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Articulo de referencia

Distribución gaussiana inversa

\\textstyle \\operatorname{IG}\\left(\\mu, \\lambda\\right) "},"parameters":{"wt":" \\textstyle \\mu > 0 \\lambda > 0 "},"support":{"wt":" \\textstyle x \\in (0,\\infty) "},"pdf...

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En teoría de la probabilidad , la distribución gaussiana inversa (también conocida como distribución de Wald ) es una familia de dos parámetros de distribuciones de probabilidad continuas con soporte en ⁠ ⁠(0,∞){\displaystyle (0,\infty )} .

Su función de densidad de probabilidad viene dada por

f(x;μ,λ)=λ2πx3exp⁡(−λ(x−μ)22μ2x){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}{\biggr )}}

para ⁠ ⁠x>0{\displaystyle x>0} , donde es la media y es un parámetro de forma . [ 1 ] Tanto ⁠ ⁠ como ⁠ ⁠ (o más generalmente cualquier combinación de la forma para cualquier ⁠ ⁠ real ) pueden servir como parámetro de escala , por lo que un parámetro de forma adecuado (es decir, sin escalar) sería cualquier potencia no nula de ⁠ ⁠ : Tweedie propuso usar las parametrizaciones ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ además de la parametrización estándar ⁠ ⁠ (“Cada una de estas formas es conveniente o sugerente para algún propósito.” [ 2 ] ), y más tarde usa exclusivamente la parametrización ⁠ ⁠ . [ 3 ]μ>0{\displaystyle \mu >0}λ>0{\displaystyle \lambda >0}μ{\displaystyle \mu }λ{\displaystyle \lambda }μpλ1−p{\displaystyle \mu ^{p}\lambda ^{1-p}}p{\displaystyle p}φ=λ/μ{\displaystyle \varphi =\lambda /\mu }(μ,φ){\displaystyle (\mu ,\varphi )}(φ,λ){\displaystyle (\varphi ,\lambda )}(μ,λ){\displaystyle (\mu ,\lambda )}(φ,λ){\displaystyle (\varphi ,\lambda )}

La distribución gaussiana inversa posee varias propiedades análogas a la distribución gaussiana . Su nombre puede resultar engañoso: es inversa únicamente en el sentido de que, mientras que la gaussiana describe el nivel de un movimiento browniano en un instante fijo, la gaussiana inversa describe la distribución del tiempo que tarda un movimiento browniano con deriva positiva en alcanzar un nivel positivo fijo. Por lo tanto, la relación entre las distribuciones gaussiana e inversa es la misma que la relación entre las distribuciones binomial (número de éxitos para un número fijo de ensayos de Bernoulli ) y binomial negativa (número de ensayos de Bernoulli para un número fijo de éxitos). [ 4 ]

Las reflexiones sobre el eje y de las funciones generadoras de cumulantes de las distribuciones gaussiana e inversa gaussiana son inversas entre sí (es decir, las gráficas de las dos funciones generadoras de cumulantes son reflexiones una de la otra con respecto a la línea ⁠ ⁠y=−x{\displaystyle y=-x} ), una propiedad que también comparten las distribuciones binomial y binomial negativa (después de dividir sus funciones generadoras de cumulantes por su respectivo parámetro fijo). [ 4 ]

Para indicar que una variable aleatoria ⁠ ⁠X{\displaystyle X} tiene una distribución gaussiana inversa con media ⁠ ⁠μ{\displaystyle \mu } y parámetro de forma ⁠ ⁠,λ{\displaystyle \lambda } escribimos ⁠ ⁠X∼IG⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )} .

Propiedades

Formulario de un solo parámetro

La función de densidad de probabilidad (pdf) de la distribución gaussiana inversa tiene una forma de parámetro único dada por

f(x;μ,μ2)=μ2πx3exp⁡(−(x−μ)22x).{\displaystyle f(x;\mu ,\mu ^{2})={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2x}}{\biggr )}.}

En esta forma, la media y la varianza de la distribución son iguales, ⁠ ⁠E[X]=Var⁡(X){\displaystyle \mathbb {E} [X]=\operatorname {Var} (X)} .

Además, la función de distribución acumulativa (cdf) de la distribución gaussiana inversa de un solo parámetro está relacionada con la distribución normal estándar mediante

Pr(X<x)=Φ(−z1)+e2μΦ(−z2),{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr(X<x)&=\Phi (-z_{1})+e^{2\mu }\Phi (-z_{2}),\end{aligned}}}

donde ⁠ ⁠z1=μx1/2−x1/2{\displaystyle z_{1}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}-x^{1/2}} , ⁠ ⁠z2=μx1/2+x1/2{\displaystyle z_{2}={\frac {\mu }{x^{1/2}}}+x^{1/2}} , y es la función de distribución acumulada de la distribución normal estándar. Las variables y están relacionadas entre sí por la identidad ⁠ ⁠ .Φ{\displaystyle \Phi }z1{\displaystyle z_{1}}z2{\displaystyle z_{2}}z22=z12+4μ{\displaystyle z_{2}^{2}=z_{1}^{2}+4\mu }

