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Articulo de referencia

Propiedad distributiva

x \\cdot (y + z) = x \\cdot y + x \\cdot z \n# Propositional calculus:\n## (P \\land (Q \\lor R)) \\Leftrightarrow ((P \\land Q) \\lor (P \\land R)) \n## (P \\lor (Q \\land R)) ...

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En matemáticas , la propiedad distributiva de las operaciones binarias es una generalización de la ley distributiva , que afirma que la igualdad incógnita⋅(y+z)=incógnita⋅y+incógnita⋅z{\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z} Esto siempre es cierto en álgebra elemental . Por ejemplo, en aritmética elemental , se tiene 2⋅(1+3)=(2⋅1)+(2⋅3).{\displaystyle 2\cdot (1+3)=(2\cdot 1)+(2\cdot 3).} Por lo tanto, se podría decir que la multiplicación es distributiva sobre la suma .

Esta propiedad básica de los números forma parte de la definición de la mayoría de las estructuras algebraicas que tienen dos operaciones llamadas suma y multiplicación, como los números complejos , los polinomios , las matrices , los anillos y los cuerpos . También se encuentra en el álgebra booleana y la lógica matemática , donde cada uno de los operadores lógicos y (denotado∧{\displaystyle \,\land \,}) y la disyunción lógica (denotada∨{\displaystyle \,\lor \,}) se distribuye sobre el otro.

Definición

Dado un conjuntoS{\displaystyle S}y dos operadores binarios∗{\displaystyle \,*\,}y+{\displaystyle \,+\,}enS,{\displaystyle S,}

  • la operación∗{\displaystyle \,*\,}es distributiva por la izquierda sobre (o con respecto a)+{\displaystyle \,+\,}si, dados algunos elementosincógnita,y, y z{\displaystyle x,y,{\text{ y }}z}deS,{\displaystyle S,}

incógnita∗(y+z)=(incógnita∗y)+(incógnita∗z);{\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z);}

  • la operación∗{\displaystyle \,*\,}es distributiva derecha sobre+{\displaystyle \,+\,}si, dados algunos elementosincógnita,y, y z{\displaystyle x,y,{\text{ y }}z}deS,{\displaystyle S,}

(y+z)∗incógnita=(y∗incógnita)+(z∗incógnita);{\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x);}

  • y la operación∗{\displaystyle \,*\,}es distributiva sobre+{\displaystyle \,+\,}si es distributiva por la izquierda y por la derecha. [ 1 ]

Cuando∗{\displaystyle \,*\,}es conmutativo , las tres condiciones anteriores son lógicamente equivalentes .

Significado

Los operadores utilizados en los ejemplos de esta sección son los de la suma habitual.+{\displaystyle \,+\,}y multiplicación⋅.{\displaystyle \,\cdot .\,}

Si la operación denotada⋅{\displaystyle \cdot }no es conmutativo, existe una distinción entre distributividad izquierda y distributividad derecha:

a⋅(b±do)=a⋅b±a⋅do (distributiva izquierda) {\displaystyle a\cdot \left(b\pm c\right)=a\cdot b\pm a\cdot c\qquad {\text{ (distributiva izquierda) }}}(a±b)⋅do=a⋅do±b⋅do (distributiva derecha) .{\displaystyle (a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\qquad {\text{ (distributiva derecha) }}.}

En ambos casos, la propiedad distributiva se puede describir con palabras como:

Para multiplicar una suma (o diferencia ) por un factor, cada sumando (o minuendo y sustraendo ) se multiplica por este factor y los productos resultantes se suman (o se restan).

Si la operación fuera de los paréntesis (en este caso, la multiplicación) es conmutativa, entonces la distributividad izquierda implica la distributividad derecha y viceversa, y se habla simplemente de distributividad .

Un ejemplo de una operación que es "solo" distributiva por la derecha es la división, que no es conmutativa: (a±b)÷do=a÷do±b÷do.{\displaystyle (a\pm b)\div c=a\div c\pm b\div c.} En este caso, la propiedad distributiva izquierda no se aplica: a÷(b±do)≠a÷b±a÷do{\displaystyle a\div (b\pm c)\neq a\div b\pm a\div c}

Las leyes distributivas se encuentran entre los axiomas de los anillos (como el anillo de los enteros ) y los cuerpos (como el cuerpo de los números racionales ). En este caso, la multiplicación es distributiva respecto de la suma, pero la suma no lo es respecto de la multiplicación. Ejemplos de estructuras con dos operaciones que son distributivas entre sí son las álgebras booleanas, como el álgebra de conjuntos o el álgebra de conmutación .

