Grupoide de mentira

La definición original de Ehresmann requería${\displaystyle G}$y${\displaystyle M}$poseer una estructura lisa tal que solo${\displaystyle m}$es suave y los mapas${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$y${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$son subinmersiones (es decir, tienen rango constante localmente ). Dicha definición resultó ser demasiado débil y fue reemplazada por Pradines por la que se usa actualmente. ^{[ 4 ]}

Si bien algunos autores ^{[ 5 ]} introdujeron definiciones más débiles que no requerían${\displaystyle s}$y${\displaystyle t}$Para ser consideradas inmersiones, estas propiedades son fundamentales para desarrollar toda la teoría de Lie de grupoides y algebroides.

El hecho de que el mapa de origen y el mapa de destino de un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$Las inmersiones suaves tienen algunas consecuencias inmediatas:

• el${\displaystyle s}$-fibras${\displaystyle s^{-1}(x)\subsetequ G}$, el${\displaystyle t}$-fibras${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$y el conjunto de morfismos componibles${\displaystyle G^{(2)}\subsetequ G\times G}$son subvariedades ;
• el mapa de inversión${\displaystyle i}$es un difeomorfismo ;
• el mapa de la unidad${\displaystyle u}$es una incrustación suave ;
• los grupos de isotropía${\displaystyle G_{x}}$son grupos de mentiras ;
• las órbitas${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$son subvariedades inmersas ;
• el${\displaystyle s}$-fibra${\displaystyle s^{-1}(x)}$en un punto${\displaystyle x\in M}$es un director${\displaystyle G_{x}}$-haz sobre la órbita${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$en ese momento.

Un subgrupoide de Lie de un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$es un subgrupoide${\displaystyle H\rightrightarrows N}$(es decir, una subcategoría de la categoría${\displaystyle G}$) con el requisito adicional de que${\displaystyle H\subseteg G}$es una subvariedad inmersa. En cuanto a una subcategoría, un subgrupoide (de Lie) se llama amplio si${\displaystyle N=M}$. Cualquier grupoide de mentira${\displaystyle G\rightrightarrows M}$tiene dos subgrupoides amplios canónicos:

• la unidad/identidad subgrupoide de Lie${\displaystyle u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}}$;
• el subgrupoide interno${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}}$, es decir, el conjunto de grupos de isotropía (que, sin embargo, puede no ser uniforme en general).

Un subgrupoide de Lie normal es un subgrupoide de Lie amplio.${\displaystyle H\subseteg G}$adentro${\displaystyle IG}$de tal manera que, para cada${\displaystyle h\in H,g\in G}$con${\displaystyle s(h)=t(h)=s(g)}$, uno tiene${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$. Los grupos de isotropía de${\displaystyle H}$son, por lo tanto, subgrupos normales de los grupos de isotropía de${\displaystyle G}$.

Un morfismo de grupoide de Lie entre dos grupoides de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$y${\displaystyle H\rightrightarrows N}$es un morfismo de grupoide${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$(es decir, un functor entre las categorías)${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$), donde ambos${\displaystyle F}$y${\displaystyle f}$son suaves. El núcleo${\displaystyle \ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}}$Un morfismo entre grupoides de Lie sobre la misma variedad base es automáticamente un subgrupoide de Lie normal.

El cociente${\displaystyle G/\ker(F)\rightrightarrows M}$tiene una estructura de grupoide natural tal que la proyección${\displaystyle G\to G/\ker(F)}$es un morfismo de grupoide; sin embargo, a diferencia de los cocientes de grupos de Lie ,${\displaystyle G/\ker(F)}$Es posible que no sea un grupoide de Lie en general. Por consiguiente, los teoremas de isomorfismo para grupoides no pueden especializarse a toda la categoría de grupoides de Lie, sino solo a clases especiales. ^{[ 6 ]}

Un grupoide de Lie se llama abeliano si sus grupos de Lie isotrópicos son abelianos . Por razones similares a las anteriores, mientras que la definición de abelianización de un grupo se extiende a los grupoides de teoría de conjuntos, en el caso de Lie el análogo del cociente${\displaystyle G^{ab}=G/(IG,IG)}$Puede que no exista o no sea suave. ^{[ 7 ]}

