Ley distributiva entre mónadas

De manera informal, se podría decir que el monoide libre en un conjunto está dado por "el semigrupo libre , más un elemento identidad ". Podemos formalizar esta intuición, utilizando el hecho de que tanto el semigrupo libre como los functores de "elemento libre" son mónadas. ^{[ 1 ]} Explícitamente, consideremos las mónadas

${\displaystyle T(X):=\sum _{n\geq 1}X^{n}}$

${\displaystyle S(X):=X+1}$,

(aquí la adición denota la unión disjunta ), con mapas de unidades dados por:

${\displaystyle \eta _{X}^{T}:X\to T(X)}$

${\displaystyle \eta _{X}^{T}(x):=x\in X^{1}}$

${\displaystyle \eta _{X}^{S}:X\to S(X)}$

${\displaystyle \eta _{X}^{S}(x):=x\in X}$.

El mapa de multiplicación${\displaystyle \mu _{X}^{S}:X+2\to X+1}$envía ambos elementos de 2 al de 1, pero la multiplicación en${\displaystyle T}$es un poco más difícil de describir. Primero, tenga en cuenta que un elemento arbitrario de${\displaystyle T(X)}$es simplemente una cadena finita (no vacía) de elementos de${\displaystyle X}$El mapa de multiplicación${\displaystyle T^{2}(X)\to T(X)}$Por lo tanto, debería tomar una serie de palabras sobre${\displaystyle X}$en una palabra. Elegimos${\displaystyle \mu _{X}^{T}(lista)}$ser la concatenación de todas (un número finito de) palabras en${\displaystyle lista}$.

¿Qué es una ley distributiva?${\displaystyle l:TS\to ST}$¿Qué quieres decir aquí? Se necesita una palabra en el set${\displaystyle X+1}$a cualquiera de las dos palabras sobre${\displaystyle X}$, o el punto disjunto en${\displaystyle 1}$. Elegimos el mapa que interpreta el elemento unitario${\displaystyle e\in 1}$como la palabra vacía; explícitamente:

${\displaystyle l(w)=nosotros,}$

dónde${\displaystyle nosotros}$es la palabra derivada de${\displaystyle w}$eliminando todas las instancias de${\displaystyle e}$, a menos que${\displaystyle w}$eso es todo${\displaystyle e}$'s, en cuyo caso se define como${\displaystyle e\in 1}$La idea, en resumen, es esta: si consideramos las palabras en${\displaystyle X}$como productos formales de elementos (es decir, la operación de semigrupo libre), entonces${\displaystyle l}$codifica que el elemento añadido libremente${\displaystyle e}$puede incorporarse al semigrupo como un elemento unitario (convirtiendo así la estructura en un monoide). Comprobemos que todos los diagramas de la definición conmutan.

• ${\displaystyle \mu _{T(X)}^{S}\circ S(l_{X})\circ l_{S(X)}=l_{X}\circ T(\mu _{X}^{S})}$

${\displaystyle LHS:w\mapsto (nosotros')\mapsto (nosotros'-e)\mapsto (nosotros'-e)}$

${\displaystyle RHS:w\mapsto w[e/e']\mapsto (w[e/e']-e)}$,

${\displaystyle e,e'}$siendo los elementos de cada copia de${\displaystyle 1}$en${\displaystyle X+1+1}$y dónde${\displaystyle w[e/e']}$denota la palabra${\displaystyle w}$con cada instancia de${\displaystyle e'}$reemplazado por${\displaystyle e}$.

• ${\displaystyle l_{X}\circ T(\eta _{X}^{S})=\eta _{T(X)}^{S}}$

${\displaystyle LHS:w\mapsto w\mapsto nosotros}$

${\displaystyle RHS:w\mapsto w}$,

y tenga en cuenta que para${\displaystyle w\in T(X)}$tenemos${\displaystyle nosotros=w}$, según sea necesario.

• ${\displaystyle S(\mu _{X}^{T})\circ l_{T(X)}\circ T(l_{X})=l_{X}\circ \mu _{S(X)}^{T}}$

${\displaystyle LHS:w\mapsto w[(ve)/v]\mapsto w[(ve)/v]-e\mapsto concat(w[(ve)/v]-e)}$

${\displaystyle RHS:w\mapsto concat(w)\mapsto concat(w)-e}$,

dónde:${\displaystyle concat(w)}$es la concatenación de todas las palabras en${\displaystyle w}$, es decir, la multiplicación en${\displaystyle T}$; y${\displaystyle w[(ve)/v]}$es el resultado de reemplazar cada palabra${\displaystyle v}$en${\displaystyle w}$con${\displaystyle (ve)}$.

