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Articulo de referencia

El método de Lill

Hallar las raíces −2, −1 (raíz repetida) y −1/3 de la ecuación cuártica 3 x 4 +13 x 3 +19 x 2 +11 x +2 usando el método de Lill. Los segmentos negros están etiquetados con sus l...

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Hallar las raíces −2, −1 (raíz repetida) y −1/3 de la ecuación cuártica 3 x 4 +13 x 3 +19 x 2 +11 x +2 usando el método de Lill. Los segmentos negros están etiquetados con sus longitudes (coeficientes en la ecuación), mientras que cada línea coloreada con pendiente inicial m y el mismo punto final corresponde a una raíz real.

En matemáticas , el método de Lill es un método visual para hallar las raíces reales de un polinomio univariado de cualquier grado . [ 1 ] Fue desarrollado por el ingeniero austriaco Eduard Lill en 1867. [ 2 ] Un trabajo posterior de Lill abordó el problema de las raíces complejas . [ 3 ]

El método de Lill consiste en trazar una trayectoria de segmentos rectos que forman ángulos rectos , con longitudes iguales a los coeficientes del polinomio. Las raíces del polinomio se pueden hallar como las pendientes de otras trayectorias perpendiculares que también conectan el punto de inicio con el punto final, pero con vértices sobre las líneas de la primera trayectoria.

Descripción del método

Hallar las raíces −1/2, −1/ √2 y 1/√2 del polinomio cúbico 4x³ + 2x² − 2x − 1 , mostrando cómo se manejan los coeficientes negativos y los segmentos extendidos. Cada número representado en una línea de color es el negativo de su pendiente y, por lo tanto , una raíz real del polinomio.

Para emplear este método, se dibuja un diagrama partiendo del origen. Se traza un segmento de línea hacia la derecha según la magnitud del coeficiente principal, de modo que, con un coeficiente negativo, el segmento termine a la izquierda del origen. Desde el final del primer segmento, se traza otro segmento hacia arriba según la magnitud del segundo coeficiente, luego hacia la izquierda según la magnitud del tercero, luego hacia abajo según la magnitud del cuarto, y así sucesivamente. La secuencia de direcciones (no giros) es siempre hacia la derecha, hacia arriba, hacia la izquierda, hacia abajo, y luego se repite. Por lo tanto, cada giro es en sentido contrario a las agujas del reloj. El proceso continúa para cada coeficiente del polinomio, incluyendo los ceros, con coeficientes negativos que se mueven hacia atrás. El punto final alcanzado, al final del segmento correspondiente al término constante de la ecuación, es el término.

Luego se lanza una línea desde el origen en algún ángulo θ , se refleja en cada segmento de línea en ángulo recto (no necesariamente el ángulo de reflexión "natural"), y se refracta en ángulo recto a través de la línea que pasa por cada segmento (incluida una línea para los coeficientes cero) cuando la trayectoria angular no toca el segmento de línea en esa línea. [ 4 ] Las líneas verticales y horizontales se reflejan o refractan a través de en la siguiente secuencia: la línea que contiene el segmento correspondiente al coeficiente de x n − 1 , luego de x n − 2 etc. Eligiendo θ de modo que la trayectoria caiga en el término, − tan( θ ) es una raíz de este polinomio. Para cada cero real del polinomio, habrá un ángulo inicial y una trayectoria únicos que caerán en el término. Un cuadrático con dos raíces reales, por ejemplo, tendrá exactamente dos ángulos que satisfacen las condiciones anteriores.

Para raíces complejas, también se debe encontrar una serie de triángulos semejantes , pero con los vértices del camino de la raíz desplazados del camino del polinomio por una distancia igual a la parte imaginaria de la raíz. En este caso, el camino de la raíz no será rectangular. [ 5 ] [ 3 ]

Explicación

La construcción en efecto evalúa el polinomio según el método de Horner . Para el polinomioanorteincógnitanorte+anorte−1incógnitanorte−1+anorte−2incógnitanorte−2+⋯{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots }, los valores deanorteincógnita{\displaystyle a_{n}x},(anorteincógnita+anorte−1)incógnita{\displaystyle (a_{n}x+a_{n-1})x},((anorteincógnita+anorte−1)incógnita+anorte−2)incógnita{\displaystyle ((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x}... se generan sucesivamente como distancias entre los vértices del polinomio y las raíces. Para una raíz del polinomio, el valor final es cero, por lo que el último vértice coincide con el extremo de la ruta del polinomio.

Propiedades adicionales

Una línea de solución que da una raíz es similar a la construcción de Lill para el polinomio con esa raíz eliminada, porque la construcción visual es análoga a la división sintética del polinomio por un mónico lineal (raíz) ( regla de Ruffini ).