En la forma de un solo parámetro, la MGF se simplifica a

M(t)=exp⁡[μ(1−1−2t)].{\displaystyle M(t)=\exp[\mu (1-{\sqrt {1-2t}})].}

Una distribución gaussiana inversa en forma de doble parámetro puede transformarse en una forma de parámetro único mediante un escalado apropiado ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ .f(x;μ,λ){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}f(y;μ0,μ02){\displaystyle f(y;\mu _{0},\mu _{0}^{2})}y=μ2xλ{\displaystyle y={\frac {\mu ^{2}x}{\lambda }}}μ0=μ3/λ{\displaystyle \mu _{0}=\mu ^{3}/\lambda }

El párrafo anterior se puede reescribir como: si ⁠ ⁠Y=λX/μ2<{\displaystyle Y=\lambda X/\mu ^{2}<} , entonces ⁠ ⁠ Y∼IG⁡(λ/μ,(λ/μ)2){\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (\lambda /\mu ,(\lambda /\mu )^{2})}[ 5 ] . Este enfoque es mejor en el sentido de que muestra claramente la naturaleza adimensional de la forma de un solo parámetro (nótese que ⁠ ⁠dim⁡λ=dim⁡μ=dim⁡x{\displaystyle \dim \lambda =\dim \mu =\dim x} ). Esta propiedad se deriva de un hecho más general: si y ⁠ ⁠ , entonces ⁠ ⁠ [ 2 ] .a>0{\displaystyle a>0}Y=aX{\displaystyle Y=aX}Y∼IG⁡(aμ,aλ){\displaystyle Y\sim \operatorname {IG} (a\mu ,a\lambda )}

La forma estándar de la distribución gaussiana inversa es

f(x;1,1)=12πx3exp⁡(−(x−1)22x).{\displaystyle f(x;1,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi x^{3}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(x-1)^{2}}{2x}}{\biggr )}.}

Suma

Si ⁠ ⁠Xi{\displaystyle X_{i}} tiene una distribución para ⁠ ⁠ y todos ⁠ ⁠ son independientes , entoncesIG⁡(μ0wi,λ0wi2){\displaystyle \operatorname {IG} (\mu _{0}w_{i},\lambda _{0}w_{i}^{2})}i=1,2,…,n{\displaystyle i=1,2,\dots ,n}Xi{\displaystyle X_{i}}

S=∑i=1nXi∼IG⁡(μ0∑wi,λ0(∑wi)2).{\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\mu _{0}\sum w_{i},\lambda _{0}\left(\sum w_{i}\right)^{2}\right).}

El caso especial muestra que la distribución gaussiana inversa es infinitamente divisible .wi=1/n{\displaystyle w_{i}=1/n}

Tenga en cuenta que

Var⁡(Xi)E⁡(Xi)=μ02wi2λ0wi2=μ02λ0{\displaystyle {\frac {\operatorname {Var} (X_{i})}{\operatorname {E} (X_{i})}}={\frac {\mu _{0}^{2}w_{i}^{2}}{\lambda _{0}w_{i}^{2}}}={\frac {\mu _{0}^{2}}{\lambda _{0}}}}

es constante para todos ⁠ ⁠i{\displaystyle i} . Esta es una condición necesaria para la suma. De lo contrario , ⁠ ⁠S{\displaystyle S} no tendría una distribución gaussiana inversa.

Escalada

Para cualquier ⁠ ⁠t>0{\displaystyle t>0} se cumple que

X∼IG⁡(μ,λ)⇒tX∼IG⁡(tμ,tλ).{\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,tX\sim \operatorname {IG} (t\mu ,t\lambda ).}

Familia exponencial

La distribución gaussiana inversa es una familia exponencial de dos parámetros con parámetros naturales ⁠ ⁠−λ/(2μ2){\displaystyle -\lambda /(2\mu ^{2})} y ⁠ ⁠−λ/2{\displaystyle -\lambda /2} , y estadísticas naturales ⁠ ⁠X{\displaystyle X} y ⁠ ⁠ . 1/X{\displaystyle 1/X}

Para fijo, también es una distribución de la familia exponencial natural de un solo parámetro [ 6 ] donde la distribución base tiene densidadλ>0{\displaystyle \lambda >0}

h(x)=λ2πx3exp⁡(−λ2x)1[0,∞)(x).{\displaystyle h(x)={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}

De hecho, con ⁠ ⁠θ≤0{\displaystyle \theta \leq 0} ,

p(x;θ)=exp⁡(θx)h(x)∫exp⁡(θy)h(y)dy{\displaystyle p(x;\theta )={\frac {\exp(\theta x)h(x)}{\int \exp(\theta y)h(y)dy}}}

es una densidad sobre los números reales. Evaluando la integral, obtenemos

p(x;θ)=λ2πx3exp⁡(−λ2x+θx−−2λθ)1[0,∞)(x).{\displaystyle p(x;\theta )={\sqrt {\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\lambda }{2x}}+\theta x-{\sqrt {-2\lambda \theta }}\right)\mathbb {1} _{[0,\infty )}(x)\,.}