La multiplicación de sumas se puede expresar con palabras de la siguiente manera: cuando una suma se multiplica por otra, se multiplica cada sumando de una suma por cada sumando de la otra suma (teniendo en cuenta los signos) y luego se suman todos los productos resultantes.

Ejemplos

Números reales

En los siguientes ejemplos, se utiliza la ley distributiva en el conjunto de los números reales.R{\displaystyle \mathbb {R} }Se ilustra. Cuando se menciona la multiplicación en matemáticas elementales, generalmente se hace referencia a este tipo de multiplicación. Desde el punto de vista del álgebra, los números reales forman un cuerpo que garantiza la validez de la ley distributiva.

Primer ejemplo (multiplicación mental y escrita)
Durante los cálculos mentales, la propiedad distributiva se utiliza a menudo de forma inconsciente: 6⋅16=6⋅(10+6)=6⋅10+6⋅6=60+36=96{\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96} Por lo tanto, para calcular6⋅16{\displaystyle 6\cdot 16}en la cabeza, uno primero multiplica6⋅10{\displaystyle 6\cdot 10}y6⋅6{\displaystyle 6\cdot 6}y sumar los resultados intermedios. La multiplicación escrita también se basa en la propiedad distributiva.
Segundo ejemplo (con variables)
3a2b⋅(4a−5b)=3a2b⋅4a−3a2b⋅5b=12a3b−15a2b2{\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}
Tercer ejemplo (con dos sumas)
(a+b)⋅(a−b)=a⋅(a−b)+b⋅(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−b2=(a+b)⋅a−(a+b)⋅b=a2+ba−ab−b2=a2−b2{\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (ab)&=a\cdot (ab)+b\cdot (ab)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}} Aquí se aplicó la ley distributiva dos veces, y no importa qué paréntesis se multiplique primero.
Cuarto ejemplo
Aquí la ley distributiva se aplica al revés en comparación con los ejemplos anteriores. Consideremos 12a3b2−30a4bdo+18a2b3do2.{\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.} Dado que el factor6a2b{\displaystyle 6a^{2}b}aparece en todos los sumandos, se puede factorizar. Es decir, debido a la ley distributiva se obtiene 12a3b2−30a4bdo+18a2b3do2=6a2b(2ab−5a2do+3b2do2).{\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}

Matrices

La ley distributiva es válida para la multiplicación de matrices . Más precisamente, (A+B)⋅do=A⋅do+B⋅do{\displaystyle (A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C} a pesar de l×metro{\displaystyle l\times m}-matricesA,B{\displaystyle A,B}ymetro×norte{\displaystyle m\times n}-matricesdo,{\displaystyle C,}así como A⋅(B+do)=A⋅B+A⋅do{\displaystyle A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C} a pesar del×metro{\displaystyle l\times m}-matricesA{\displaystyle A}ymetro×norte{\displaystyle m\times n}-matricesB,do.{\displaystyle B,C.} Dado que la propiedad conmutativa no se cumple para la multiplicación de matrices, la segunda ley no se deduce de la primera. En este caso, se trata de dos leyes diferentes.