• ${\displaystyle l_{X}\circ \eta _{S(X)}^{T}=S(\eta _{X}^{T})}$

${\displaystyle LHS:(x\in X\ or\ e\in 1)\mapsto (x\ or\ e)\mapsto (x\ or\ e)-e}$

${\displaystyle RHS:(x\ o\ e)\mapsto (x\ o\ e)}$.

En resumen, los cuatro requisitos de conmutación codifican las siguientes ideas:

1. "Eliminar" elementos${\displaystyle nosotros'}$se comporta como si los reemplazara con la identidad,${\displaystyle w[e/e']}$.
2. Cualquier palabra${\displaystyle w}$en${\displaystyle X}$no contiene el elemento${\displaystyle e}$, entonces${\displaystyle nosotros=w}$. En otras palabras,${\displaystyle X+1}$Es verdaderamente una unión disjunta.
3. En una lista de palabras${\displaystyle w=(v_{1},...,v_{n})}$, eliminando cualquier instancia de${\displaystyle e}$en${\displaystyle v_{i}}$, eliminando cualquier "palabra vacía" restante${\displaystyle v_{i}=e}$y concatenar la lista resultante produce el mismo resultado que concatenar primero${\ Displaystyle v_ {1} v_ {2}...v_ {n}}$luego eliminando todas las instancias de${\displaystyle e}$.
4. ${\displaystyle xe=x}$, como ya se trató en el punto 2; y${\displaystyle ee=e}$, lo que significa que debemos interpretar${\displaystyle e}$como la palabra vacía.

Este es el ejemplo original dado por Beck, ^{[ 2 ]} y es la motivación para el término "ley distributiva". Consideremos las dos mónadas${\displaystyle G,M:{\mathbf {Set}}\to {\mathbf {Set}}}$que envían un conjunto${\displaystyle X}$al (conjunto subyacente de) el grupo conmutativo libre y el monoide libre sobre él, respectivamente. Consideraremos la operación de grupo formal como suma, y ​​la del monoide como multiplicación. En este caso, ambos compuestos${\displaystyle GM}$y${\displaystyle MG}$Demos el functor del anillo libre . Ahora podemos usar el hecho de que el anillo libre admite una ley distributiva.${\displaystyle MG\to GM}$para demostrar que también es una mónada.

La ley distributiva de G sobre M significa exactamente que un producto de sumas (es decir, un elemento de${\displaystyle M(G(X))}$) puede identificarse con una suma de productos (un elemento de${\displaystyle G(M(X))}$). Nótese que decimos${\displaystyle G(X)}$, el grupo aditivo, se distribuye sobre${\displaystyle M(X)}$, el monoide multiplicativo - contrario a la convención habitual; véase la siguiente sección.

En el caso donde${\displaystyle T=S}$, el mapa de la ley distributiva se reduce a${\displaystyle K:T^{2}\Rightarrow T^{2}}$y se pueden imponer algunas condiciones adicionales.${\displaystyle K}$se denomina ley BD en${\displaystyle T}$si:

(D)${\displaystyle K}$es una ley distributiva, y

(B) satisface la ecuación de Yang-Baxter :

${\displaystyle K_{T(X)}\circ T(K_{X})\circ K_{T(X)}=T(K_{X})\circ K_{T(X)}\circ T(K_{X})}$

(como mapas${\displaystyle T^{3}(X)\to T^{3}(X)}$).

Una ley BD es una ley BCD si la multiplicación en${\displaystyle T}$es "${\displaystyle K}$-conmutativo", lo que significa que

(DO)${\displaystyle \mu _{X}^{T}\circ K_{X}=\mu _{X}^{T}}$

(como mapas${\displaystyle T^{2}(X)\to T(X)}$).

La condición (B) se denomina ecuación de Yang-Baxter porque, literalmente, es la ecuación de Yang-Baxter definida en objetos monoides , cuando${\displaystyle T:{\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}}$se considera un monoide en la categoría de endofuntores en${\displaystyle {\mathbf {C}}}$. ^{[ 4 ]}

Para${\displaystyle P}$un álgebra y${\displaystyle C}$una coalgebra sobre un campo compartido${\displaystyle k}$, un entrelazamiento entre ellos es un mapa lineal${\displaystyle \psi :C\otimes P\to P\otimes C}$que satisfagan condiciones análogas a las que se requerirían, fueron${\displaystyle \psi }$una ley distributiva. Específicamente, el diagrama de conmutación${\displaystyle CCP\to PC}$que sería inducida por una multiplicación hipotética${\displaystyle CC\to C}$se reemplaza con uno para${\displaystyle C\otimes P\to P\otimes C\otimes C}$inducido por la comultiplicación${\displaystyle C\to C\otimes C}$; asimismo, el diagrama triangular${\displaystyle P\to PC}$se reemplaza con uno de tipo${\displaystyle C\otimes P\to P\otimes k}$, inducido por la counidad. ^{[ 5 ]}