Métodos computacionales de frente de luz

La cuantización del frente de luz ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} de las teorías cuánticas de campos proporciona una alternativa útil a la cuantización ordinaria de tiempo igual . En particular, puede conducir a una descripción relativista de sistemas ligados en términos de funciones de onda cuántico-mecánicas . La cuantización se basa en la elección de coordenadas del frente de luz, ^{[ 4 ]} donde${\displaystyle x^{+}\equiv ct+z}$desempeña el papel del tiempo y la coordenada espacial correspondiente es${\displaystyle x^{-}\equiv ct-z}$. Aquí,${\displaystyle t}$es el tiempo ordinario,${\displaystyle z}$es una coordenada cartesiana y${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz . Las otras dos coordenadas cartesianas,${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, permanecen intactas y a menudo se denominan transversales o perpendiculares, denotadas por símbolos del tipo${\displaystyle {\vec {x}}_{\perp }=(x,y)}$. La elección del marco de referencia donde el tiempo${\displaystyle t}$y${\displaystyle z}$Los ejes se definen y pueden dejarse sin especificar en una teoría relativista exactamente soluble, pero en los cálculos prácticos algunas opciones pueden ser más adecuadas que otras.

La solución de la ecuación de autovalores del hamiltoniano LFQCD utilizará los métodos matemáticos disponibles de la mecánica cuántica y contribuirá al desarrollo de técnicas de computación avanzadas para grandes sistemas cuánticos, incluidos los núcleos . Por ejemplo, en el método de cuantización del cono de luz discretizado (DLCQ), ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} se introducen condiciones periódicas tales que los momentos se discretizan y el tamaño del espacio de Fock se limita sin destruir la invariancia de Lorentz. La resolución de una teoría cuántica de campos se reduce entonces a diagonalizar una gran matriz hermitiana dispersa . El método DLCQ se ha utilizado con éxito para obtener el espectro completo y las funciones de onda del frente de luz en numerosas teorías cuánticas de campos modelo como QCD con una o dos dimensiones espaciales para cualquier número de sabores y masas de quarks. Una extensión de este método a teorías supersimétricas , SDLCQ, ^{[ 11 ] [ 12 ]} aprovecha el hecho de que el hamiltoniano del frente de luz puede factorizarse como un producto de operadores de escalera de subida y bajada . SDLCQ ha proporcionado nuevas perspectivas sobre varias teorías supersimétricas, incluyendo evidencia numérica directa ^{[ 13 ]} de una dualidad supergravedad /super-Yang-Mills conjeturada por Maldacena .

Es conveniente trabajar en base a Fock.${\displaystyle \{|n:p_{i}^{+},{\vec {p}}_{\perp i}\rangle \}}$donde los momentos del frente de luz${\displaystyle {\mathcal {P}}^{+}}$y${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}_{\perp }}$son diagonales. El estado${\displaystyle |{\underline {P}}\rangle }$se da mediante una expansión

${\displaystyle |{\underline {P}}\rangle =\sum _{n}\int [dx]_{n}\,[d^{2}k_{\perp }]_{n}\,\psi _{n}(x,{\vec {k}}_{\perp })|n:xP^{+},x{\vec {P}}_{\perp }+{\vec {k}}_{\perp }\rangle \,,}$

con

${\displaystyle [dx]_{n}=4\pi \delta (1-\sum _{i=1}^{n}x_{i})\prod _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{4\pi {\sqrt {x_{i}}}}}\,,\;\;\;[d^{2}k_{\perp }]_{n}=4\pi ^{2}\delta (\sum _{i=1}^{n}{\vec {k}}_{\perp i})\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{2}k_{\perp i}}{4\pi ^{2}}}\,.}$

${\displaystyle \psi _{n}}$se interpreta como la función de onda de la contribución de estados con${\displaystyle n}$partículas. El problema de los valores propios${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}|{\underline {P}}\rangle ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}|{\underline {P}}\rangle }$es un conjunto de ecuaciones integrales acopladas para estas funciones de onda. Si bien la notación presentada solo admite un tipo de partícula, la generalización a más de una es trivial.

Un enfoque sistemático para la discretización del problema de valores propios es el método DLCQ sugerido originalmente por Pauli y Brodsky. ^{[ 5 ] [ 6 ]} En esencia, es el reemplazo de integrales por aproximaciones trapezoidales, con intervalos igualmente espaciados en los momentos longitudinal y transversal.

${\displaystyle p^{+}\rightarrow {\frac {2\pi }{L}}n\,,\;\;{\vec {p}}_{\perp }\rightarrow ({\frac {\pi }{L_{\perp }}}n_{x},{\frac {\pi }{L_{\perp }}}n_{y}),}$

correspondientes a condiciones de contorno periódicas en los intervalos${\displaystyle -L<x^{-}<L}$y${\displaystyle -L_{\perp }<x,y<L_{\perp }}$Las escalas de longitud${\displaystyle L}$y${\displaystyle L_{\perp }}$determinar la resolución del cálculo. Debido a que el componente positivo del momento siempre es positivo, el límite${\displaystyle L\rightarrow \infty }$puede intercambiarse por un límite en términos de la resolución entera${\displaystyle K\equiv {\frac {L}{2\pi }}P^{+}}$. La combinación de componentes de momento que define${\displaystyle H_{\rm {LC}}=P^{+}{\mathcal {P}}^{-}}$es entonces independiente de${\displaystyle L}$. Las fracciones de momento longitudinal${\displaystyle x_{i}\equiv p_{i}^{+}/P^{+}}$convertirse en razones de números enteros${\displaystyle n_{i}/K}$. Porque el${\displaystyle n_{i}}$Si todos son positivos, DLCQ limita automáticamente el número de partículas a no ser más de${\displaystyle K}$Cuando se impone un límite al momento transversal mediante un umbral elegido, se obtiene un problema de matriz finita; sin embargo, la matriz puede ser demasiado grande para las técnicas numéricas actuales. En ese caso, se puede realizar una truncación explícita en el número de partículas , el equivalente en el cono de luz de la aproximación de Tamm-Dancoff. Los tamaños de base grandes requieren técnicas especiales para la diagonalización de matrices; la que se suele utilizar es el algoritmo de Lanczos . Para el caso de una dimensión espacial, se puede resolver fácilmente el espectro hadrónico de QCD para cualquier masa y color de quark.