Una bisección de un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$es un mapa suave${\displaystyle b:M\to G}$de tal manera que${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$y${\displaystyle t\circ b}$es un difeomorfismo de${\displaystyle M}$Para superar la falta de simetría entre la fuente y el destino, una bisección puede definirse equivalentemente como una subvariedad.${\displaystyle B\subseteg G}$de tal manera que${\displaystyle s_{\mid B}:B\to M}$y${\displaystyle t_{\mid B}:B\to M}$son difeomorfismos; la relación entre las dos definiciones viene dada por${\displaystyle B=b(M)}$. ^{[ 8 ]}

El conjunto de bisecciones forma un grupo , con la multiplicación${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$definido como$${\displaystyle (b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).}$$y la inversión definida como$${\displaystyle b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$Tenga en cuenta que la definición se da de tal manera que, si${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$y${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$, entonces${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$y${\displaystyle t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}}$.

Al grupo de bisecciones se le puede dar la topología compacta-abierta , así como una estructura (de dimensión infinita) de variedad de Fréchet compatible con la estructura del grupo, convirtiéndolo en un grupo de Fréchet-Lie.

Una bisección local${\displaystyle b:U\subseteq M\to G}$se define de forma análoga, pero la multiplicación entre bisecciones locales, por supuesto, solo está definida parcialmente.

• Grupoides de mentira${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$con un objeto son lo mismo que los grupos de Lie.
• Dado cualquier conjunto${\displaystyle M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$llamado grupoide de pares , con exactamente un morfismo de cualquier objeto a cualquier otro.
• Los dos ejemplos anteriores son casos particulares del grupoide trivial.${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$, con mapas de estructura${\displaystyle s(x,g,y)=y}$,${\displaystyle t(x,g,y)=x}$,${\displaystyle m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)}$,${\displaystyle u(x)=(x,1,x)}$y${\displaystyle i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)}$.
• Dado cualquier conjunto${\displaystyle M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$llamado grupoide unitario , con exactamente un morfismo de un objeto a sí mismo, a saber, la identidad, y ningún morfismo entre diferentes objetos.
• De manera más general, los grupoides de Lie con${\displaystyle s=t}$son lo mismo que un fibrado de grupos de Lie (no necesariamente trivial a nivel local). Por ejemplo, cualquier fibrado vectorial es un fibrado de grupos abelianos, por lo que es, en particular, un grupoide de Lie (abeliano).

• Dado cualquier grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$y una inmersión sobreyectiva${\displaystyle \mu :N\to M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$, llamado su grupoide de retroceso o grupoide inducido , donde${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$contiene triples${\displaystyle (x,g,y)}$de tal manera que${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$y${\displaystyle t(g)=\mu (x)}$y la multiplicación se define utilizando la multiplicación de${\displaystyle G}$. Por ejemplo, el retroceso del grupoide de pares de${\displaystyle M}$es el par grupoide de${\displaystyle N}$.
• Dados dos grupoides de Lie cualesquiera${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows M_{1}}$y${\displaystyle G_{2}\rightrightarrows M_{2}}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}}$, llamados su producto directo , de tal manera que los morfismos de grupoide${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}}$y${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}}$son inmersiones sobreyectivas.
• Dado cualquier grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$, llamado su grupoide tangente , obtenido al considerar el fibrado tangente de${\displaystyle G}$y${\displaystyle M}$y el diferencial de los mapas de estructura.
• Dado cualquier grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle T^{*}G\rightrightarrows A^{*}}$, llamado su grupoide cotangente obtenido al considerar el haz cotangente de${\displaystyle G}$, el dual del algebroide de Lie${\displaystyle A}$(véase más abajo), y mapas de estructura adecuados que involucren los diferenciales de las traslaciones izquierda y derecha.
• Dado cualquier grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$, llamado su grupoide de chorros , obtenido al considerar los k-jets de las bisecciones locales de${\displaystyle G}$(con una estructura suave heredada del haz de chorros de${\displaystyle s:G\to M}$) y configuración${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$,${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$,${\displaystyle m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$,${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$y${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$.

