Espacio de la lente

Un espacio lente es un ejemplo de espacio topológico , considerado en matemáticas . El término suele referirse a una clase específica de 3-variedades , pero en general puede definirse para dimensiones superiores.

En el caso de la 3-variedad, un espacio lente puede visualizarse como el resultado de pegar dos toros sólidos mediante un homeomorfismo de sus límites. A menudo, la 3-esfera y${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$, ambos se pueden obtener como se indicó anteriormente, no se tienen en cuenta ya que se consideran casos especiales triviales.

Los espacios de lentes tridimensionales${\displaystyle L(p;q)}$Fueron introducidos por Heinrich Tietze en 1908. Fueron los primeros ejemplos conocidos de 3-variedades que no estaban determinadas únicamente por su homología y grupo fundamental , y los ejemplos más simples de variedades cerradas cuyo tipo de homeomorfismo no está determinado por su tipo de homotopía. JW Alexander en 1919 demostró que los espacios lente${\displaystyle L(5;1)}$y${\displaystyle L(5;2)}$no eran homeomorfos a pesar de que tienen grupos fundamentales isomorfos y la misma homología, aunque no tienen el mismo tipo de homotopía. Otros espacios de lentes (como ${\displaystyle L(7;1)}$y${\displaystyle L(7;2)}$) tienen incluso el mismo tipo de homotopía (y por lo tanto grupos fundamentales isomorfos y homología), pero no el mismo tipo de homeomorfismo; por lo tanto, pueden verse como el nacimiento de la topología geométrica de variedades como distinta de la topología algebraica .

Existe una clasificación completa de los espacios de lentes tridimensionales, por grupo fundamental y torsión de Reidemeister .

Los espacios de lentes tridimensionales${\displaystyle L(p;q)}$son cocientes de${\displaystyle S^{3}}$por${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-acciones. Más precisamente, dejemos${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$sean enteros coprimos y consideremos${\displaystyle S^{3}}$como la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Entonces el${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-acción sobre${\displaystyle S^{3}}$generado por el homeomorfismo

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$

es libre. El espacio cociente resultante se llama espacio lente.${\displaystyle L(p;q)}$.

Esto se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera: Sea${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$sean números enteros tales que el${\displaystyle q_{i}}$son coprimos con${\displaystyle p}$y considere${\displaystyle S^{2n-1}}$como la esfera unitaria en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$El espacio de la lente${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$es el cociente de${\displaystyle S^{2n-1}}$por la libertad${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$-acción generada por

${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}$

En tres dimensiones tenemos${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q).}$

El espacio de la lente tridimensional${\displaystyle L(p;q)}$a menudo se define como una bola sólida con la siguiente identificación: primero marque p puntos igualmente espaciados en el ecuador de la bola sólida, denotemos${\displaystyle a_{0}}$a${\displaystyle a_{p-1}}$Luego, en el borde de la esfera, dibuje líneas geodésicas que conecten los puntos con el polo norte y el polo sur. Ahora identifique triángulos esféricos identificando el polo norte con el polo sur y los puntos${\displaystyle a_{i}}$con${\displaystyle a_{i+q}}$y${\displaystyle a_{i+1}}$con${\displaystyle a_{i+q+1}}$El espacio resultante es homeomorfo al espacio lente.${\displaystyle L(p;q)}$.

Otra definición relacionada consiste en considerar la esfera sólida como la siguiente bipirámide sólida: construir un polígono regular plano de p lados . Colocar dos puntos n y s directamente encima y debajo del centro del polígono. Construir la bipirámide uniendo cada vértice del polígono regular de p lados con n y s . Rellenar la bipirámide para que sea sólida y asignar a los triángulos del borde la misma identificación que la anterior.

Se conocen clasificaciones hasta la equivalencia de homeomorfismo y homotopía, como sigue. Los espacios tridimensionales${\displaystyle L(p;q_{1})}$y ${\displaystyle L(p;q_{2})}$son:

1. homotopía equivalente si y solo si${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$;
2. homeomorfo si y solo si${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$.

Si${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$Como en el caso 2, son "obviamente" homeomorfos, ya que se puede generar fácilmente un homeomorfismo. Resulta más difícil demostrar que estos son los únicos espacios de lentes homeomorfos.

El invariante que da la clasificación homotópica de los espacios de lentes tridimensionales es la forma de enlace de torsión .

La clasificación de homeomorfismo es más sutil y viene dada por la torsión de Reidemeister . Esta se presentó en ( Reidemeister 1935 ) como una clasificación hasta el homeomorfismo PL , pero se demostró en ( Brody 1960 ) que se trata de una clasificación de homeomorfismo. En términos modernos, los espacios de lentes están determinados por un tipo de homotopía simple , y no existen invariantes normales (como clases características ) ni obstrucción quirúrgica .

En ( Przytycki & Yasukhara 2003 ) se presenta una clasificación basada en la teoría de nudos : sea C una curva cerrada en el espacio lente que se eleva a un nudo en el recubrimiento universal de dicho espacio. Si el nudo elevado tiene un polinomio de Alexander trivial , se calcula la forma de enlace de torsión en el par (C,C); esto proporciona la clasificación de homeomorfismo.

Otro invariante es el tipo de homotopía de los espacios de configuración – ( Salvatore y Longoni 2005 ) demostraron que los espacios de lentes homotópicamente equivalentes pero no homeomórficos pueden tener espacios de configuración con diferentes tipos de homotopía, que pueden detectarse mediante diferentes productos de Massey .

• Variedad tridimensional esférica

• Espacios de lentes archivados el 15/05/2021 en Wayback Machine en Manifold Atlas
• Espacios de lentes: una historia. Archivado el 15 de mayo de 2021 en Wayback Machine del Manifold Atlas.
• Espacios de lentes falsos Archivados el 15/05/2021 en la Wayback Machine del Manifold Atlas
• espacio para lentes en nLab