La mayoría de los cálculos DLCQ se realizan sin modos cero. Sin embargo, en principio, cualquier base DLCQ con condiciones de contorno periódicas puede incluirlos como modos restringidos, dependiendo de los otros modos con momento distinto de cero. La restricción proviene del promedio espacial de la ecuación de Euler-Lagrange para el campo. Esta ecuación de restricción puede ser difícil de resolver, incluso para las teorías más simples. Sin embargo, se puede encontrar una solución aproximada, consistente con las aproximaciones subyacentes del propio método DLCQ. ^{[ 14 ]} Esta solución genera las interacciones efectivas de modo cero para el hamiltoniano del frente de luz.

Los cálculos en el sector masivo que se realizan sin considerar los modos cero generalmente arrojan el resultado correcto. Ignorar los modos cero simplemente empeora la convergencia. Una excepción son las teorías escalares cúbicas, donde el espectro se extiende hasta menos infinito. Un cálculo DLCQ sin considerar los modos cero requerirá una extrapolación cuidadosa para detectar este infinito, mientras que un cálculo que los incluye proporciona el resultado correcto de inmediato. Los modos cero se evitan si se utilizan condiciones de contorno antiperiódicas.

La forma supersimétrica de DLCQ (SDLCQ) ^{[ 11 ] [ 12 ]} está diseñada específicamente para mantener la supersimetría en la aproximación discreta. El DLCQ ordinario viola la supersimetría mediante términos que no sobreviven al límite continuo . La construcción SDLCQ discretiza la supercarga.${\displaystyle Q^{-}}$y define el hamiltoniano${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}}$por la relación de superálgebra${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}=\{Q^{-},Q^{-}\}/2{\sqrt {2}}}$El rango de momento transversal está limitado por un simple límite en el valor del momento. Se espera que los efectos de los modos cero se cancelen.

Además de los cálculos de espectros, esta técnica se puede utilizar para calcular valores esperados. Una de esas cantidades es un correlador.${\displaystyle \langle T^{++}(x)T^{++}(y)\rangle }$del tensor de energía de tensión , se ha calculado como una prueba de una conjetura de Maldacena . Se desarrolló un método basado en Lanczos muy eficiente para este cálculo. Los resultados más recientes proporcionan evidencia directa de la conjetura. ^{[ 13 ]}

El método de la red transversal ^{[ 15 ] [ 16 ]} reúne dos ideas poderosas en la teoría cuántica de campos: la cuantización hamiltoniana en el cono de luz y la teoría de gauge en la red. La teoría de gauge en la red es un medio muy popular para regular, para el cálculo, las teorías de gauge que describen toda la materia visible en el universo; en particular, demuestra manifiestamente el confinamiento lineal de la QCD que mantiene a los quarks y gluones dentro de los protones y neutrones del núcleo atómico. En general, para obtener soluciones de una teoría cuántica de campos, con sus grados de libertad continuamente infinitos, se deben establecer límites cinemáticos u otras restricciones en el espacio de estados cuánticos. Para eliminar los errores que esto introduce, se pueden extrapolar estos límites, siempre que exista un límite continuo , y/o renormalizar las observables para tener en cuenta los grados de libertad por encima del límite. Para los propósitos de la cuantización hamiltoniana, se debe tener una dirección temporal continua. En el caso de la cuantización hamiltoniana en el cono de luz, además de la dirección temporal continua en el cono de luz,${\displaystyle x^{+}}$, es necesario mantener el${\displaystyle x^{-}}$dirección continua si se desea preservar la invariancia manifiesta del impulso de Lorentz en una dirección e incluir pequeñas energías del frente de luz.${\displaystyle p^{-}}$Por lo tanto, como máximo se puede imponer un corte de red en las direcciones espaciales transversales restantes. Esta teoría de gauge de red transversal fue propuesta por primera vez por Bardeen y Pearson en 1976. ^{[ 15 ]}

La mayoría de los cálculos prácticos realizados con la teoría de gauge de red transversal han utilizado un ingrediente adicional: la expansión dieléctrica de color. Una formulación dieléctrica es aquella en la que los elementos del grupo de gauge, cuyos generadores son los campos de gluones en el caso de la QCD, se reemplazan por variables colectivas (difuminadas, bloqueadas, etc.) que representan un promedio sobre sus fluctuaciones en escalas de distancia cortas. Estas variables dieléctricas son masivas, portan color y forman una teoría de campo de gauge efectiva con acción clásica minimizada en campo cero, lo que significa que el flujo de color se expulsa del vacío a nivel clásico. Esto mantiene la trivialidad de la estructura del vacío del frente de luz, pero surge solo para un límite de momento bajo en la teoría efectiva (correspondiente a espaciamientos de red transversal del orden de 1/2 fm en QCD). Como resultado, el hamiltoniano de límite efectivo está inicialmente mal restringido. Sin embargo, la expansión dieléctrica de color, junto con los requisitos de restauración de la simetría de Lorentz, se ha utilizado con éxito para organizar las interacciones en el hamiltoniano de una manera adecuada para la solución práctica. El espectro más preciso de grandes${\displaystyle N_{c}}$De esta forma se han obtenido gluones , así como funciones de onda del frente de luz de piones que concuerdan con una serie de datos experimentales.

El enfoque de cuantización de frente de luz base (BLFQ) ^{[ 17 ]} utiliza expansiones en productos de funciones base de partículas individuales para representar las funciones de onda del estado de Fock. Típicamente, la longitudinal (${\displaystyle x^{-}}$La dependencia ) se representa en la base DLCQ de ondas planas , y la dependencia transversal se representa mediante funciones de oscilador armónico bidimensionales . Estas últimas son ideales para aplicaciones a cavidades confinantes y son consistentes con QCD holográfica de frente de luz . ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} El uso de productos de funciones base de partículas individuales también es conveniente para la incorporación de estadísticas de bosones y fermiones , porque los productos se (anti)simetrizan fácilmente. Al emplear funciones base bidimensionales con simetría rotacional alrededor de la dirección longitudinal (donde las funciones de oscilador armónico sirven como ejemplo), se conserva el número cuántico de proyección del momento angular total, lo que facilita la determinación del momento angular total de los autoestados de masa. Para aplicaciones sin una cavidad externa, donde el momento transversal se conserva, se utiliza un método de multiplicadores de Lagrange para separar el movimiento transversal relativo del movimiento total del sistema.

La primera aplicación de BLFQ a QED resolvió el electrón en una cavidad de confinamiento transversal bidimensional y mostró cómo el momento magnético anómalo se comportaba en función de la intensidad de la cavidad. ^{[ 23 ]} La segunda aplicación de BLFQ a QED resolvió el momento magnético anómalo del electrón en el espacio libre ^{[ 24 ] [ 25 ]} y demostró concordancia con el momento de Schwinger en el límite apropiado.