• Dado un proceso de inmersión${\displaystyle \mu :M\to N}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M}$, llamado grupoide de inmersión o grupoide de pares fibrados , cuyos mapas de estructura se inducen a partir del grupoide de pares${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$(la condición que${\displaystyle \mu }$es una inmersión asegura la suavidad de${\displaystyle M\times _{\mu }M}$). Si${\displaystyle N}$es un punto, se recupera el grupoide par.
• Dado un grupo de mentiras${\displaystyle G}$actuando sobre un colector${\displaystyle M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$, llamado grupoide de acción o grupoide de traslación , con un morfismo para cada triplete${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$con${\displaystyle gx=y}$.
• Dado cualquier haz vectorial${\displaystyle E\to M}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$, llamado grupoide lineal general , con morfismos entre${\displaystyle x,y\in M}$siendo isomorfismos lineales entre las fibras${\displaystyle E_{x}}$y${\displaystyle E_{y}}$. Por ejemplo, si${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} ^{n}}$es el fibrado vectorial trivial de rango${\displaystyle k}$, entonces${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$es el grupoide de acción.
• Cualquier paquete principal${\displaystyle P\to M}$con grupo de estructura${\displaystyle G}$define un grupoide de Lie${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$, dónde${\displaystyle G}$actúa sobre las parejas${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$componente por componente, llamado grupoide de calibre . La multiplicación se define mediante representantes compatibles como en el grupoide de pares.
• Cualquier foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en un colector${\displaystyle M}$define dos grupoides de Lie,${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$(o${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$) y${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$, denominados respectivamente grupoide monodromía/homotopía/fundamental y grupoide holonomía de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, cuyos morfismos consisten en las clases de equivalencia de homotopía y holonomía , respectivamente , de caminos que se encuentran completamente en una hoja de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Por ejemplo, cuando${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es la foliación trivial con una sola hoja, se recupera, respectivamente, el grupoide fundamental y el grupoide de pares de${\displaystyle M}$. Por otro lado, cuando${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es una foliación simple, es decir, la foliación por fibras (conectadas) de una inmersión.${\displaystyle \mu :M\to N}$, su grupoide de holonomía es precisamente el grupoide de inmersión.${\displaystyle M\times _{\mu }M}$pero su grupoide monodromía puede incluso no ser Hausdorff, debido a un criterio general en términos de ciclos evanescentes. ^{[ 9 ]} En general, muchas foliaciones elementales dan lugar a grupoides monodromía y holonomía que no son Hausdorff.
• Dado cualquier pseudogrupo${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$, hay un grupoide de Lie${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M}$, llamado su grupoide germen , dotado de la topología de haz y con mapas de estructura análogos a los del grupoide jet. Este es otro ejemplo natural de grupoide de Lie cuyo espacio de flechas no es Hausdorff ni segundo numerable.

Un grupoide de Lie es transitivo (en la literatura antigua también llamado conexo) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Solo hay una órbita;
• Existe al menos un morfismo entre cualesquiera dos objetos;
• el mapa${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$(también conocido como el ancla de${\displaystyle G\rightrightarrows M}$) es sobreyectiva.

Los grupoides de calibre constituyen los ejemplos prototípicos de grupoides de Lie transitivos: de hecho, cualquier grupoide de Lie transitivo es isomorfo al grupoide de calibre de algún fibrado principal, a saber, el${\displaystyle G_{x}}$-manojo${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$, por cualquier punto${\displaystyle x\in M}$. Por ejemplo:

• el grupoide de Lie trivial${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$es transitivo y surge del principio trivial${\displaystyle G}$-manojo${\displaystyle G\times M\to M}$Como casos particulares, los grupos de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$y emparejar grupoides${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$son trivialmente transitivos y surgen, respectivamente, del principal${\displaystyle G}$-manojo${\displaystyle G\to {*}}$y del principal${\displaystyle \{e\}}$-manojo${\displaystyle M\to M}$;
• un grupoide de acción${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$es transitiva si y solo si la acción de grupo es transitiva , y en tal caso surge del conjunto principal.${\displaystyle G\to M}$con el grupo de estructura el grupo de isotropía (en un punto arbitrario);
• el grupoide lineal general de${\displaystyle E}$es transitivo y surge del haz de marcos${\displaystyle Fr(E)\to M}$;
• grupoides de retroceso, grupoides de chorro y grupoides tangentes de${\displaystyle G\rightrightarrows M}$son transitivas si y solo si${\displaystyle G\rightrightarrows M}$es transitivo.

