuyos componentes son todos${\displaystyle 0}$; en un espacio vectorial normado, su norma (longitud) también es${\displaystyle 0}$. A menudo se denota como${\displaystyle \mathbf {0} }$o${\displaystyle {\vec {0}}}$. ^{[ 1 ]}
• La función cero o mapa cero definido por${\displaystyle z(x)=0}$, bajo adición puntual${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$
• El conjunto vacío bajo la unión de conjuntos
• Una suma vacía o un coproducto vacío
• Un objeto inicial en una categoría (un coproducto vacío y, por lo tanto, una identidad bajo coproductos )

Un elemento absorbente en un semigrupo multiplicativo o semianillo generaliza la propiedad${\displaystyle 0\cdot x=0}$Algunos ejemplos son:

• El conjunto vacío , que es un elemento absorbente bajo el producto cartesiano de conjuntos, ya que${\displaystyle \varnothing \times S=\varnothing }$
• La función cero o mapa cero definido por${\displaystyle z(x)=0}$bajo multiplicación puntual${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

Muchos elementos absorbentes son también identidades aditivas, incluyendo el conjunto vacío y la función cero. Otro ejemplo importante es el elemento distinguido.${\displaystyle 0}$en un campo o anillo , que es a la vez la identidad aditiva y el elemento absorbente multiplicativo, y cuyo ideal principal es el ideal más pequeño.

Un objeto cero en una categoría es a la vez un objeto inicial y terminal (y, por lo tanto, una identidad tanto bajo coproductos como bajo productos ). Por ejemplo, la estructura trivial (que contiene solo la identidad) es un objeto cero en categorías donde los morfismos deben mapear identidades a identidades. Algunos ejemplos específicos incluyen:

• El grupo trivial , que contiene únicamente la identidad (un objeto cero en la categoría de grupos ).
• El módulo cero , que contiene únicamente la identidad (un objeto cero en la categoría de módulos sobre un anillo).

Un morfismo cero en una categoría es un elemento absorbente generalizado bajo composición de funciones : cualquier morfismo compuesto con un morfismo cero da como resultado un morfismo cero. Específicamente, si${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$es el morfismo cero entre los morfismos de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$, y${\displaystyle f:A\to X}$y${\displaystyle g:Y\to B}$son morfismos arbitrarios, entonces${\displaystyle g\circ 0_{XY}=0_{XB}}$y${\displaystyle 0_{XY}\circ f=0_{AY}}$.

Si una categoría tiene cero objetos${\displaystyle 0}$, entonces existen morfismos canónicos${\displaystyle X\to 0}$y${\displaystyle 0\to Y}$y al componerlos se obtiene un morfismo cero.${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$En la categoría de grupos , por ejemplo, los morfismos cero son morfismos que siempre devuelven identidades de grupo, generalizando así la función.${\displaystyle z(x)=0}$.

Un elemento mínimo en un conjunto o retículo parcialmente ordenado a veces puede llamarse elemento cero y escribirse como${\displaystyle 0}$o${\displaystyle \bot }$.

En matemáticas , el módulo cero es aquel que consta únicamente de la identidad aditiva de la función sumatoria . En los números enteros , esta identidad es cero , lo que le da el nombre de módulo cero . Demostrar que el módulo cero es, de hecho, un módulo es sencillo; es trivialmente cerrado bajo la suma y la multiplicación .

En matemáticas , el ideal cero en un anillo${\displaystyle R}$es el ideal${\displaystyle 0}$Consta únicamente del elemento neutro aditivo (o elemento cero ). El hecho de que sea un ideal se deduce directamente de la definición.

En matemáticas , particularmente en álgebra lineal , una matriz nula es una matriz con todas sus entradas iguales a cero . Se denota alternativamente con el símbolo${\displaystyle O}$. ^{[ 2 ]} Algunos ejemplos de matrices nulas son

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

El conjunto de matrices m × n con entradas en un anillo K forma un módulo${\displaystyle K_{m,n}}$La matriz cero${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$en${\displaystyle K_{m,n}}$es la matriz con todas las entradas iguales a${\displaystyle 0_{K}}$, dónde${\displaystyle 0_{K}}$es la identidad aditiva en K.

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

La matriz cero es la identidad aditiva en${\displaystyle K_{m,n}}$. Es decir, para todos${\displaystyle A\in K_{m,n}}$:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

Existe exactamente una matriz nula de cualquier tamaño dado.${\displaystyle m\times n}$(con entradas de un anillo dado), por lo que cuando el contexto es claro, a menudo se hace referencia a la matriz cero. En un anillo de matrices , la matriz cero cumple la función tanto de identidad aditiva como de elemento absorbente. En general, el elemento cero de un anillo es único y se suele denotar como${\displaystyle 0}$sin ningún subíndice que indique el anillo padre. Por lo tanto, los ejemplos anteriores representan matrices nulas sobre cualquier anillo.

La matriz cero también representa la transformación lineal que envía todos los vectores al vector cero.

En matemáticas , el tensor cero es un tensor , de cualquier orden, cuyas componentes son todas cero . El tensor cero de orden${\displaystyle 1}$A veces se le conoce como el vector cero.

El producto tensorial de cualquier tensor con cualquier tensor cero da como resultado otro tensor cero. Entre los tensores de un tipo dado, el tensor cero de ese tipo actúa como elemento neutro aditivo.

• semigrupo nulo
• divisor cero
• Objeto cero
• Cero de una función
• Cero — usos no matemáticos