isomorfismo de grupos

En álgebra abstracta , un isomorfismo de grupos es una función entre dos grupos que establece una biyección entre los elementos de los grupos de manera que se respeten las operaciones de grupo dadas. Si existe un isomorfismo entre dos grupos, entonces los grupos se denominan isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de grupos , los grupos isomorfos tienen las mismas propiedades y no es necesario distinguirlos. ^{[ 1 ]}

Dados dos grupos${\displaystyle (G,*)}$y${\displaystyle (H,\odot ),}$un isomorfismo de grupo de${\displaystyle (G,*)}$a${\displaystyle (H,\odot )}$es un homomorfismo de grupo biyectivo de${\displaystyle G}$a${\displaystyle H.}$Dicho de forma más explícita, esto significa que un isomorfismo de grupo es una función biyectiva.${\displaystyle f:G\to H}$de tal manera que para todos${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$en${\displaystyle G}$sostiene que $${\displaystyle f(u*v)=f(u)\odot f(v).}$$

Los dos grupos${\displaystyle (G,*)}$y${\displaystyle (H,\odot )}$son isomorfos si existe un isomorfismo de uno al otro. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Esto está escrito $${\displaystyle (G,*)\cong (H,\odot ).}$$

A menudo se pueden utilizar notaciones más cortas y sencillas. Cuando se comprenden las operaciones de grupo relevantes, se omiten y se escribe $${\displaystyle G\cong H.}$$

A veces uno puede incluso simplemente escribir${\displaystyle G=H.}$La posibilidad de utilizar dicha notación sin generar confusión o ambigüedad depende del contexto. Por ejemplo, el signo de igualdad no resulta muy adecuado cuando ambos grupos son subgrupos del mismo grupo. Véanse también los ejemplos.

Por el contrario, dado un grupo${\displaystyle (G,*),}$un conjunto${\displaystyle H,}$y una biyección${\displaystyle f:G\to H,}$podemos hacer${\displaystyle H}$un grupo${\displaystyle (H,\odot )}$definiendo $${\displaystyle f(u)\odot f(v)=f(u*v).}$$

Si${\displaystyle H=G}$y${\displaystyle \odot =*}$entonces la biyección es un automorfismo ( qv ).

Intuitivamente, los teóricos de grupos consideran dos grupos isomorfos de la siguiente manera: Para cada elemento${\displaystyle g}$de un grupo${\displaystyle G,}$existe un elemento${\displaystyle h}$de${\displaystyle H}$de tal manera que${\displaystyle h}$"se comporta de la misma manera" que${\displaystyle g}$(opera con otros elementos del grupo de la misma manera que${\displaystyle g}$). Por ejemplo, si${\displaystyle g}$genera${\displaystyle G,}$entonces también${\displaystyle h.}$Esto implica, en particular, que${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$están en correspondencia biyectiva. Por lo tanto, la definición de isomorfismo es bastante natural.

Un isomorfismo de grupos puede definirse de forma equivalente como un homomorfismo de grupos invertible (la función inversa de un homomorfismo de grupos biyectivo también es un homomorfismo de grupos).

En esta sección se enumeran algunos ejemplos notables de grupos isomorfos.

• El grupo de todos los números reales bajo la suma,${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$, es isomorfo al grupo de números reales positivos bajo la multiplicación${\displaystyle (\mathbb {R} ^{+},\times )}$:

  ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\times )}$a través del isomorfismo${\displaystyle f(x)=e^{x}}$.

• El grupo${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros (con suma) es un subgrupo de${\displaystyle \mathbb {R} ,}$y el grupo de factores${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$es isomorfo al grupo${\displaystyle S^{1}}$de números complejos de valor absoluto 1 (bajo la multiplicación):

  ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$

• El grupo de Klein de cuatro dimensiones es isomorfo al producto directo de dos copias de${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$y por lo tanto se puede escribir${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.}$Otra notación es${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2},}$porque es un grupo diedral .
• Generalizando esto, para todos los casos impares${\displaystyle n,}$${\displaystyle \operatorname {Dih} _{2n}}$es isomorfo al producto directo de${\displaystyle \operatorname {Dih} _{n}}$y${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}.}$
• Si${\displaystyle (G,*)}$es un grupo cíclico infinito , entonces${\displaystyle (G,*)}$es isomorfo a los enteros (con la operación de suma). Desde un punto de vista algebraico, esto significa que el conjunto de todos los enteros (con la operación de suma) es el "único" grupo cíclico infinito.