Como ejemplo menos trivial de la correspondencia entre grupoides de Lie transitivos y haces principales, consideremos el grupoide fundamental.${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$de un colector liso (conectado)${\displaystyle M}$. Esto es naturalmente un grupoide topológico, que además es transitivo; se puede ver que${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$es isomorfo al grupoide de calibre de la cubierta universal de${\displaystyle M}$. Respectivamente,${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$hereda una estructura suave que la convierte en un grupoide de Lie.

Grupoides de sumersión${\displaystyle M\times _{\mu }M\rightrightarrows M}$son un ejemplo de grupoides de Lie no transitivos, cuyas órbitas son precisamente las fibras de${\displaystyle \mu }$.

Una noción más fuerte de transitividad requiere el ancla${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ser una inmersión sobreyectiva. Dicha condición también se denomina trivialidad local , porque${\displaystyle G}$se vuelve localmente isomorfo (como grupoide de Lie) a un grupoide trivial sobre cualquier abierto${\displaystyle U\subseteq M}$(como consecuencia de la trivialidad local de los haces principales). ^{[ 6 ]}

Cuando el espacio${\displaystyle G}$es segundo numerable, la transitividad implica trivialidad local. En consecuencia, estas dos condiciones son equivalentes para muchos ejemplos, pero no para todos: por ejemplo, si${\displaystyle \Gamma }$es un pseudogrupo transitivo, su grupoide germen${\displaystyle \mathrm {Germ} (\Gamma )}$es transitivo pero no localmente trivial.

Un grupoide de Lie se denomina propio si${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$es un mapa adecuado . Como consecuencia

• todos los grupos de isotropía de${\displaystyle G}$son compactos ;
• todas las órbitas de${\displaystyle G}$son subvariedades cerradas;
• el espacio orbital${\displaystyle M/G}$es Hausdorff .

Por ejemplo:

• Un grupo de Lie es propio si y solo si es compacto;
• Los grupoides de pares son siempre propios;
• Los grupoides de unidades siempre son correctos;
• Un grupoide de acción es apropiado si y solo si la acción es apropiada ;
• El grupoide fundamental es propio si y solo si los grupos fundamentales son finitos .

Como se ha visto anteriormente, la propiedad de grupoides de Lie es el análogo "correcto" de la compacidad para grupos de Lie. También se podrían considerar condiciones más "naturales", por ejemplo, pedir que el mapa fuente${\displaystyle s:G\to M}$es apropiado (entonces${\displaystyle G\rightrightarrows M}$se llama s-propio ), o que todo el espacio${\displaystyle G}$es compacto (entonces${\displaystyle G\rightrightarrows M}$se denomina compacto ), pero estos requisitos resultan ser demasiado estrictos para muchos ejemplos y aplicaciones. ^{[ 10 ]}

Un grupoide de Lie se denomina étale si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• las dimensiones de${\displaystyle G}$y${\displaystyle M}$son iguales;
• ${\displaystyle s}$es un difeomorfismo local ;
• mucho${\displaystyle s}$-las fibras son discretas

Como consecuencia, también el${\displaystyle t}$-Las fibras, los grupos de isotropía y las órbitas se vuelven discretos.

Por ejemplo:

• Un grupo de Lie es étale si y solo si es discreto;
• los grupoides de pares nunca son étale;
• los grupoides unitarios son siempre étale;
• un grupoide de acción es étale si y solo si${\displaystyle G}$es discreto;
• Los grupoides germinales de los pseudogrupos son siempre étale.

Un grupoide étale se llama efectivo si, para cualesquiera dos bisecciones locales${\displaystyle b_{1},b_{2}}$, la condición${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$implica${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$. Por ejemplo:

• Los grupos de mentiras son efectivos si y solo si son triviales;
• Los grupos de unidades siempre son efectivos;
• un grupoide de acción es efectivo si el${\displaystyle G}$-la acción es gratuita y${\displaystyle G}$es discreto.

En general, cualquier grupoide étale efectivo surge como el grupoide germen de algún pseudogrupo. ^{[ 11 ]} Sin embargo, también se puede dar una definición (más compleja) de efectividad, que no presupone la propiedad étale.