La extensión de BLFQ al régimen dependiente del tiempo, es decir, BLFQ dependiente del tiempo (tBLFQ), es directa y actualmente se encuentra en desarrollo activo. El objetivo de tBLFQ es resolver la teoría de campos del frente de luz en tiempo real (con o sin campos de fondo dependientes del tiempo). Las áreas de aplicación típicas incluyen láseres intensos (véase Cuantización del frente de luz#Láseres intensos ) y colisiones de iones pesados ​​relativistas .

El método de clúster acoplado de frente de luz (LFCC) ^{[ 26 ]} es una forma particular de truncamiento para el sistema acoplado infinito de ecuaciones integrales para funciones de onda de frente de luz. El sistema de ecuaciones que proviene de la ecuación de Schrödinger de teoría de campos también requiere regularización para que los operadores integrales sean finitos. El truncamiento tradicional del sistema en el espacio de Fock, donde el número permitido de partículas es limitado, generalmente interrumpe la regularización al eliminar partes infinitas que de otro modo se cancelarían con las partes que se conservan. Si bien existen maneras de sortear esto, no son completamente satisfactorias.

El método LFCC evita estas dificultades truncando el conjunto de ecuaciones de una manera muy diferente. En lugar de truncar el número de partículas, trunca la forma en que las funciones de onda se relacionan entre sí; las funciones de onda de los estados de Fock superiores están determinadas por las funciones de onda de los estados inferiores y la exponenciación de un operador.${\displaystyle T}$. Específicamente, el autoestado se escribe de la forma${\displaystyle {\sqrt {Z}}e^{T}|\phi \rangle }$, dónde${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$es un factor de normalización y${\displaystyle |\phi \rangle }$es un estado con el número mínimo de constituyentes. El operador${\displaystyle T}$aumenta el número de partículas y conserva todos los números cuánticos relevantes, incluido el momento del frente de luz. Esto es en principio exacto pero también sigue siendo infinito, porque${\displaystyle T}$puede tener un número infinito de términos. Los modos cero pueden incluirse mediante la inclusión de su creación como términos en${\displaystyle T}$; esto genera un vacío no trivial como un estado coherente generalizado de modos cero.

El truncamiento realizado es un truncamiento de${\displaystyle T}$El problema de valores propios original se convierte en un problema de valores propios de tamaño finito para el estado de valencia .${\displaystyle |\phi \rangle }$, combinado con ecuaciones auxiliares para los términos retenidos en${\displaystyle T}$:

${\displaystyle P_{v}{\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}|\phi \rangle ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}|\phi \rangle ,\;\;\;\;(1-P_{v}){\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}|\phi \rangle =0.}$

Aquí${\displaystyle P_{v}}$es una proyección sobre el sector de valencia, y${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}\equiv e^{-T}{\mathcal {P}}^{-}e^{T}}$es el hamiltoniano efectivo LFCC. La proyección${\displaystyle 1-P_{v}}$se trunca para proporcionar las ecuaciones auxiliares suficientes para determinar las funciones en la ecuación truncada.${\displaystyle T}$operador. El hamiltoniano efectivo se calcula a partir de su expansión de Baker-Hausdorff.${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}={\mathcal {P}}^{-}+[{\mathcal {P}}^{-},T]+{\frac {1}{2}}[[{\mathcal {P}}^{-},T],T]+\cdots }$, que puede terminarse en el punto donde se crean más partículas de las que conserva la proyección truncada.${\displaystyle 1-P_{v}}$. El uso de la exponencial de${\displaystyle T}$En lugar de alguna otra función, resulta conveniente no solo por la expansión de Baker-Hausdorff, sino más generalmente porque es invertible; en principio, se podrían utilizar otras funciones que también proporcionarían una representación exacta hasta que se realice una truncación.

La truncación de${\displaystyle T}$se pueden manejar sistemáticamente. Los términos se pueden clasificar por el número de constituyentes aniquilados y el aumento neto en el número de partículas. Por ejemplo, en QCD las contribuciones de orden más bajo aniquilan una partícula y aumentan el total en uno. Estas son la emisión de un gluón de un quark, la creación de un par de quarks a partir de un gluón y la creación de un par de gluones a partir de un gluón. Cada una implica una función de momento relativo para la transición de una a dos partículas. Los términos de orden superior aniquilan más partículas y/o aumentan el total en más de uno. Estos proporcionan contribuciones adicionales a las funciones de onda de orden superior e incluso a las funciones de onda de orden inferior para estados de valencia más complicados. Por ejemplo, la función de onda para el${\displaystyle |q{\bar {q}}g\rangle }$El estado de Fock de un mesón puede tener una contribución de un término en${\displaystyle T}$que aniquila un${\displaystyle q{\bar {q}}}$se empareja y crea un par más un gluón, cuando esto actúa sobre el estado de valencia del mesón.${\displaystyle |q{\bar {q}}\rangle }$.

Las matemáticas del método LFCC tienen su origen en el método de cúmulos acoplados de muchos cuerpos utilizado en física nuclear y química cuántica . ^{[ 27 ]} Sin embargo, la física es bastante diferente. El método de muchos cuerpos trabaja con un estado de un gran número de partículas y utiliza la exponenciación de${\displaystyle T}$para incorporar correlaciones de excitaciones a estados de partícula única superiores; el número de partículas no cambia. El método LFCC parte de un pequeño número de constituyentes en un estado de valencia y utiliza${\displaystyle e^{T}}$para construir estados con más partículas; el método de solución del problema de valores propios del estado de valencia no se especifica.

El cálculo de observables físicos a partir de elementos matriciales de operadores requiere cierta precaución. El cálculo directo requeriría una suma infinita sobre el espacio de Fock. En su lugar, se puede recurrir al método de cúmulos acoplados de muchos cuerpos ^{[ 27 ],} una construcción que calcula valores esperados a partir de autoestados derechos e izquierdos. Esta construcción se puede extender para incluir elementos matriciales fuera de la diagonal y proyecciones de gauge. De esta forma, se pueden calcular cantidades físicas a partir de los autoestados LFCC derechos e izquierdos.

Los conceptos de renormalización, especialmente los métodos del grupo de renormalización en teorías cuánticas y mecánica estadística , tienen una larga historia y un alcance muy amplio. Los conceptos de renormalización que resultan útiles en teorías cuantizadas en la forma frontal de la dinámica son esencialmente de dos tipos, como en otras áreas de la física teórica. Estos dos tipos de conceptos están asociados a dos tipos de tareas teóricas implicadas en las aplicaciones de una teoría. Una tarea consiste en calcular observables (valores de cantidades definidas operacionalmente) en una teoría definida de forma inequívoca. La otra tarea consiste en definir una teoría de forma inequívoca. Esto se explica más adelante.

