coeficiente de Kronecker

En matemáticas, los coeficientes de Kronecker g ^λ _μν describen la descomposición del producto tensorial (= producto de Kronecker ) de dos representaciones irreducibles de un grupo simétrico en representaciones irreducibles. Desempeñan un papel importante en la combinatoria algebraica y la teoría de la complejidad geométrica . Fueron introducidos por Murnaghan en 1938. 

Dada una partición λ de n , denotamos por V _λ el módulo de Specht asociado a λ. Entonces, los coeficientes de Kronecker g ^λ _μν vienen dados por la regla

${\displaystyle V_{\mu }\otimes V_{\nu }=\bigoplus _{\lambda }g_{\mu \nu }^{\lambda }V_{\lambda }.}$

Esto se puede interpretar a nivel de funciones simétricas , lo que da como resultado una fórmula para el producto de Kronecker de dos polinomios de Schur :

${\displaystyle s_{\mu }\star s_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu \nu }^{\lambda }s_{\lambda }.}$

Esto debe compararse con los coeficientes de Littlewood-Richardson , donde en cambio se considera la representación inducida.

${\displaystyle \uparrow _{S_{|\mu |}\times S_{|\nu |}}^{S_{|\lambda |}}\left(V_{\mu }\otimes V_{\nu }\right)=\bigoplus _{\lambda }c_{\mu \nu }^{\lambda }V_{\lambda },}$

y la operación correspondiente de funciones simétricas es el producto usual. También observe que los coeficientes de Littlewood-Richardson son el análogo de los coeficientes de Kronecker para representaciones de GL _n , es decir, si escribimos W _λ para la representación irreducible correspondiente a λ (donde λ tiene como máximo n partes), se obtiene que

${\displaystyle W_{\mu }\otimes W_{\nu }=\bigoplus _{\lambda }c_{\mu \nu }^{\lambda }W_{\lambda }.}$

Bürgisser e Ikenmeyer (2008) demostraron que el cálculo de los coeficientes de Kronecker es #P-difícil y está contenido en GapP . Un trabajo posterior de Ikenmeyer, Mulmuley y Walter (2017) muestra que decidir si un coeficiente de Kronecker dado es distinto de cero es NP-difícil . ^{[ 1 ]} Este interés en la complejidad computacional de estos coeficientes surge de su relevancia en el programa de Teoría de la Complejidad Geométrica .

Un problema importante sin resolver en la teoría de la representación y la combinatoria es proporcionar una descripción combinatoria de los coeficientes de Kronecker. Este problema permanece abierto desde 1938, cuando Murnaghan solicitó dicha descripción combinatoria. ^{[ 2 ]} Una descripción combinatoria también implicaría que el problema es #P-completo a la luz del resultado anterior.

Los coeficientes de Kronecker se pueden calcular como $${\displaystyle g(\lambda ,\mu ,\nu )={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi ^{\lambda }(\sigma )\chi ^{\mu }(\sigma )\chi ^{\nu }(\sigma ),}$$ dónde${\displaystyle \chi ^{\lambda }(\sigma )}$es el valor del carácter de la representación irreducible correspondiente a la partición entera${\displaystyle \lambda }$en una permutación${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$.

Los coeficientes de Kronecker también aparecen en la identidad de Cauchy generalizada. $${\displaystyle \sum _{\lambda ,\mu ,\nu }g(\lambda ,\mu ,\nu )s_{\lambda }(x)s_{\mu }(y)s_{\nu }(z)=\prod _{i,j,k}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}z_{k}}}.}$$

• Coeficiente de Littlewood-Richardson

• Bürgisser, Peter; Ikenmeyer, Christian (2008), "La complejidad del cálculo de coeficientes de Kronecker" , XX Conferencia Internacional Anual sobre Series de Potencias Formales y Combinatoria Algebraica (FPSAC 2008) , Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AJ, Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy, pp. 357–368 , MR 2721467