Un grupoide de mentira se llama${\displaystyle s}$-conectado si todo su${\displaystyle s}$-las fibras están conectadas . De manera similar, se habla de${\displaystyle s}$-grupoides simplemente conectados (cuando el${\displaystyle s}$-las fibras están simplemente conectadas ) o grupoides k-conectados de origen (cuando el${\displaystyle s}$-las fibras están k-conectadas , es decir, la primera${\displaystyle k}$Los grupos de homotopía son triviales).

Tenga en cuenta que todo el espacio de flechas${\displaystyle G}$No se le pide que satisfaga ninguna hipótesis de conectividad. Sin embargo, si${\displaystyle G}$es una fuente-${\displaystyle k}$-grupoide de Lie conectado sobre un${\displaystyle k}$-colector conectado, entonces${\displaystyle G}$en sí mismo es automáticamente${\displaystyle k}$-conectado.

Por ejemplo

• Los grupos mentirosos son la fuente${\displaystyle k}$-conectados si y solo si están${\displaystyle k}$-conectado;
• un par grupoide es fuente${\displaystyle k}$-conectado si y solo si${\displaystyle M}$es${\displaystyle k}$-conectado;
• Los grupoides de unidades siempre son fuente${\displaystyle k}$-conectado;
• Los grupos de acción son fuente${\displaystyle k}$-conectado si y solo si${\displaystyle G}$es${\displaystyle k}$-conectado;
• Los grupoides monodromías (y por lo tanto también grupoides fundamentales) están conectados simplemente en la fuente;
• un grupoide de calibre asociado a un haz principal${\displaystyle P\to M}$es fuente${\displaystyle k}$-conectado si y solo si el espacio total${\displaystyle P}$es.

Recordemos que una acción de un grupoide${\displaystyle G\rightrightarrows M}$en un plató${\displaystyle P}$a lo largo de una función${\displaystyle \mu :P\rightarrow M}$se define mediante una colección de mapas${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$para cada morfismo${\displaystyle g\in G}$entre${\displaystyle x,y\in M}$. En consecuencia, una acción de un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$en un colector${\displaystyle P}$a lo largo de un mapa liso${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$consiste en una acción de grupoide donde los mapas${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$son suaves. Por supuesto, para cada${\displaystyle x\in M}$Existe una acción suave inducida del grupo de isotropía.${\displaystyle G_{x}}$sobre la fibra${\displaystyle \mu ^{-1}(x)}$.

Dado un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, un director${\displaystyle G}$-el paquete consta de un${\displaystyle G}$-espacio${\displaystyle P}$y un${\displaystyle G}$-sumersión sobreyectiva invariante${\displaystyle \pi :P\to N}$de tal manera que$${\displaystyle P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$es un difeomorfismo. Se pueden dar definiciones equivalentes (pero más complejas) utilizando${\displaystyle G}$-cociclos con valor o trivializaciones locales.

Cuando${\displaystyle G}$es un grupoide de Lie sobre un punto, se recuperan, respectivamente, las acciones de grupo de Lie estándar y los haces principales .

Representación de un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$Consiste en una acción de grupoide de Lie sobre un fibrado vectorial.${\displaystyle \pi :E\to M}$, de tal manera que la acción sea lineal por fibras, es decir, cada biyección${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$es un isomorfismo lineal. Equivalentemente, una representación de${\displaystyle G}$en${\displaystyle E}$puede describirse como un morfismo de grupoide de Lie de${\displaystyle G}$al grupoide lineal general${\displaystyle GL(E)}$.

Por supuesto, cualquier fibra${\displaystyle E_{x}}$se convierte en una representación del grupo de isotropía${\displaystyle G_{x}}$. De manera más general, las representaciones de grupoides de Lie transitivos están determinadas de forma única por las representaciones de sus grupos de isotropía, a través de la construcción del fibrado vectorial asociado .

Algunos ejemplos de representaciones de grupoides de Lie son los siguientes:

• representaciones de grupos de mentiras${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$recuperar las representaciones estándar del grupo de Lie
• representaciones de grupoides de pares${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$son haces vectoriales triviales
• representaciones de grupoides de unidades${\displaystyle M\rightrightarrows M}$son haces vectoriales
• representaciones de grupoide de acción${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$son${\displaystyle G}$- haces vectoriales equivariantes
• representaciones de grupoides fundamentales${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$son haces vectoriales dotados de conexiones planas

El conjunto${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)}$de clases de isomorfismo de representaciones de un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$tiene una estructura natural de semianillo , con sumas directas y productos tensoriales de haces vectoriales.