Dado que la formulación frontal de la dinámica busca explicar los hadrones como estados ligados de quarks y gluones, y el mecanismo de enlace no se puede describir mediante la teoría de perturbaciones, la definición de la teoría necesaria en este caso no puede limitarse a expansiones perturbativas. Por ejemplo, no basta con construir una teoría mediante la regularización de integrales de bucle orden por orden y la redefinición correspondiente de las masas, las constantes de acoplamiento y las constantes de normalización de campo también orden por orden. En otras palabras, es necesario diseñar la formulación espaciotemporal de Minkowski de una teoría relativista que no se base en ningún esquema perturbativo a priori. La formulación frontal de la dinámica hamiltoniana es considerada por muchos investigadores como el marco más adecuado para este propósito entre las opciones conocidas. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

La definición deseada de una teoría relativista implica el cálculo de tantas observables como sean necesarias para fijar todos los parámetros que aparecen en la teoría. La relación entre los parámetros y las observables puede depender del número de grados de libertad incluidos en la teoría.

Por ejemplo, consideremos partículas virtuales en una formulación candidata de la teoría. Formalmente, la relatividad especial requiere que el rango de momentos de las partículas sea infinito, ya que se puede cambiar el momento de una partícula en una cantidad arbitraria mediante un cambio de sistema de referencia. Si la formulación no distingue ningún sistema de referencia inercial, se debe permitir que las partículas tengan cualquier valor de momento. Dado que los modos de campo cuántico correspondientes a partículas con diferentes momentos forman distintos grados de libertad, el requisito de incluir infinitos valores de momento implica que la teoría debe involucrar infinitos grados de libertad. Sin embargo, por razones matemáticas, al verse obligados a usar computadoras para cálculos suficientemente precisos, se debe trabajar con un número finito de grados de libertad. Es necesario limitar el rango de momento mediante algún límite.

Al plantear una teoría con un límite finito por razones matemáticas, se espera que dicho límite sea lo suficientemente grande como para evitar su aparición en observables de interés físico. Sin embargo, en las teorías cuánticas de campos locales, relevantes para la física hadrónica, la situación no es tan sencilla. En concreto, las partículas con diferentes momentos se acoplan a través de la dinámica de forma no trivial, y los cálculos destinados a predecir observables arrojan resultados que dependen de los límites. Además, lo hacen de forma divergente.

Puede haber más parámetros de corte además del momento. Por ejemplo, se puede suponer que el volumen del espacio es limitado, lo que interferiría con la invariancia traslacional de una teoría, o suponer que el número de partículas virtuales es limitado, lo que interferiría con la suposición de que cada partícula virtual puede dividirse en más partículas virtuales. Todas estas restricciones dan lugar a un conjunto de límites que forman parte de la definición de una teoría.

En consecuencia, todo resultado de un cálculo para cualquier observable${\displaystyle X_{\rm {observable}}(\mu )}$caracterizada por su escala física${\displaystyle \mu }$tiene la forma de una función del conjunto de parámetros de la teoría,${\displaystyle p}$, el conjunto de límites, por ejemplo${\displaystyle \Lambda }$y la escala${\displaystyle \mu }$. Por lo tanto, los resultados toman la forma

${\displaystyle X_{\rm {observable}}(\mu )=X_{\rm {theory}}(p,\Lambda ,\mu )\,.}$

Sin embargo, los experimentos proporcionan valores de observables que caracterizan los procesos naturales independientemente de los límites establecidos en una teoría utilizada para explicarlos. Si los límites no describen propiedades de la naturaleza y se introducen simplemente para hacer que una teoría sea computable, es necesario comprender cómo la dependencia de${\displaystyle \Lambda }$puede abandonar${\displaystyle X_{\rm {theory}}(p,\Lambda ,\mu )}$Los límites de corte también pueden reflejar algunas características naturales del sistema físico en cuestión, como en el caso modelo de un límite de corte ultravioleta en los vectores de onda de las ondas sonoras en un cristal debido al espaciado de los átomos en la red cristalina. Los límites de corte naturales pueden ser de un tamaño enorme en comparación con la escala.${\displaystyle \mu }$Entonces, surge la pregunta de cómo sucede en la teoría que sus resultados para observables a escala${\displaystyle \mu }$tampoco son del enorme tamaño del límite y, si no lo son, entonces cómo dependen de la escala.${\displaystyle \mu }$.

Los dos tipos de conceptos de renormalización mencionados anteriormente están asociados con las dos preguntas siguientes:

• ¿Cómo deberían ser los parámetros?${\displaystyle p}$depende de los límites${\displaystyle \Lambda }$para que todos los observables${\displaystyle X(p,\Lambda ,\mu )}$de interés físico no dependen de${\displaystyle \Lambda }$¿Incluyendo el caso en que se eliminan los límites enviándolos formalmente al infinito?
• ¿Cuál es el conjunto de parámetros requeridos?${\displaystyle p}$¿

El concepto de grupo de renormalización asociado a la primera pregunta ^{[ 28 ] [ 29 ]} es anterior al concepto asociado a la segunda pregunta. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]} Ciertamente, si se dispusiera de una buena respuesta a la segunda pregunta, también se podría responder a la primera. En ausencia de una buena respuesta a la segunda pregunta, cabe preguntarse por qué cualquier elección específica de parámetros y su dependencia del corte podría garantizar la independencia del corte de todas las observables.${\displaystyle X(p,\Lambda ,\mu )}$con escalas finitas${\displaystyle \mu }$.

El concepto de grupo de renormalización asociado con la primera pregunta anterior se basa en la circunstancia de que algún conjunto finito${\displaystyle p(\Lambda )}$produce el resultado deseado,

${\displaystyle X_{\rm {observable}}(\mu )=\lim _{\Lambda \rightarrow \infty }X_{\rm {theory}}[p(\Lambda ),\Lambda ,\mu ]\,.}$

De esta manera de pensar, se puede esperar que en una teoría con${\displaystyle n}$parámetros un cálculo de${\displaystyle n}$observables a cierta escala${\displaystyle \mu }$es suficiente fijar todos los parámetros como funciones de${\displaystyle \Lambda }$. Por lo tanto, cabe esperar que exista una colección de${\displaystyle n}$parámetros efectivos a escala${\displaystyle \mu }$, correspondiente a${\displaystyle n}$observables a escala${\displaystyle \mu }$, que son suficientes para parametrizar la teoría de tal manera que las predicciones expresadas en términos de estos parámetros estén libres de dependencia de${\displaystyle \Lambda }$. Dado que la escala${\displaystyle \mu }$es arbitrario, toda una familia de tales${\displaystyle n}$-conjuntos de parámetros etiquetados por${\displaystyle \mu }$debería existir, y cada miembro de esa familia corresponde a la misma física. Pasar de una familia a otra cambiando un valor de${\displaystyle \mu }$La acción de un cambio sobre otro se describe como una acción del grupo de renormalización . El término "grupo" se justifica porque se cumplen los axiomas del grupo: dos cambios de este tipo forman otro cambio de este tipo, se puede invertir un cambio, etc.