Otros ejemplos

  • La multiplicación de números ordinales , en cambio, solo es distributiva por la izquierda, no por la derecha.
  • El producto vectorial es distributivo por la izquierda y por la derecha respecto de la suma de vectores , aunque no conmutativo.
  • Para conjuntos , la unión es distributiva sobre la intersección , y la intersección es distributiva sobre la unión.
  • La disyunción lógica ("o") es distributiva sobre la conjunción lógica ("y"), y viceversa.
  • Para los números reales (y para cualquier conjunto totalmente ordenado ), la operación de máximo es distributiva sobre la operación de mínimo , y viceversa:máximo(a,min(b,do))=min(máximo(a,b),máximo(a,do)) y min(a,máximo(b,do))=máximo(min(a,b),min(a,do)).{\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))\quad {\text{ y }}\quad \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c)).}
  • Para los números enteros , el máximo común divisor es distributivo sobre el mínimo común múltiplo , y viceversa:mcd(a,lcm⁡(b,do))=lcm⁡(mcd(a,b),mcd(a,do)) y lcm⁡(a,mcd(b,do))=mcd(lcm⁡(a,b),lcm⁡(a,do)).{\displaystyle \gcd(a,\operatorname {lcm} (b,c))=\operatorname {lcm} (\gcd(a,b),\gcd(a,c))\quad {\text{ y }}\quad \operatorname {lcm} (a,\gcd(b,c))=\gcd(\operatorname {lcm} (a,b),\operatorname {lcm} (a,c)).}
  • Para los números reales, la suma se distribuye sobre la operación máxima y también sobre la operación mínima:a+máximo(b,do)=máximo(a+b,a+do) y a+min(b,do)=min(a+b,a+do).{\displaystyle a+\max(b,c)=\max(a+b,a+c)\quad {\text{ y }}\quad a+\min(b,c)=\min(a+b,a+c).}
  • Para la multiplicación binomial , la distribución a veces se denomina método FOIL [ 2 ] (Primeros términosado,{\displaystyle ac,}Exteriorad,{\displaystyle ad,}Internobdo,{\displaystyle bc,}y últimobd{\displaystyle bd}) como:(a+b)⋅(do+d)=ado+ad+bdo+bd.{\displaystyle (a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.}
  • En todos los semianillos , incluidos los números complejos , los cuaterniones , los polinomios y las matrices , la multiplicación se distribuye sobre la suma:tú(v+w)=túv+túw,(tú+v)w=túw+vw.{\displaystyle u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.}
  • En todas las álgebras sobre un cuerpo , incluyendo los octoniones y otras álgebras no asociativas , la multiplicación se distribuye sobre la suma.

Lógica proposicional

Regla de reemplazo

En la lógica proposicional veritativo-funcional estándar, la distribución [ 3 ] [ 4 ] en las pruebas lógicas utiliza dos reglas válidas de reemplazo para expandir ocurrencias individuales de ciertos conectores lógicos , dentro de alguna fórmula , en aplicaciones separadas de esos conectores a través de subfórmulas de la fórmula dada. Las reglas son: (PAG∧(Q∨R))⇔((PAG∧Q)∨(PAG∧R)) y (PAG∨(Q∧R))⇔((PAG∨Q)∧(PAG∨R)){\displaystyle (P\land (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\lor (P\land R))\qquad {\text{ y }}\qquad (P\lor (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\land (P\lor R))} dónde "⇔{\displaystyle \Leftrightarrow }", también escrito≡,{\displaystyle \,\equiv ,\,}es un símbolo metalógico que representa "puede ser reemplazado en una prueba por" o "es lógicamente equivalente a".

conectores funcionales de la verdad

La distributividad es una propiedad de algunos conectores lógicos de la lógica proposicional veritativo-funcional . Las siguientes equivalencias lógicas demuestran que la distributividad es una propiedad de conectores particulares. Las siguientes son tautologías veritativo-funcionales . (PAG∧(Q∨R))⇔((PAG∧Q)∨(PAG∧R)) Distribución de  conjunción  encima  disyunción (PAG∨(Q∧R))⇔((PAG∨Q)∧(PAG∨R)) Distribución de  disyunción  encima  conjunción (PAG∧(Q∧R))⇔((PAG∧Q)∧(PAG∧R)) Distribución de  conjunción  encima  conjunción (PAG∨(Q∨R))⇔((PAG∨Q)∨(PAG∨R)) Distribución de  disyunción  encima  disyunción (PAG→(Q→R))⇔((PAG→Q)→(PAG→R)) Distribución de  implicación   (PAG→(Q↔R))⇔((PAG→Q)↔(PAG→R)) Distribución de  implicación  encima  equivalencia (PAG→(Q∧R))⇔((PAG→Q)∧(PAG→R)) Distribución de  implicación  encima  conjunción (PAG∨(Q↔R))⇔((PAG∨Q)↔(PAG∨R)) Distribución de  disyunción  encima  equivalencia {\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&(P&&\;\land &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\lor (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\land (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\land &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\land Q)&&\;\land (P\land R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ conjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\lor R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\;\lor (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ disjunction }}\\&(P&&\to &&(Q\to R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\to (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ }}&&{\text{ }}\\&(P&&\to &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\leftrightarrow (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\&(P&&\to &&(Q\land R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\to Q)&&\;\land (P\to R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ implication }}&&{\text{ over }}&&{\text{ conjunction }}\\&(P&&\;\lor &&(Q\leftrightarrow R))&&\;\Leftrightarrow \;&&((P\lor Q)&&\leftrightarrow (P\lor R))&&\quad {\text{ Distribution of }}&&{\text{ disjunction }}&&{\text{ over }}&&{\text{ equivalence }}\\\end{alignedat}}}