La noción de cohomología diferenciable para grupos de Lie se generaliza naturalmente también a grupoides de Lie: la definición se basa en la estructura simplicial del nervio.${\displaystyle N(G)_{n}=G^{(n)}}$de${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, visto como una categoría.

Más precisamente, recordemos que el espacio${\displaystyle G^{(n)}}$consta de cadenas de${\displaystyle n}$morfismos componibles, es decir

${\displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

y considere el mapa${\displaystyle t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$.

Un diferenciable${\displaystyle n}$-cocadena de${\displaystyle G\rightrightarrows M}$con coeficientes en alguna representación${\displaystyle E\to M}$es una sección suave del haz vectorial de retroceso${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$. Uno denota por${\displaystyle C^{n}(G,E)}$el espacio de tal${\displaystyle n}$-cocadenas, y considera la diferencial${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)}$, definido como

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Entonces${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$se convierte en un complejo de cocadenas y su cohomología, denotada por${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$, se denomina cohomología diferenciable de${\displaystyle G\rightrightarrows M}$con coeficientes en${\displaystyle E\to M}$. Nótese que, dado que el diferencial en grado cero es${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$, uno siempre ha${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$.

Por supuesto, la cohomología diferenciable de${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$como un grupoide de Lie coincide con la cohomología diferenciable estándar de${\displaystyle G}$como un grupo de Lie (en particular, para grupos discretos se recupera la cohomología de grupo usual ). Por otro lado, para cualquier grupoide de Lie propio${\displaystyle G\rightrightarrows M}$, se puede demostrar que${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)=0}$por cada${\displaystyle n>0}$. ^{[ 12 ]}

Grupoide de cualquier mentira${\displaystyle G\rightrightarrows M}$tiene un algebroide de Lie asociado${\displaystyle A\to M}$, obtenido con una construcción similar a la que asocia un álgebra de Lie a cualquier grupo de Lieː

• el haz vectorial${\displaystyle A\to M}$es el haz vertical con respecto al mapa fuente, restringido a los elementos tangentes a las identidades, es decir${\displaystyle A:=\ker(ds)_{\mid M}}$;
• El corchete de Lie se obtiene identificando${\displaystyle \Gamma (A)}$con los campos vectoriales invariantes por la izquierda en${\displaystyle G}$y transportando su corchete de Lie a${\displaystyle A}$;
• el mapa de anclaje${\displaystyle A\to TM}$es el diferencial del mapa objetivo${\displaystyle t:G\to M}$restringido a${\displaystyle A}$.

La correspondencia entre grupos de Lie y álgebras de Lie se generaliza, en cierta medida, también a los grupoides de Lie: los dos primeros teoremas de Lie (también conocidos como teorema de subgrupos-subálgebras y teorema de homomorfismos) pueden adaptarse fácilmente a este contexto.

En particular, como en la teoría de Lie estándar, para cualquier grupoide de Lie s-conectado${\displaystyle G}$Existe un único grupoide de Lie s-simplemente conexo (salvo isomorfismo).${\displaystyle {\tilde {G}}}$con el mismo algebroide de Lie de${\displaystyle G}$y un difeomorfismo local${\displaystyle {\tilde {G}}\to G}$que es un morfismo de grupoide. Por ejemplo,

• dado cualquier colector conectado${\displaystyle M}$su par grupoide${\displaystyle M\times M}$es s-conectado pero no s-simplemente conectado, mientras que su grupoide fundamental${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$Ambos tienen el mismo álgebroide de Lie, a saber, el fibrado tangente.${\displaystyle TM\to M}$y el difeomorfismo local${\displaystyle \Pi _{1}(M)\to M\times M}$es dado por${\displaystyle [\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$.
• dada cualquier foliación${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle M}$, su grupoide de holonomía${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$está conectado por s pero no simplemente conectado por s, mientras que su grupoide monodromía${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})}$Ambos tienen el mismo álgebroide de Lie, a saber, el álgebroide de foliación.${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$y el difeomorfismo local${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$es dado por${\displaystyle [\gamma ]\mapsto [\gamma ]}$(ya que las clases de homotopía son más pequeñas que las de holonomía).