Sin embargo, la pregunta sigue siendo por qué fijar la dependencia del punto de corte de${\displaystyle n}$parámetros${\displaystyle p}$en${\displaystyle \Lambda }$, usando${\displaystyle n}$condiciones que${\displaystyle n}$Los observables seleccionados no dependen de${\displaystyle \Lambda }$, es suficientemente bueno para hacer que todas las observables estén en el rango físico de${\displaystyle \mu }$no depender de${\displaystyle \Lambda }$En algunas teorías, tal milagro puede ocurrir, pero en otras no. Aquellas en las que sucede se denominan renormalizables, porque se pueden normalizar los parámetros adecuadamente para obtener resultados independientes del punto de corte.

Normalmente, el conjunto${\displaystyle p(\Lambda )}$se establece mediante cálculos perturbativos que se combinan con modelos para la descripción de efectos no perturbativos. Por ejemplo, los diagramas QCD perturbativos para quarks y gluones se combinan con los modelos de partones para describir la unión de quarks y gluones en hadrones. El conjunto de parámetros${\displaystyle p(\Lambda )}$Incluye masas, cargas y constantes de normalización de campo dependientes del corte. El poder predictivo de una teoría configurada de esta manera depende de que el conjunto de parámetros requerido sea relativamente pequeño. La regularización se diseña orden por orden de manera que se conserven y empleen en los cálculos tantas simetrías formales como sea posible de una teoría local, como en la regularización dimensional de los diagramas de Feynman. La afirmación de que el conjunto de parámetros${\displaystyle p(\Lambda )}$La conclusión de que se obtienen límites finitos e independientes del punto de corte para todas las observables está condicionada por la necesidad de utilizar alguna forma de teoría de perturbaciones y la inclusión de supuestos del modelo sobre los estados ligados.

El concepto de grupo de renormalización asociado a la segunda pregunta anterior se concibe para explicar cómo puede tener sentido el concepto de grupo de renormalización asociado a la primera pregunta, en lugar de ser, en el mejor de los casos, una receta exitosa para abordar las divergencias en los cálculos perturbativos. ^{[ 34 ]} Es decir, para responder a la segunda pregunta, se diseña un cálculo (véase más adelante) que identifica el conjunto de parámetros necesarios para definir la teoría, partiendo de una suposición inicial específica, como una densidad lagrangiana local que es función de las variables de campo y que debe modificarse incluyendo todos los parámetros necesarios. Una vez conocido el conjunto de parámetros necesarios, se puede establecer un conjunto de observables que sean suficientes para definir la dependencia de corte del conjunto requerido. Los observables pueden tener cualquier escala finita.${\displaystyle \mu }$y se puede utilizar cualquier escala.${\displaystyle \mu }$para definir los parámetros${\displaystyle p(\Lambda )}$, hasta sus partes finitas que deben ajustarse al experimento, incluyendo características como las simetrías observadas.

Así, no solo se puede comprender la posibilidad de que exista un grupo de renormalización del primer tipo, sino que también se encuentran situaciones alternativas donde el conjunto de parámetros dependientes del corte requeridos no tiene por qué ser finito. El poder predictivo de estas últimas teorías resulta de las relaciones conocidas entre los parámetros requeridos y las opciones para establecer todos los relevantes. ^{[ 35 ]}

El concepto de grupo de renormalización de segundo tipo está asociado con la naturaleza del cálculo matemático utilizado para descubrir el conjunto de parámetros.${\displaystyle p}$En esencia, el cálculo comienza con alguna forma específica de una teoría con corte.${\displaystyle \Lambda }$y deriva una teoría correspondiente con un límite inferior, en el sentido de más restrictivo, por ejemplo${\displaystyle \Lambda /2}$. Después de la reparametrización usando el corte como unidad, se obtiene una nueva teoría de tipo similar pero con nuevos términos. Esto significa que la teoría inicial con corte${\displaystyle \Lambda }$También debería contener dichos términos nuevos para que su forma sea coherente con la presencia de un límite. Finalmente, se puede encontrar un conjunto de términos que se reproduce salvo cambios en los coeficientes de los términos requeridos. Estos coeficientes evolucionan con el número de pasos que se dan, reduciendo en cada paso el límite a la mitad y reescalando las variables. Se podrían usar otros factores distintos de dos, pero dos es conveniente.

En resumen, se obtiene una trayectoria de un punto en un espacio de dimensión igual al número de parámetros requeridos y el movimiento a lo largo de la trayectoria se describe mediante transformaciones que forman un nuevo tipo de grupo. Diferentes puntos iniciales pueden conducir a diferentes trayectorias, pero si los pasos son autosimilares y se reducen a una acción múltiple de una misma transformación, por ejemplo${\displaystyle T}$, uno puede describir lo que sucede en términos de las características de${\displaystyle T}$, denominada transformación del grupo de renormalización. La transformación${\displaystyle T}$Puede transformar puntos en el espacio de parámetros, haciendo que algunos disminuyan, otros aumenten y otros permanezcan sin cambios. Puede presentar puntos fijos , ciclos límite o incluso generar movimiento caótico .

Supongamos que${\displaystyle T}$Tiene un punto fijo. Si se inicia el procedimiento en este punto, una secuencia infinitamente larga de reducciones del límite de corte por factores de dos no altera la estructura de la teoría, salvo la escala de dicho límite. Esto significa que el límite de corte inicial puede ser arbitrariamente grande. Dicha teoría puede poseer las simetrías de la relatividad especial, ya que no hay ningún costo que pagar por extender el límite de corte según sea necesario para realizar la transformación de Lorentz que produce momentos que superan dicho límite.

