Control lineal con parámetros variables

• Una desventaja importante del enfoque clásico de programación de ganancia es que el rendimiento adecuado y, en algunos casos, incluso la estabilidad no están garantizados en condiciones de funcionamiento distintas a los puntos de diseño. ^{[ 1 ]}
• La programación de controladores multivariables suele ser una tarea tediosa y que consume mucho tiempo, y esto es especialmente cierto en el campo del control aeroespacial, donde la dependencia de los parámetros de los controladores es grande debido a los mayores rangos operativos y a los requisitos de rendimiento más exigentes.
• También es importante que las variables de programación seleccionadas reflejen los cambios en la dinámica de la planta a medida que cambian las condiciones de operación. En la programación de ganancia, es posible incorporar metodologías de control robusto lineal en el diseño de control no lineal; sin embargo, la estabilidad global, la robustez y las propiedades de rendimiento no se abordan explícitamente en el proceso de diseño.

Aunque el enfoque es simple y la carga computacional de los métodos de programación de linealización suele ser mucho menor que la de otros métodos de diseño no lineal, sus desventajas inherentes a veces superan sus ventajas y requieren un nuevo paradigma para el control de sistemas dinámicos. Nuevas metodologías como el control adaptativo basado en redes neuronales artificiales (RNA), lógica difusa , aprendizaje por refuerzo , etc., intentan abordar estos problemas. La falta de pruebas de estabilidad y rendimiento de estos enfoques en todo el rango de parámetros operativos exige el diseño de un controlador dependiente de parámetros con propiedades garantizadas, para lo cual un controlador lineal de parámetros variables podría ser un candidato ideal.

En ingeniería de control , una representación en el espacio de estados es un modelo matemático de un sistema físico como un conjunto de entradas,${\displaystyle u}$producción,${\displaystyle y}$y variables de estado ,${\displaystyle x}$relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden . La evolución dinámica de un sistema no lineal y no autónomo se representa mediante

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u,t)}$

Si el sistema es variable en el tiempo

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t),u(t),t),x(t_{0})}$

${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},u(t_{0})=u_{0}}$

Las variables de estado describen el "estado" matemático de un sistema dinámico y, al modelar sistemas no lineales complejos y de gran tamaño , si dichas variables de estado se eligen de forma compacta por razones de practicidad y simplicidad, entonces faltan partes de la evolución dinámica del sistema. La descripción del espacio de estados involucrará otras variables llamadas variables exógenas , cuya evolución no se comprende o es demasiado complicada para ser modelada, pero que afectan la evolución de las variables de estado de una manera conocida y son medibles en tiempo real mediante sensores . Cuando se utiliza un gran número de sensores, algunos de estos sensores miden salidas en el sentido de la teoría de sistemas como funciones no lineales explícitas y conocidas de los estados modelados y el tiempo, mientras que otros sensores son estimaciones precisas de las variables exógenas. Por lo tanto, el modelo será un sistema no lineal que varía con el tiempo, con la variación temporal futura desconocida, pero medida por los sensores en tiempo real. En este caso, si${\displaystyle w(t),w}$denota el vector de variables exógenas y${\displaystyle x(t)}$denota el estado modelado, entonces las ecuaciones de estado se escriben como

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t),w(t),{\dot {w}}(t),u(t))}$

El parámetro${\displaystyle w}$Se desconoce su evolución, pero se mide en tiempo real y se utiliza para el control. Si la ecuación anterior del sistema dependiente de parámetros es lineal en el tiempo, se denomina sistema lineal dependiente de parámetros. Se escriben de forma similar a la forma lineal invariante en el tiempo, aunque con la inclusión de un parámetro variable en el tiempo.

${\displaystyle {\dot {x}}=A(w(t))x(t)+B(w(t))u(t)}$

${\displaystyle y=C(w(t))x(t)+D(w(t))u(t)}$

Los sistemas dependientes de parámetros son sistemas lineales, cuyas descripciones en el espacio de estados son funciones conocidas de parámetros que varían con el tiempo. La variación temporal de cada uno de los parámetros no se conoce de antemano, pero se supone que es medible en tiempo real. El controlador está restringido a ser un sistema lineal, cuyas entradas en el espacio de estados dependen causalmente del historial del parámetro. Existen tres metodologías diferentes para diseñar un controlador LPV, a saber:

1. Transformaciones fraccionarias lineales que se basan en el teorema de la pequeña ganancia para establecer límites en el rendimiento y la robustez.
2. Función de Lyapunov cuadrática simple (SQLF)
3. Función de Lyapunov cuadrática dependiente de parámetros (PDQLF) para limitar el nivel de rendimiento alcanzable.

Estos problemas se resuelven reformulando el diseño de control en problemas de factibilidad convexos de dimensión finita, que pueden resolverse de forma exacta, y problemas de factibilidad convexos de dimensión infinita, que pueden resolverse de forma aproximada. Esta formulación constituye un tipo de problema de programación de ganancia y, a diferencia de la programación de ganancia clásica, este enfoque aborda el efecto de las variaciones de parámetros con estabilidad y rendimiento garantizados.