Sin embargo, no existe un análogo del tercer teorema de Lie . Si bien varias clases de álgebroides de Lie son integrables, existen ejemplos de álgebroides de Lie, por ejemplo, relacionados con la teoría de la foliación , que no admiten un grupoide de Lie integrable. ^{[ 13 ]} Las obstrucciones generales a la existencia de dicha integración dependen de la topología de${\displaystyle G}$. ^{[ 14 ]}

Muchas propiedades de los grupoides de Lie, como ser propios, ser de Hausdorff o ser transitivos, son invariantes de Morita. Por otro lado, ser étale no es invariante de Morita.

Además, una equivalencia de Morita entre${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$y${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$conserva su geometría transversal , es decir, induce:

• un homeomorfismo entre los espacios de órbitas${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$y${\displaystyle H_{0}/H_{1}}$;
• un isomorfismo${\displaystyle G_{x}\cong H_{y}}$entre los grupos de isotropía en puntos correspondientes${\displaystyle x\in G_{0}}$y${\displaystyle y\in H_{0}}$;
• un isomorfismo${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}}$entre las representaciones normales de los grupos de isotropía en puntos correspondientes${\displaystyle x\in G_{0}}$y${\displaystyle y\in H_{0}}$.

Por último, las cohomologías diferenciables de dos grupoides de Lie equivalentes de Morita son isomorfas. ^{[ 12 ]}

• Los grupoides de Lie isomorfos son trivialmente equivalentes en el sentido de Morita.
• Dos grupos de Lie son equivalentes de Morita si y solo si son isomorfos como grupos de Lie.
• Dos grupoides unitarios son equivalentes de Morita si y solo si las variedades base son difeomorfas.
• Cualquier grupoide de Lie transitivo es Morita equivalente a sus grupos de isotropía.
• Dado un grupoide de Lie${\displaystyle G\rightrightarrows M}$y una inmersión sobreyectiva${\displaystyle \mu :N\to M}$, el grupoide de retroceso${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$¿Es Morita equivalente a?${\displaystyle G\rightrightarrows M}$.
• Dado que existe una acción grupal libre y apropiada de Mentira${\displaystyle G}$en${\displaystyle M}$(por lo tanto el cociente${\displaystyle M/G}$es una variedad), el grupoide de acción${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$¿Es Morita equivalente al grupoide unitario?${\displaystyle u(M/G)\rightrightarrows M/G}$.
• Un grupoide de mentiras${\displaystyle G}$¿Es Morita equivalente a un grupoide étale si y solo si todos los grupos de isotropía de${\displaystyle G}$son discretos. ^{[ 16 ]}

Un ejemplo concreto del último ejemplo es el siguiente. Sea M una variedad diferenciable y${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$una cubierta abierta de${\displaystyle M}$. Su grupoide checo${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$se define por las uniones disjuntas${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$y${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$, dónde${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$El mapa de origen y el de destino se definen como las incrustaciones.${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$y${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$y la multiplicación es la obvia si leemos el${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$como subconjuntos de M (puntos compatibles en${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$y${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$en realidad son lo mismo en${\displaystyle M}$y también yacen en${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$). El grupoide de Čech es, de hecho, el grupoide de retroceso, bajo la obvia inmersión.${\displaystyle p:G_{0}\to M}$, del grupoide unitario${\displaystyle M\rightrightarrows M}$. Como tal, los grupoides de Čech asociados a diferentes cubiertas abiertas de${\displaystyle M}$son equivalentes a Morita.

Investigar la estructura del espacio de órbitas de un grupoide de Lie conduce a la noción de pila lisa. Por ejemplo, el espacio de órbitas es una variedad lisa si los grupos de isotropía son triviales (como en el ejemplo del grupoide de Čech), pero no es lisa en general. La solución consiste en invertir el problema y definir una pila lisa como una clase de equivalencia de Morita de grupoides de Lie. Los objetos geométricos naturales que residen en la pila son los objetos geométricos sobre grupoides de Lie invariantes bajo la equivalencia de Morita: un ejemplo es la cohomología de grupoides de Lie.

Dado que la noción de pila lisa es bastante general, obviamente todas las variedades lisas son pilas lisas. Otras clases de ejemplos incluyen orbifolds , que son (clases de equivalencia de) grupoides de Lie étales propios, y espacios de órbitas de foliaciones.