Ambos conceptos del grupo de renormalización pueden considerarse en teorías cuánticas construidas utilizando la forma frontal de la dinámica. El primer concepto permite jugar con un pequeño conjunto de parámetros y buscar consistencia, lo cual es una estrategia útil en la teoría de perturbaciones si se conoce, por otros enfoques, qué esperar. En particular, se pueden estudiar nuevas características perturbativas que aparecen en la forma frontal de la dinámica, ya que difiere de la forma instantánea. La principal diferencia radica en las variables frontales.${\displaystyle x^{-}}$(o${\displaystyle p^{+}}$) son considerablemente diferentes de las variables transversales${\displaystyle x^{\perp }}$(o${\displaystyle p^{\perp }}$), de modo que no existe una simetría rotacional simple entre ellos. También se pueden estudiar modelos suficientemente simplificados para los que se puedan usar computadoras para realizar cálculos y ver si un procedimiento sugerido por la teoría de perturbaciones puede funcionar más allá de él. El segundo concepto permite abordar el problema de definir una teoría relativista ab initio sin limitar la definición a expansiones perturbativas. Esta opción es particularmente relevante para el problema de describir estados ligados en QCD. Sin embargo, para abordar este problema es necesario superar ciertas dificultades que los procedimientos del grupo de renormalización basados ​​en la idea de reducción de cortes no son capaces de resolver fácilmente. Para evitar las dificultades, se puede emplear el procedimiento del grupo de renormalización de similitud. Tanto las dificultades como la similitud se explican en la siguiente sección.

Un vistazo a las dificultades del procedimiento de reducción de un límite${\displaystyle \Lambda }$cortar${\displaystyle \Lambda /2}$en la forma frontal de la dinámica hamiltoniana de interacciones fuertes se puede obtener considerando el problema de valores propios para el hamiltoniano${\displaystyle H}$,

${\displaystyle H\psi =E\psi ,}$

dónde${\displaystyle H=H_{0}+H_{I}}$,${\displaystyle H_{0}}$tiene un espectro conocido y${\displaystyle H_{I}}$describe las interacciones. Supongamos que el autoestado${\displaystyle \psi }$puede escribirse como una superposición de autoestados de${\displaystyle H_{0}}$y vamos a introducir dos operadores de proyección,${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$, de tal manera que${\displaystyle P}$proyectos sobre autoestados de${\displaystyle H_{0}}$con valores propios menores que${\displaystyle \Lambda /2}$y${\displaystyle Q}$proyectos sobre autoestados de${\displaystyle H_{0}}$con valores propios entre${\displaystyle \Lambda /2}$y${\displaystyle \Lambda }$. El resultado de proyectar el problema de valores propios para${\displaystyle H}$usando${\displaystyle P}$y${\displaystyle Q}$es un conjunto de dos ecuaciones acopladas

${\displaystyle H_{0}Q\psi +QH_{I}Q\psi +QH_{I}P\psi =EQ\psi \,,}$

${\displaystyle H_{0}P\psi +PH_{I}Q\psi +PH_{I}P\psi =EP\psi \,.}$

La primera ecuación se puede utilizar para evaluar${\displaystyle Q\psi }$en términos de${\displaystyle P\psi }$,

${\displaystyle Q\psi ={\frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}\ QH_{I}P\psi \,.}$

Esta expresión permite escribir una ecuación para${\displaystyle P\psi }$en la forma

${\displaystyle H_{\rm {eff}}P\psi =EP\psi \,,}$

dónde

${\displaystyle H_{\rm {eff}}=H_{0}+PH_{I}P+PH_{I}Q{\frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}QH_{I}P.}$

La ecuación para${\displaystyle P\psi }$parece asemejarse a un problema de valores propios para${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$Es válido en una teoría con corte${\displaystyle \Lambda /2}$pero su hamiltoniano efectivo${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$depende del valor propio desconocido${\displaystyle E}$. Sin embargo, si${\displaystyle \Lambda /2}$es mucho mayor que${\displaystyle E}$de interés, uno puede descuidar${\displaystyle E}$en comparación con${\displaystyle QH_{0}Q}$siempre que${\displaystyle QH_{I}Q}$es pequeño en comparación con${\displaystyle QH_{0}Q}$.

En QCD, que es asintóticamente libre , uno efectivamente tiene${\displaystyle H_{0}}$como el término dominante en el denominador de energía en${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$para valores propios pequeños${\displaystyle E}$En la práctica, esto sucede con los cortes.${\displaystyle \Lambda }$mucho mayores que los autovalores más pequeños${\displaystyle E}$de interés físico que los problemas de autovalores correspondientes son demasiado complejos para resolverlos con la precisión requerida. Es decir, todavía hay demasiados grados de libertad. Es necesario reducir considerablemente más los límites. Este problema aparece en todos los enfoques del problema del estado ligado en QCD, no solo en la forma frontal de la dinámica. Incluso si las interacciones son suficientemente pequeñas, uno se enfrenta a una dificultad adicional para eliminar${\displaystyle Q}$estados. Es decir, para interacciones pequeñas se puede eliminar el valor propio.${\displaystyle E}$a partir de un hamiltoniano efectivo adecuado en${\displaystyle P}$-subespacio a favor de los valores propios de${\displaystyle H_{0}}$. En consecuencia, los denominadores análogos al que aparece arriba en${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$solo contienen diferencias de valores propios de${\displaystyle H_{0}}$, uno arriba${\displaystyle \Lambda /2}$y uno más abajo. ^{[ 30 ] [ 31 ]} Desafortunadamente, tales diferencias pueden volverse arbitrariamente pequeñas cerca del límite.${\displaystyle \Lambda /2}$y generan fuertes interacciones en la teoría efectiva debido al acoplamiento entre los estados justo por debajo y justo por encima del límite de corte.${\displaystyle \Lambda /2}$Esto es particularmente molesto cuando los autoestados de${\displaystyle H_{0}}$Cerca del punto de corte, los estados son altamente degenerados y la división del problema del estado ligado en partes por debajo y por encima del punto de corte no se puede lograr mediante ninguna expansión simple en potencias de la constante de acoplamiento.

En cualquier caso, cuando se reduce el límite${\displaystyle \Lambda }$a${\displaystyle \Lambda /2}$, y luego${\displaystyle \Lambda /2}$a${\displaystyle \Lambda /4}$y así sucesivamente, la fuerza de interacción en los hamiltonianos de QCD aumenta y, especialmente si la interacción es atractiva,${\displaystyle QH_{I}Q}$puede cancelar${\displaystyle H_{0}}$y${\displaystyle E}$no se puede ignorar por muy pequeño que sea en comparación con el límite inferior reducido. En particular, esta dificultad concierne a los estados ligados, donde las interacciones deben impedir que el movimiento relativo libre de los constituyentes domine la escena y se deben formar sistemas espacialmente compactos. Hasta ahora, parece imposible eliminar con precisión el valor propio.${\displaystyle E}$a partir de la dinámica efectiva obtenida al proyectar sobre autoestados de energía suficientemente baja de${\displaystyle H_{0}}$para facilitar cálculos fiables.