Distribución doble

((PAG∧Q)∨(R∧S))⇔(((PAG∨R)∧(PAG∨S))∧((Q∨R)∧(Q∨S)))((PAG∨Q)∧(R∨S))⇔(((PAG∧R)∨(PAG∧S))∨((Q∧R)∨(Q∧S))){\displaystyle {\begin{alignedat}{13}&((P\land Q)&&\;\lor (R\land S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\lor R)\land (P\lor S))&&\;\land ((Q\lor R)\land (Q\lor S)))&&\\&((P\lor Q)&&\;\land (R\lor S))&&\;\Leftrightarrow \;&&(((P\land R)\lor (P\land S))&&\;\lor ((Q\land R)\lor (Q\land S)))&&\\\end{alignedat}}}

Distributividad y redondeo

En la aritmética aproximada, como la aritmética de punto flotante , la propiedad distributiva de la multiplicación (y la división) sobre la suma puede fallar debido a las limitaciones de la precisión aritmética . Por ejemplo, la identidad1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3{\displaystyle 1/3+1/3+1/3=(1+1+1)/3}Falla en aritmética decimal , independientemente del número de cifras significativas . Métodos como el redondeo bancario pueden ayudar en algunos casos, al igual que aumentar la precisión utilizada, pero en última instancia, algunos errores de cálculo son inevitables.

En anillos y otras estructuras

La distributividad se encuentra con mayor frecuencia en semianillos , especialmente en los casos particulares de anillos y retículos distributivos .

Un semianillo tiene dos operaciones binarias, comúnmente denotadas+{\displaystyle \,+\,}y∗,{\displaystyle \,*,}y requiere que∗{\displaystyle \,*\,}debe distribuirse sobre+.{\displaystyle \,+.}

Un anillo es un semianillo con inversos aditivos.

Un retículo es otro tipo de estructura algebraica con dos operaciones binarias,∧ y ∨.{\displaystyle \,\land {\text{ and }}\lor .} Si alguna de estas operaciones distribuye sobre la otra (por ejemplo∧{\displaystyle \,\land \,}distribuye sobre∨{\displaystyle \,\lor }), entonces también se cumple lo contrario (∨{\displaystyle \,\lor \,}distribuye sobre∧{\displaystyle \,\land \,}), y la red se llama distributiva. Véase también Distributividad (teoría del orden) .

Un álgebra booleana puede interpretarse como un tipo especial de anillo (un anillo booleano ) o como un tipo especial de retículo distributivo (un retículo booleano ). Cada interpretación da lugar a diferentes leyes distributivas en el álgebra booleana.

En cualquier semianillo, la propiedad distributiva se puede utilizar para demostrar que cualquier producto de sumas es una suma de productos (aunque no toda suma de productos es necesariamente un producto de sumas). La fórmula general es la siguiente:∏i=1metro(∑j=1norteiai,j)=∑j1=1norte1∑j2=1norte2⋯∑jmetro=1nortemetro∏i=1metroai,ji{\displaystyle \prod _{i=1}^{m}\left(\sum _{j=1}^{n_{i}}a_{i,j}\right)=\sum _{j_{1}=1}^{n_{1}}\sum _{j_{2}=1}^{n_{2}}\cdots \sum _{j_{m}=1}^{n_{m}}\;\prod _{i=1}^{m}a_{i,j_{i}}}Las estructuras sin leyes distributivas bilaterales son los casi-anillos y los casi-campos . Las operaciones suelen definirse como distributivas por la derecha, pero no por la izquierda.

Generalizaciones

En varias áreas matemáticas, se consideran leyes de distributividad generalizadas. Esto puede implicar el debilitamiento de las condiciones anteriores o la extensión a operaciones infinitas. Especialmente en la teoría del orden se encuentran numerosas variantes importantes de la distributividad, algunas de las cuales incluyen operaciones infinitas, como la ley distributiva infinita ; otras se definen en presencia de una sola operación binaria, como las definiciones correspondientes y sus relaciones se dan en el artículo distributividad (teoría del orden) . Esto también incluye la noción de un retículo completamente distributivo .