Se puede demostrar que algunos grupos son isomorfos, basándose en el axioma de elección , pero la demostración no indica cómo construir un isomorfismo concreto. Ejemplos:

• El grupo${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$es isomorfo al grupo${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$de todos los números complejos bajo la suma. ^{[ 3 ]}
• El grupo${\displaystyle (\mathbb {C} ^{*},\cdot )}$de números complejos distintos de cero con la multiplicación como operación es isomorfo al grupo${\displaystyle S^{1}}$mencionado anteriormente.

El núcleo de un isomorfismo de${\displaystyle (G,*)}$a${\displaystyle (H,\odot )}$siempre es {e _G }, donde e _G es la identidad del grupo.${\displaystyle (G,*)}$

Si${\displaystyle (G,*)}$y${\displaystyle (H,\odot )}$son isomorfos, entonces${\displaystyle G}$es abeliano si y solo si${\displaystyle H}$es abeliano.

Si${\displaystyle f}$es un isomorfismo de${\displaystyle (G,*)}$a${\displaystyle (H,\odot ),}$entonces para cualquier${\displaystyle a\in G,}$el orden de${\displaystyle a}$es igual al orden de${\displaystyle f(a).}$

Si${\displaystyle (G,*)}$y${\displaystyle (H,\odot )}$son isomorfos, entonces${\displaystyle (G,*)}$es un grupo localmente finito si y solo si${\displaystyle (H,\odot )}$es localmente finito.

El número de grupos distintos (salvo isomorfismo) de orden${\displaystyle n}$está dada por la secuencia A000001 en el OEIS . Los primeros números son 0, 1, 1, 1 y 2, lo que significa que 4 es el orden más bajo con más de un grupo.

Todos los grupos cíclicos de un orden dado son isomorfos a${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},+_{n}),}$dónde${\displaystyle +_{n}}$denota suma módulo${\displaystyle n.}$

Dejar${\displaystyle G}$ser un grupo cíclico y${\displaystyle n}$ser el orden de${\displaystyle G.}$Alquiler${\displaystyle x}$ser un generador de${\displaystyle G}$,${\displaystyle G}$es entonces igual a${\displaystyle \langle x\rangle =\left\{e,x,\ldots ,x^{n-1}\right\}.}$ Demostraremos que $${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$$

Definir $${\displaystyle \varphi :G\to \mathbb {Z} _{n}=\{0,1,\ldots ,n-1\},}$$de modo que${\displaystyle \varphi (x^{a})=a.}$ Claramente,${\displaystyle \varphi }$es biyectiva. Entonces $${\displaystyle \varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+_{n}\varphi (x^{b}),}$$ lo cual prueba que${\displaystyle G\cong (\mathbb {Z} _{n},+_{n}).}$

De la definición se deduce que cualquier isomorfismo${\displaystyle f:G\to H}$mapeará el elemento de identidad de${\displaystyle G}$al elemento de identidad de${\displaystyle H,}$$${\displaystyle f(e_{G})=e_{H},}$$ que mapeará inversos a inversos, $${\displaystyle f(u^{-1})=f(u)^{-1}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ y, en términos más generales,${\displaystyle n}$los poderes para${\displaystyle n}$los poderes, $${\displaystyle f(u^{n})=f(u)^{n}\quad {\text{ for all }}u\in G,}$$ y que el mapa inverso${\displaystyle f^{-1}:H\to G}$También es un isomorfismo de grupo.

La relación "ser isomorfo" es una relación de equivalencia . Si${\displaystyle f}$es un isomorfismo entre dos grupos${\displaystyle G}$y${\displaystyle H,}$entonces todo lo que es verdad sobre${\displaystyle G}$que solo está relacionado con la estructura del grupo se puede traducir a través de${\displaystyle f}$en una verdadera declaración idéntica sobre${\displaystyle H,}$y viceversa.