Afortunadamente, se puede utilizar en su lugar un cambio de base. ^{[ 36 ]} Es decir, es posible definir un procedimiento en el que los estados de la base se rotan de tal manera que los elementos de la matriz de${\displaystyle H_{I}}$desaparecen entre estados base que según${\displaystyle H_{0}}$difieren en energía por más de un corte continuo, por ejemplo${\displaystyle \lambda }$El corte móvil se llama ancho de banda de energía. El nombre proviene de la forma diagonal de banda de la matriz hamiltoniana en la nueva base ordenada en energía usando${\displaystyle H_{0}}$. Diferentes valores del umbral de corte móvil${\displaystyle \lambda }$corresponde al uso de estados base rotados de manera diferente. La rotación está diseñada para no depender en absoluto de los valores propios.${\displaystyle E}$uno quiere calcular.

Como resultado, se obtiene en la base rotada un problema de valores propios de matriz hamiltoniana efectiva en el que la dependencia del corte${\displaystyle \Lambda }$puede manifestarse únicamente en la dependencia explícita de los elementos de la matriz de la nueva${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$. ^{[ 36 ]} Las dos características de similitud que (1) el${\displaystyle \Lambda }$La dependencia se vuelve explícita antes de abordar el problema de resolver el problema de valores propios para${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$y (2) el hamiltoniano efectivo con un ancho de banda de energía pequeño puede no depender de los autovalores que se intentan encontrar, lo que permite descubrir de antemano los contra-términos necesarios para la dependencia de corte divergente. Un conjunto completo de contra-términos define el conjunto de parámetros necesarios para definir la teoría que tiene un ancho de banda de energía finito.${\displaystyle \lambda }$y sin dependencia de corte en la banda. Durante el proceso de descubrimiento de los contra-términos y los parámetros correspondientes, se va modificando el hamiltoniano inicial. Finalmente, el hamiltoniano completo puede tener autovalores independientes del corte, incluidos los estados ligados.

^{En el caso del hamiltoniano de forma frontal para QCD, Wilson et al. [ 37 ]} describen una versión perturbativa del procedimiento del grupo de renormalización de similitud. En la siguiente sección se ofrece una discusión más detallada de los métodos computacionales derivados del concepto del grupo de renormalización de similitud.

El procedimiento del grupo de renormalización de similitud, discutido en #Transformaciones de similitud , puede aplicarse al problema de describir estados ligados de quarks y gluones usando QCD según el esquema computacional general delineado por Wilson et al. ^{[ 37 ]} e ilustrado en un modelo numéricamente soluble por Glazek y Wilson. ^{[ 38 ]} Desde que se completaron estos trabajos, el método se ha aplicado a varios sistemas físicos usando una expansión de acoplamiento débil. Más recientemente, la similitud ha evolucionado en una herramienta computacional llamada procedimiento del grupo de renormalización para partículas efectivas, o RGPEP. En principio, el RGPEP ahora se define sin necesidad de hacer referencia a alguna expansión perturbativa. La explicación más reciente del RGPEP la da Glazek en términos de un modelo elemental y exactamente soluble para fermiones relativistas que interactúan a través de un término de mezcla de masas de fuerza arbitraria en su hamiltoniano. ^{[ 39 ] [ 40 ]}

Las partículas efectivas pueden considerarse como el resultado de una transformación dinámica similar a la transformación de Melosh de quarks corriente a quarks constituyentes. ^{[ 41 ]} Es decir, la transformación RGPEP cambia los cuantos desnudos en una teoría canónica a los cuantos efectivos en una teoría efectiva equivalente con un hamiltoniano que tiene el ancho de banda de energía${\displaystyle \lambda }$; consulte #Transformaciones de similitud y las referencias allí incluidas para obtener una explicación de la banda. Las transformaciones que cambian${\displaystyle \lambda }$formen un grupo.

Las partículas efectivas se introducen mediante una transformación

${\displaystyle \psi _{s}=U_{s}\,\psi _{0}\,U_{s}^{\dagger }\,,}$

dónde${\displaystyle \psi _{s}}$es un operador de campo cuántico construido a partir de operadores de creación y aniquilación para partículas efectivas de tamaño${\displaystyle s\sim 1/\lambda }$y${\displaystyle \psi _{0}}$es el operador de campo cuántico original construido a partir de operadores de creación y aniquilación para cuantos desnudos puntuales de una teoría canónica. En resumen, una densidad hamiltoniana canónica se construye a partir de campos${\displaystyle \psi _{0}}$y el hamiltoniano efectivo a escala${\displaystyle s}$está construido a partir de campos${\displaystyle \psi _{s}}$, pero sin cambiar realmente el hamiltoniano. Por lo tanto,

${\displaystyle H_{s}(\psi _{s})=H_{0}(\psi _{0})\,,}$

lo que significa que la misma dinámica se expresa en términos de diferentes operadores para diferentes valores de${\displaystyle s}$. Los coeficientes${\displaystyle c_{s}}$en la expansión de un hamiltoniano en potencias de los operadores de campo${\displaystyle \psi _{s}}$depender de${\displaystyle s}$y los operadores de campo dependen de${\displaystyle s}$pero el hamiltoniano no está cambiando con${\displaystyle s}$. El RGPEP proporciona una ecuación para los coeficientes${\displaystyle c_{s}}$como funciones de${\displaystyle s}$.

En principio, si se hubiera resuelto exactamente la ecuación RGPEP para el hamiltoniano de forma frontal de QCD, el problema de autovalores podría escribirse utilizando quarks y gluones efectivos correspondientes a cualquier${\displaystyle s}$. En particular, para${\displaystyle s}$muy pequeño, el problema de valores propios implicaría un número muy grande de constituyentes virtuales capaces de interactuar con grandes transferencias de momento hasta aproximadamente el ancho de banda.${\displaystyle \lambda \sim 1/s}$. Por el contrario, el mismo problema de autovalor escrito en términos de cuantos correspondientes a un valor grande${\displaystyle s}$Se espera que, comparable al tamaño de los hadrones, adopte la forma de una ecuación simple que se asemeje a los modelos de quarks constituyentes . Demostrar matemáticamente que esto es precisamente lo que ocurre en el RGPEP en QCD es un desafío importante.