En presencia de una relación de orden, también se pueden debilitar las igualdades anteriores reemplazando={\displaystyle \,=\,}por cualquiera de las≤{\displaystyle \,\leq \,}o≥.{\displaystyle \,\geq .}Naturalmente, esto solo dará lugar a conceptos significativos en ciertas situaciones. Una aplicación de este principio son las nociones de subdistributividad , donde la igualdad se sustituye por "menor o igual que"; y superdistributividad , donde la igualdad se sustituye por "mayor o igual que".

En teoría de categorías , si(S,μ,ν){\displaystyle (S,\mu ,\nu )}y(S′,μ′,ν′){\displaystyle \left(S^{\prime },\mu ^{\prime },\nu ^{\prime }\right)}son mónadas en una categoríado,{\displaystyle C,}una ley distributivaS.S′→S′.S{\displaystyle S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}es una transformación naturalλ:S.S′→S′.S{\displaystyle \lambda :S.S^{\prime }\to S^{\prime }.S}de tal manera que(S′,λ){\displaystyle \left(S^{\prime },\lambda \right)}es un mapa laxo de mónadasS→S{\displaystyle S\to S}y(S,λ){\displaystyle (S,\lambda )}es un mapa de mónadas de ColaxS′→S′.{\displaystyle S^{\prime }\to S^{\prime }.}Estos son exactamente los datos necesarios para definir una estructura de mónada enS′.S{\displaystyle S^{\prime }.S}: el mapa de multiplicación esS′μ.μ′S2.S′λS{\displaystyle S^{\prime }\mu .\mu ^{\prime }S^{2}.S^{\prime }\lambda S}y el mapa de unidades esη′S.η.{\displaystyle \eta ^{\prime }S.\eta .} También se ha propuesto una ley distributiva generalizada en el ámbito de la teoría de la información .

Antidistributividad

La identidad ubicua que relaciona los inversos con la operación binaria en cualquier grupo , a saber:(incógnitay)−1=y−1incógnita−1,{\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1},}que se toma como un axioma en el contexto más general de un semigrupo con involución , a veces se ha llamado una propiedad antidistributiva (de la inversión como operación unaria ). [ 5 ]

En el contexto de un casi-anillo , que elimina la conmutatividad del grupo escrito aditivamente y asume solo distributividad unilateral, se puede hablar de elementos distributivos (bilaterales) pero también de elementos antidistributivos . Estos últimos invierten el orden de la suma (no conmutativa); suponiendo un casi-anillo izquierdo (es decir, uno en el que todos los elementos se distribuyen cuando se multiplican por la izquierda), entonces un elemento antidistributivoa{\displaystyle a}invierte el orden de la suma cuando se multiplica hacia la derecha:(incógnita+y)a=ya+incógnitaa.{\displaystyle (x+y)a=ya+xa.}[ 6 ]

En el estudio de la lógica proposicional y el álgebra booleana , el término ley antidistributiva se utiliza a veces para denotar el intercambio entre conjunción y disyunción cuando los factores de implicación se aplican sobre ellas: [ 7 ](a∨b)⇒do≡(a⇒do)∧(b⇒do){\displaystyle (a\lor b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\land (b\Rightarrow c)}(a∧b)⇒do≡(a⇒do)∨(b⇒do).{\displaystyle (a\land b)\Rightarrow c\equiv (a\Rightarrow c)\lor (b\Rightarrow c).}

Estas dos tautologías son una consecuencia directa de la dualidad en las leyes de De Morgan .

Notas

  1. ↑ Distributividad de las operaciones binarias de Mathonline
  2. ↑ Kim Steward (2011) Multiplicación de polinomios del Laboratorio Virtual de Matemáticas de la Universidad West Texas A&M
  3. ↑ Elliott Mendelson (1964) Introducción a la lógica matemática , página 21, D. Van Nostrand Company
  4. ↑ Alfred Tarski (1941) Introducción a la lógica , página 52, Oxford University Press
  5. ^ Chris Brink; Wolfram Kahl; Günther Schmidt (1997). Métodos relacionales en informática . Saltador. pag. 4 . ISBN  978-3-211-82971-4.
  6. ↑ Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups . Kluwer Academic Publishers. pp. 62 y 67. ISBN  978-1-4613-0267-4.
  7. ↑ Eric CR Hehner (1993). Una teoría práctica de la programación . Springer Science & Business Media. pág. 230. ISBN  978-1-4419-8596-5.
  • Una demostración de la Ley Distributiva para la aritmética de enteros (de cut-the-knot )