Fórmula de difracción de Kirchhoff

Consideremos una fuente puntual monocromática en P ₀ , que ilumina una abertura en una pantalla. La intensidad de la onda emitida por una fuente puntual disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia recorrida, por lo que la amplitud disminuye como el inverso de la distancia. La amplitud compleja de la perturbación a una distancia${\displaystyle r}$es dado por

$${\displaystyle U(r)={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$ dónde${\displaystyle a}$representa la magnitud de la perturbación en la fuente puntual.

La perturbación en una posición espacial P se puede encontrar aplicando el teorema integral de Kirchhoff a la superficie cerrada formada por la intersección de una esfera de radio R con la pantalla. La integración se realiza sobre las áreas A ₁ , A ₂ y A ₃ , dando como resultado $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\left[\int _{A_{1}}+\int _{A_{2}}+\int _{A_{3}}\right]\left(U{\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)-{\frac {e^{iks}}{s}}{\frac {\partial U}{\partial n}}\right)dS.}$$

Para resolver la ecuación, se supone que los valores de${\displaystyle U}$y${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$en el área de apertura A ₁ son las mismas que cuando la pantalla no está presente, por lo que en la posición Q , $${\displaystyle U_{A_{1}}={\frac {ae^{ikr}}{r}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial U_{A_{1}}}{\partial n}}=\nabla U_{A_{1}}\cdot n={\frac {ae^{ikr}}{r}}\left[ik-{\frac {1}{r}}\right]\cos(n,r),}$$ dónde${\displaystyle r}$es la longitud de la línea recta P ₀ Q , y${\displaystyle (n,r)}$es el ángulo entre una versión extendida en línea recta de P ₀ Q y la normal (hacia adentro) a la abertura. Tenga en cuenta que${\displaystyle 0<(n,r)<{\frac {\pi }{2}}}$entonces${\displaystyle \cos(n,r)}$es un número real positivo en A ₁ .

En Q también tenemos $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}\left({\frac {e^{iks}}{s}}\right)={\frac {e^{iks}}{s}}\left[ik-{\frac {1}{s}}\right]\cos(n,s),}$$ dónde${\displaystyle s}$es la longitud de la línea recta PQ y${\displaystyle (n,s)}$es el ángulo entre una versión extendida recta de PQ y la normal (hacia adentro) a la apertura. Tenga en cuenta que${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<(n,s)<{\frac {3\pi }{2}}}$entonces${\displaystyle \cos(n,s)}$es un número real negativo en A ₁ .

Se hacen dos suposiciones más.

• En las derivadas normales anteriores, los términos${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$y${\displaystyle {\frac {1}{s}}}$En ambos casos, se supone que los valores entre corchetes son despreciables en comparación con el número de onda.${\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}$, medio${\displaystyle r}$y${\displaystyle s}$son mucho mayores que la longitud de onda${\displaystyle \lambda }$.
• Kirchhoff supone que los valores de${\displaystyle U}$y${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$en las áreas opacas marcadas por A ₂ son cero. Esto implica que${\displaystyle U}$y${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$son discontinuas en el borde de la apertura A ₁ . Este no es el caso, y esta es una de las aproximaciones utilizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Estas suposiciones a veces se denominan condiciones de contorno de Kirchhoff .

Se espera que la contribución del hemisferio A ₃ a la integral sea cero, y esto se puede justificar por una de las siguientes razones.

1. Supongamos que la fuente comienza a irradiar en un momento determinado y, a continuación, hagamos que _R sea lo suficientemente grande como para que, al considerar la perturbación en P , no hayan llegado allí contribuciones de A3 . ^{[ 1 ]} Dicha onda ya no es monocromática , puesto que una onda monocromática debe existir en todo momento, pero esta suposición no es necesaria y se ha derivado un argumento más formal que evita su uso. ^{[ 6 ]}
2. Se espera que una onda que emana de la abertura A ₁ evolucione hacia una onda esférica a medida que se propaga (ejemplos de esto se pueden encontrar en muchas imágenes que muestran una onda de agua pasando a través de una abertura relativamente estrecha). Entonces, si R es suficientemente grande, la integral en A ₃ se convierte en$${\displaystyle U(P)\sim -{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}{\frac {e^{2ik(r')}}{r'^{2}}}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{A_{3}}=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{3}}e^{2ik(r')}[\cos(n,r')-\cos(n,r')]d{\Omega }=0}$$dónde${\displaystyle r'}$y${\displaystyle d\Omega }$son la distancia desde el centro de la abertura A ₁ a un elemento de superficie integral y el ángulo sólido diferencial en el sistema de coordenadas esféricas respectivamente.

Como resultado, finalmente, la integral anterior, que representa la amplitud compleja en P , se convierte en: $${\displaystyle U(P)=-{\frac {ia}{2\lambda }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{ik(r+s)}}{rs}}[\cos(n,r)-\cos(n,s)]d{A_{1}}.}$$

Esta es la fórmula de difracción de Kirchhoff o Fresnel-Kirchhoff .