La amplitud de Bethe-Salpeter, que satisface la ecuación de Bethe-Salpeter ^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} (véanse las revisiones de Nakanishi ^{[ 45 ] [ 46 ]} ), cuando se proyecta sobre el plano del frente de luz, resulta en la función de onda del frente de luz. El significado de la "proyección del frente de luz" es el siguiente. En el espacio de coordenadas, la amplitud de Bethe-Salpeter es una función de dos coordenadas de cuatro dimensiones.${\displaystyle x_{1,2}=(ct_{1,2},{\vec {x}}_{1,2})}$, a saber:${\displaystyle \Phi =\Phi (x_{1},x_{2};p)}$, dónde${\displaystyle p}$es el cuadrimomento total del sistema. En el espacio de momentos, viene dado por la transformada de Fourier:

${\displaystyle \Phi (k_{1},k_{2};p)=\int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\Phi (x_{1},x_{2};p)\exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2})}$

(la amplitud de Bethe-Salpeter en el espacio de momentos${\displaystyle \Phi (k_{1},k_{2};p)}$Definida de esta manera, incluye en sí misma la función delta responsable de la conservación del momento.${\displaystyle k_{1}+k_{2}=p}$). La proyección del frente de luz significa que los argumentos${\displaystyle x_{1},x_{2}}$están en el plano del frente de luz, es decir, están restringidos por la condición (en la formulación covariante):${\displaystyle \omega \cdot x_{1}=\omega \cdot x_{2}=0}$Esto se logra insertando en la transformada de Fourier las funciones delta correspondientes.${\displaystyle \delta (\omega \cdot x_{1,2})}$:

${\displaystyle \psi _{LF}\propto \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\delta (\omega \cdot x_{1})\delta (\omega \cdot x_{2})\Phi (x_{1},x_{2};p)\exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2}).}$

De esta forma, podemos hallar la función de onda del frente de luz.${\displaystyle \psi _{LF}}$Aplicando esta fórmula a la amplitud de Bethe-Salpeter con un momento angular total dado, se reproduce la estructura del momento angular de la función de onda del frente de luz descrita en Cuantización del frente de luz#Momento angular . En particular, proyectando la amplitud de Bethe-Salpeter correspondiente a un sistema de dos partículas sin espín con el momento angular${\displaystyle l}$, se reproduce la función de onda del frente de luz

${\displaystyle \psi _{lm}({\vec {k}},{\hat {n}})=f_{1}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {k}})+f_{2}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {n}}),}$

dado en Cuantización del frente de luz#Momento angular .

La amplitud de Bethe-Salpeter incluye los propagadores de las partículas externas y, por lo tanto, es singular. Puede representarse en forma de la integral de Nakanishi ^{[ 47 ]} mediante una función no singular.${\displaystyle g(\gamma ,z)}$:

dónde${\displaystyle k=(k_{1}-k_{2})/2}$es el cuadrimomento relativo. La función de ponderación de Nakanishi${\displaystyle g(\gamma ,z)}$se obtiene a partir de una ecuación y tiene las siguientes propiedades:${\displaystyle g(\gamma ,z=\pm 1)=0}$,${\displaystyle g(\gamma \to \infty ,z)\to 0}$. Proyectando la amplitud de Bethe-Salpeter ( 1 ) en el plano del frente de luz, obtenemos la siguiente representación útil para la función de onda del frente de luz (véase la revisión de Carbonell y Karmanov ^{[ 48 ]} ):

${\displaystyle \psi _{LF}(k_{\perp },x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x(1-x)g(\gamma ',1-2x)d\gamma '}{{\Bigl [}\gamma '+k_{\perp }^{2}+m^{2}-x(1-x)M^{2}{\Bigr ]}^{2}}}.}$

Resulta que las masas de un sistema de dos cuerpos, halladas a partir de la ecuación de Bethe-Salpeter para${\displaystyle \Phi (k,p)}$y de la ecuación del frente de luz para${\displaystyle \psi _{LF}(k_{\perp },x)}$con el núcleo correspondiente al mismo contenido físico, digamos, intercambio de un bosón (que, sin embargo, en ambos enfoques tienen formas analíticas muy diferentes) son muy cercanos entre sí. Lo mismo es cierto para los factores de forma electromagnéticos ^{[ 49 ]} Esto sin duda prueba la existencia de fuerzas de tres cuerpos, aunque la contribución de origen relativista no agota, por supuesto, todas las contribuciones. La misma dinámica relativista debería generar fuerzas de cuatro cuerpos, etc. Dado que en los núcleos las pequeñas energías de enlace (relativas a la masa del nucleón) resultan de cancelaciones entre las energías cinética y potencial (que son comparables con la masa del nucleón y, por lo tanto, relativistas), los efectos relativistas en los núcleos son notables. Por lo tanto, las fuerzas de muchos cuerpos deben tenerse en cuenta para un ajuste fino a los datos experimentales.

Una de las ventajas de la cuantización del frente de luz es que el estado vacío, el llamado vacío perturbativo, es el vacío físico. ^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]} Los estados masivos de una teoría pueden entonces construirse sobre este estado más bajo sin tener ninguna contribución de la estructura del vacío, y las funciones de onda para estos estados masivos no contienen contribuciones del vacío. Esto ocurre porque cada${\displaystyle p_{i}^{+}}$es positivo, y las interacciones de la teoría no pueden producir partículas desde el vacío de momento cero sin violar la conservación del momento. No es necesario ordenar normalmente el vacío del frente de luz.

Sin embargo, ciertos aspectos de algunas teorías están asociados con la estructura del vacío. Por ejemplo, el mecanismo de Higgs del Modelo Estándar se basa en la ruptura espontánea de simetría en el vacío de la teoría. ^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ]} El valor esperado usual del vacío de Higgs en la forma instantánea se reemplaza por${\displaystyle k^{+}=0}$Modo cero análogo a un campo Stark constante cuando se cuantiza el modelo estándar usando la forma frontal. ^{[ 67 ]} La ruptura de la simetría quiral de la cromodinámica cuántica se asocia a menudo en la forma instantánea con condensados ​​de quarks y gluones en el vacío de QCD. Sin embargo, estos efectos se convierten en propiedades de las funciones de onda hadrónicas mismas usando la forma frontal. ^{[ 59 ] [ 60 ] [ 68 ] [ 69 ]} Esto también elimina el conflicto de muchos órdenes de magnitud entre la constante cosmológica medida y la teoría cuántica de campos. ^{[ 68 ]}

Algunos aspectos de la estructura del vacío en la cuantización del frente de luz pueden analizarse estudiando las propiedades de los estados masivos. En particular, al estudiar la aparición de degeneraciones entre los estados masivos más bajos, se puede determinar la fuerza de acoplamiento crítica asociada con la ruptura espontánea de simetría. También se puede utilizar un proceso límite, donde el análisis comienza en la cuantización de tiempo igual pero llega a coordenadas del frente de luz como el límite de algún parámetro elegido. ^{[ 70 ] [ 71 ]} Un enfoque mucho más directo es incluir modos de momento longitudinal cero (modos cero) en un cálculo de un vacío del frente de luz no trivial construido a partir de estos modos; el hamiltoniano entonces contiene interacciones efectivas que determinan la estructura del vacío y proporcionan interacciones de intercambio de modo cero entre constituyentes de estados masivos.

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