A partir de la simetría del diagrama, se puede observar fácilmente que las raíces del polinomio invertido son las recíprocas de las raíces originales.

La construcción también puede realizarse utilizando giros en el sentido de las agujas del reloj en lugar de giros en sentido contrario. Cuando se interpreta una trayectoria utilizando la otra convención, corresponde al polinomio reflejado (se cambia el signo de cada coeficiente impar) y se niegan las raíces.

Cuando se recorre la trayectoria en ángulo recto en la otra dirección, pero con la misma convención de dirección, corresponde al polinomio reflejado invertido, y las raíces son los recíprocos negativos de las raíces originales. [ 4 ]

Cómo hallar raíces cuadráticas usando el teorema de Tales.

Hallar las raíces de 3 x 2 + 5 x − 2

El método de Lill se puede utilizar junto con el teorema de Tales para hallar las raíces reales de un polinomio cuadrático.

En este ejemplo con 3 x² + 5 x − 2 , los segmentos de línea del polinomio se dibujan primero en negro, como se muestra arriba. Se dibuja un círculo con el segmento de línea recta que une los puntos inicial y final , formando un diámetro.

Según el teorema de Tales, el triángulo que contiene estos puntos y cualquier otro punto de la circunferencia es un triángulo rectángulo . Las intersecciones de esta circunferencia con el segmento medio del método de Lill, extendido si es necesario, definen así las dos trayectorias angulares del método de Lill, coloreadas en azul y rojo.

El negativo de las pendientes de sus primeros segmentos, m , produce las raíces reales 1/3 y − 2 .

Encontrar raíces mediante el plegado de papel

Halla las raíces de 3 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 2

En 1936, Margherita Piazzola Beloch demostró cómo el método de Lill podía adaptarse para resolver ecuaciones cúbicas mediante el plegado de papel . [ 6 ] Si se permiten pliegues simultáneos, cualquier ecuación de grado n con raíz real puede resolverse mediante n − 2 pliegues simultáneos. [ 7 ]

En este ejemplo con 3 x 3 + 2 x 2 − 7 x + 2 , los segmentos de recta del polinomio se dibujan primero en una hoja de papel (negro). Se trazan líneas que pasan por las reflexiones de los puntos inicial y final en el segundo y tercer segmento, respectivamente (círculo y cuadrado tenues), y paralelas a ellos (líneas grises).

Para cada raíz, el papel se dobla hasta que el punto de inicio (círculo negro) y el punto final (cuadrado negro) se reflejan en estas líneas. El eje de reflexión (línea de puntos y rayas) define la trayectoria angular correspondiente a la raíz (azul, morado y rojo). El negativo de las pendientes de sus primeros segmentos, m , produce las raíces reales 1/3 , 1 y −2 .

Véase también

  • Círculo de Carlyle , que se basa en una versión ligeramente modificada del método de Lill para una ecuación cuadrática normalizada.

Referencias

  1. ↑ Dan Kalman (2009). Excursiones matemáticas poco comunes: Polinomia y ámbitos relacionados . AMS. págs. 13-22 . ISBN  978-0-88385-341-2.
  2. ^ YO Lill (1867). "Résolution Graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but" (PDF) . Nuevos anales de matemáticas . 2. 6 : 359–362 .
  3. ^ ME Lill (1868). "Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires" (PDF) . Nuevos anales de matemáticas . 2. 7 : 363–367 .
  4. 1 2 Bradford, Phillips Verner. "Visualización de soluciones a ecuaciones algebraicas de grado n mediante trayectorias geométricas de ángulo recto" . www.concentric.net. Archivado del original el 2 de mayo de 2010. Recuperado el 3 de febrero de 2012 .
  5. ↑ Tabachnikov, Serge (1 de marzo de 2017). "Polinomios como polígonos" (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 39 (1): 41– 43. doi : 10.1007/s00283-016-9681-y . ISSN 1866-7414 . S2CID 126072703 .  
  6. ↑ Thomas C. Hull (abril de 2011). "Resolución de ecuaciones cúbicas con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill" (PDF) . American Mathematical Monthly . 118 (4): 307–315 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 . S2CID 2540978 . 
  7. ↑ Roger C. Alperin; Robert J. Lang (2009). "Axiomas del origami de uno, dos y múltiples pliegues" (PDF) . 4OSME . AK Peters. Archivado del original (PDF) el 13 de febrero de 2022. Recuperado el 20 de abril de 2012 .
  • Animación para el método de Lill
  • Vídeo de Mathologer: "Resolviendo ecuaciones disparando láseres a tortugas"