Equivalencia con el principio de Huygens-Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel se puede derivar integrando sobre una superficie cerrada diferente (el límite de algún volumen con un punto de observación P ). El área A ₁ anterior se reemplaza por una parte de un frente de onda (emitido desde P ₀ ) en r ₀ , que es el más cercano a la apertura, y una porción de un cono con un vértice en P ₀ , que se etiqueta como A ₄ en el diagrama de la derecha. Si el frente de onda está posicionado de tal manera que esté muy cerca de los bordes de la apertura, entonces la contribución de A ₄ puede despreciarse (como se supone aquí). En esta nueva A ₁ , la normal hacia adentro (hacia el volumen encerrado por la superficie integral cerrada, es decir, hacia el lado derecho en el diagrama)${\displaystyle n}$La dirección hacia A ₁ es radial desde P ₀ , es decir, la dirección perpendicular al frente de onda. Como resultado, el ángulo${\displaystyle (n,r)=0}$y el ángulo${\displaystyle (n,s)}$está relacionado con el ángulo${\displaystyle \chi }$(el ángulo tal como se define en el principio de Huygens-Fresnel ) como $${\displaystyle (n,s)=\pi -\chi .}$$

La amplitud compleja del frente de onda en r ₀ viene dada por $${\displaystyle U(r_{0})={\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}.}$$

Entonces, la fórmula de difracción se convierte en: $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}{\frac {ae^{ikr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}(1+\cos \chi )dS,}$$ donde la integral se realiza sobre la parte del frente de onda en r ₀ que es la más cercana a la apertura en el diagrama. Esta integral conduce al principio de Huygens-Fresnel (con el factor de oblicuidad).${\textstyle {\frac {1+\cos \chi }{2}}}$).

En la derivación de esta integral, en lugar de la geometría representada en el diagrama de la derecha, se pueden usar esferas dobles centradas en _P₀ con radio de la esfera interior r₀ y radio de la esfera exterior infinito. [ 7 ] ^{En esta geometría} , el punto de observación P se encuentra en el volumen encerrado por las dos esferas _, por lo que se aplica la fórmula de difracción de Fresnel-Kirchhoff a las dos esferas. (La normal a la superficie en estas superficies integrales apunta, como se mencionó anteriormente, hacia el volumen encerrado en la fórmula de difracción). En la aplicación de la fórmula, la integral en la esfera exterior es cero por una razón similar a la de la integral en el hemisferio, que también es cero.

Supongamos que la apertura está iluminada por una onda fuente extendida. ^{[ 8 ]} La amplitud compleja en la apertura viene dada por U ₀ ( r ).

Se supone, como antes, que los valores de${\displaystyle U}$y${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$en el área A ₁ son los mismos que cuando la pantalla no está presente, que los valores de${\displaystyle U}$y${\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial n}}}$En A ₂ son cero (condiciones de contorno de Kirchhoff) y que la contribución de A ₃ a la integral también es cero. También se supone que 1/ s es despreciable en comparación con k . Entonces tenemos $${\displaystyle U(P)={\frac {1}{4\pi }}\int _{A_{1}}{\frac {e^{iks}}{s}}\left[ikU_{0}(r)\cos(n,s)-{\frac {\partial U_{0}(r)}{\partial n}}\right]\,dS.}$$

Esta es la forma más general de la fórmula de difracción de Kirchhoff. Para resolver esta ecuación para una fuente extendida, se requeriría una integración adicional para sumar las contribuciones de los puntos individuales de la fuente. Sin embargo, si suponemos que la luz de la fuente en cada punto de la apertura tiene una dirección bien definida, lo cual ocurre si la distancia entre la fuente y la apertura es significativamente mayor que la longitud de onda, entonces podemos escribir: $${\displaystyle U_{0}(r)\approx a(r)e^{ikr},}$$ donde a ( r ) es la magnitud de la perturbación en el punto r de la apertura. Entonces tenemos $${\displaystyle {\frac {\partial {U_{0}(r)}}{\partial n}}=ika(r)e^{ikr}\cos(n,r)}$$ y por lo tanto $${\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{2\lambda }}\int _{S}a(r){\frac {e^{ik(s+r)}}{s}}[\cos \chi +\cos(n,r)]\,dS.}$$

Si todos los términos en f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse excepto los términos en x ' e y ' , tenemos la ecuación de difracción de Fraunhofer . Si los cosenos directores de P ₀ Q y PQ son $${\displaystyle {\begin{aligned}l_{0}&=-x_{0}/r',\\m_{0}&=-y_{0}/r',\\l&=x/s',\\m&=y/s'.\end{aligned}}}$$

La ecuación de difracción de Fraunhofer es entonces $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{ik[(l_{0}-l)x'+(m_{0}-m)y']}\,dx'dy',}$$ donde C es una constante. Esto también se puede escribir de la forma $${\displaystyle U(P)=C\int _{S}e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$ donde k ₀ y k son los vectores de onda de las ondas que viajan desde P ₀ hasta la abertura y desde la abertura hasta P respectivamente, y r ' es un punto en la abertura.

Si la fuente puntual se reemplaza por una fuente extendida cuya amplitud compleja en la apertura viene dada por U ₀ ( r' ), entonces la ecuación de difracción de Fraunhofer es: $${\displaystyle U(P)\propto \int _{S}a_{0}(\mathbf {r} ')e^{i(\mathbf {k} _{0}-\mathbf {k} )\cdot \mathbf {r} '}\,dr',}$$ donde a ₀ ( r' ) es, como antes, la magnitud de la perturbación en la apertura.

Además de las aproximaciones realizadas al derivar la ecuación de Kirchhoff, se supone que

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la apertura,
• Los términos de segundo orden y superiores en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.

Cuando no se pueden despreciar los términos cuadráticos, pero sí todos los términos de orden superior, la ecuación se convierte en la ecuación de difracción de Fresnel . Se utilizan las aproximaciones de la ecuación de Kirchhoff y se hacen las siguientes suposiciones adicionales:

• r y s son significativamente mayores que el tamaño de la apertura,
• Los términos de tercer orden y superiores en la expresión f ( x ' , y ' ) pueden despreciarse.