Un isomorfismo de un grupo${\displaystyle (G,*)}$Una relación consigo misma se denomina automorfismo del grupo. Por lo tanto, es una biyección.${\displaystyle f:G\to G}$de tal manera que $${\displaystyle f(u)*f(v)=f(u*v).}$$

La imagen bajo un automorfismo de una clase de conjugación es siempre una clase de conjugación (la misma u otra).

La composición de dos automorfismos es de nuevo un automorfismo, y con esta operación se obtiene el conjunto de todos los automorfismos de un grupo.${\displaystyle G,}$denotado por${\displaystyle \operatorname {Aut} (G),}$en sí mismo forma un grupo, el grupo de automorfismos de${\displaystyle G.}$

Para todos los grupos abelianos existe al menos el automorfismo que reemplaza los elementos del grupo por sus inversos. Sin embargo, en grupos donde todos los elementos son iguales a sus inversos, este es el automorfismo trivial , por ejemplo, en el grupo de Klein de cuatro elementos . Para ese grupo, todas las permutaciones de los tres elementos distintos de la identidad son automorfismos, por lo que el grupo de automorfismos es isomorfo a${\displaystyle S_{3}}$(que en sí mismo es isomorfo a${\displaystyle \operatorname {Dih} _{3}}$).

En${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$para un número primo${\displaystyle p,}$Un elemento distinto de la identidad puede ser reemplazado por cualquier otro, con los correspondientes cambios en los demás elementos. El grupo de automorfismos es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} _{p-1}}$Por ejemplo, para${\displaystyle n=7,}$multiplicando todos los elementos de${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$por 3, módulo 7, es un automorfismo de orden 6 en el grupo de automorfismos, porque${\displaystyle 3^{6}\equiv 1{\pmod {7}},}$mientras que las potencias inferiores no dan 1. Por lo tanto, este automorfismo genera${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}.}$Existe otro automorfismo con esta propiedad: multiplicar todos los elementos de${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$por 5, módulo 7. Por lo tanto, estos dos corresponden a los elementos 1 y 5 de${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$en ese orden o viceversa.

El grupo de automorfismos de${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$es isomorfo a${\displaystyle \mathbb {Z} _{2},}$porque solo cada uno de los dos elementos 1 y 5 generan${\displaystyle \mathbb {Z} _{6},}$Por lo tanto, aparte de la identidad, solo podemos intercambiar estos.

El grupo de automorfismos de${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}=\operatorname {Dih} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$tiene orden 168, como se puede encontrar a continuación. Los 7 elementos no idénticos juegan el mismo papel, por lo que podemos elegir cuál juega el papel de${\displaystyle (1,0,0).}$Cualquiera de los 6 restantes puede ser elegido para desempeñar el papel de (0,1,0). Esto determina qué elemento corresponde a${\displaystyle (1,1,0).}$Para${\displaystyle (0,0,1)}$Podemos elegir entre 4, lo que determina el resto. Por lo tanto, tenemos${\displaystyle 7\times 6\times 4=168}$automorfismos. Corresponden a los del plano de Fano , cuyos 7 puntos corresponden a los 7 elementos no identidad . Las líneas que conectan tres puntos corresponden a la operación de grupo:${\displaystyle a,b,}$y${\displaystyle c}$en una línea significa${\displaystyle a+b=c,}$${\displaystyle a+c=b,}$y${\displaystyle b+c=a.}$Véase también grupo lineal general sobre cuerpos finitos .

Para los grupos abelianos, todos los automorfismos no triviales son automorfismos externos .

Los grupos no abelianos tienen un grupo de automorfismos internos no trivial , y posiblemente también automorfismos externos.

Los automorfismos que envían cada elemento a su propia clase de conjugación se denominan preservadores de clase. El conjunto de todos estos automorfismos forma un subgrupo normal del grupo de automorfismos. Todos los automorfismos internos son preservadores de clase. ^{[ 4 ]}

• problema de isomorfismo de grupos
• Biyección – Correspondencia uno a uno 

• Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2.ª  ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0471010901.