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Articulo de referencia

fibrado de álgebra de Lie

En matemáticas , un fibrado de álgebra de Lie débil ξ = ( ξ , pag , incógnita , θ ) {\displaystyle \xi =(\xi ,p,X,\theta )\,} es un paquete vectorial ξ {\displaystyle \xi \,} so...

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En matemáticas , un fibrado de álgebra de Lie débil

ξ=(ξ,pag,incógnita,θ){\displaystyle \xi =(\xi ,p,X,\theta )\,}

es un paquete vectorialξ{\displaystyle \xi \,}sobre un espacio base X junto con un morfismo

θ:ξ⊗ξ→ξ{\displaystyle \theta :\xi \otimes \xi \rightarrow \xi }

lo que induce una estructura de álgebra de Lie en cada fibra.ξincógnita{\displaystyle \xi _{x}\,}.

Un paquete de álgebra de Lieξ=(ξ,pag,incógnita){\displaystyle \xi =(\xi ,p,X)\,}es un fibrado vectorial en el que cada fibra es un álgebra de Lie y para cada x en X , hay un conjunto abiertoU{\displaystyle U}que contiene x , un álgebra de Lie L y un homeomorfismo

ϕ:U×L→pag−1(U){\displaystyle \phi :U\times L\to p^{-1}(U)\,}

de tal manera que

ϕincógnita:{incógnita}×L→pag−1({incógnita}){\displaystyle \phi _{x}:\{x\}\times L\rightarrow p^{-1}(\{x\})\,}

es un isomorfismo de álgebra de Lie.

Cualquier fibrado de álgebra de Lie es un fibrado de álgebra de Lie débil, pero lo contrario no tiene por qué ser cierto en general.

Como ejemplo de un fibrado de álgebra de Lie débil que no es un fibrado de álgebra de Lie fuerte, consideremos el espacio total.so(3)×R{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\times \mathbb {R} }sobre la línea realR{\displaystyle \mathbb {R} }. Sea [.,.] el corchete de Lie deso(3){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}y deformarlo mediante el parámetro real como:

[incógnita,Y]incógnita=incógnita⋅[incógnita,Y]{\displaystyle [X,Y]_{x}=x\cdot [X,Y]}

paraincógnita,Y∈so(3){\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {so}}(3)}yincógnita∈R{\displaystyle x\in \mathbb {R} }.

El tercer teorema de Lie establece que todo fibrado de álgebras de Lie puede integrarse localmente a un fibrado de grupos de Lie. En general, globalmente el espacio total podría no ser Hausdorff . [ 1 ] Pero si todas las fibras de un fibrado de álgebras de Lie reales sobre un espacio topológico son mutuamente isomorfas como álgebras de Lie, entonces es un fibrado de álgebras de Lie localmente trivial. Este resultado se demostró probando que la órbita real de un punto real bajo un grupo algebraico es abierta en la parte real de su órbita compleja. Supongamos que el espacio base es Hausdorff y que las fibras del espacio total son isomorfas como álgebras de Lie, entonces existe un fibrado de grupos de Lie de Hausdorff sobre el mismo espacio base cuyo fibrado de álgebras de Lie es isomorfo al fibrado de álgebras de Lie dado. [ 2 ] Todo fibrado de álgebras de Lie semisimple es localmente trivial. Por lo tanto, existe un fibrado de grupos de Lie de Hausdorff sobre el mismo espacio base cuyo fibrado de álgebras de Lie es isomorfo al fibrado de álgebras de Lie dado. [ 3 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ A. Weinstein, AC da Silva: Modelos geométricos para álgebras no conmutativas , 1999 Berkley LNM, disponible en línea en, en particular el capítulo 16.3.
  2. ↑ BS Kiranangi: "Lie Algebra Bundles", Bull. Sc. Math. , 2ª serie, 102, 1978, pp. 57–62
  3. ^ BS Kiranangi: "Paquetes de álgebra de mentiras semisimples", Bull. Matemáticas. de la Sci. Matemáticas. de la RS de Roumanie , 27(75),1983, p.253-257
  • Douady, Adrián ; Lazard, Michel (1966). "Espaces fibrés en algèbres de Lie et en groupes". Invenciones Mathematicae . 1 (2): 133– 151. Bibcode : 1966InMat...1..133D . doi : 10.1007/BF01389725 .
  • Kiranagi, BS; Kumar, Ranjitha; Prema, G. (2015). "Sobre haces de álgebra de Lie completamente semisimples". Journal of Algebra and Its Applications . 14 (2): 1550009. doi : 10.1142/S0219498815500097 .