Sustituyendo , la expresión anterior se vuelve igual a ⁠ ⁠ .θ=−λ/(2μ2){\displaystyle \theta =-\lambda /(2\mu ^{2})}f(x;μ,λ){\displaystyle f(x;\mu ,\lambda )}

Relación con el movimiento browniano

Ejemplo de caminatas aleatorias detenidas con ⁠ ⁠α=1,ν=0.1,σ=0.2{\displaystyle \alpha =1,\nu =0.1,\sigma =0.2} . La figura superior muestra el histograma de los tiempos de espera, junto con la predicción según la distribución gaussiana inversa. La figura inferior muestra las trayectorias.

Sea el proceso estocástico ⁠ ⁠Xt{\displaystyle X_{t}} dado por

X0=0{\displaystyle X_{0}=0\quad }
Xt=νt+σWt{\displaystyle X_{t}=\nu t+\sigma W_{t}\quad \quad \quad \quad }

donde ⁠ ⁠Wt{\displaystyle W_{t}} es un movimiento browniano estándar . Es decir, ⁠ ⁠Xt{\displaystyle X_{t}} es un movimiento browniano con deriva ⁠ ⁠ν>0{\displaystyle \nu >0} .

Entonces, el tiempo de primer paso para un nivel fijo por ⁠ ⁠ se distribuye según una gaussiana inversa:α>0{\displaystyle \alpha >0}Xt{\displaystyle X_{t}}

Tα=inf{t>0∣Xt=α}∼IG⁡(αν,(ασ)2)=ασ2πx3exp⁡(−(α−νx)22σ2x){\displaystyle T_{\alpha }=\inf\{t>0\mid X_{t}=\alpha \}\sim \operatorname {IG} \left({\frac {\alpha }{\nu }},\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu x)^{2}}{2\sigma ^{2}x}}{\biggr )}}

es decir

P(Tα∈(T,T+dT))=ασ2πT3exp⁡(−(α−νT)22σ2T)dT{\displaystyle P(T_{\alpha }\in (T,T+dT))={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi T^{3}}}}}\exp {\biggl (}-{\frac {(\alpha -\nu T)^{2}}{2\sigma ^{2}T}}{\biggr )}dT}

(cf. Schrödinger [ 7 ] ecuación 19, Smoluchowski [ 8 ] , ecuación 8, y Folks [ 5 ] , ecuación 1).

Cuando la deriva es cero

Un caso especial común de lo anterior surge cuando el movimiento browniano no tiene deriva. En ese caso, el parámetro ⁠ ⁠μ{\displaystyle \mu } tiende a infinito, y el tiempo de primer paso para un nivel fijo ⁠ ⁠α{\displaystyle \alpha } tiene una función de densidad de probabilidad

f(x;0,(ασ)2)=ασ2πx3exp⁡(−α22σ2x){\displaystyle f\left(x;0,\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}\right)={\frac {\alpha }{\sigma {\sqrt {2\pi x^{3}}}}}\exp \left(-{\frac {\alpha ^{2}}{2\sigma ^{2}x}}\right)}

(véase también Bachelier [ 9 ] : 74 [ 10 ] : 39 ). Esta es una distribución de Lévy con parámetros y ⁠ ⁠ .c=(ασ)2{\displaystyle c=\left({\frac {\alpha }{\sigma }}\right)^{2}}μ=0{\displaystyle \mu =0}

Máxima probabilidad

El modelo donde

Xi∼IG⁡(μ,λwi),i=1,2,…,n{\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda w_{i}),\,\,\,\,\,\,i=1,2,\ldots ,n}

Con todos los ⁠ ⁠wi{\displaystyle w_{i}} conocidos, ⁠ ⁠(μ,λ){\displaystyle (\mu ,\lambda )} desconocidos y todos ⁠ ⁠Xi{\displaystyle X_{i}} independientes , tiene la siguiente función de verosimilitud:

L(μ,λ)=(λ2π)n2(∏i=1nwiXi3)12exp⁡(λμ∑i=1nwi−λ2μ2∑i=1nwiXi−λ2∑i=1nwi1Xi).{\displaystyle L(\mu ,\lambda )=\left({\frac {\lambda }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{X_{i}^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\lambda }{\mu }}\sum _{i=1}^{n}w_{i}-{\frac {\lambda }{2\mu ^{2}}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}-{\frac {\lambda }{2}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{X_{i}}}\right).}

Al resolver la ecuación de verosimilitud se obtienen las siguientes estimaciones de máxima verosimilitud.

μ^=∑i=1nwiXi∑i=1nwi,1λ^=1n∑i=1nwi(1Xi−1μ^).{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}X_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},\,\,\,\,\,\,\,\,{\frac {1}{\widehat {\lambda }}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {1}{X_{i}}}-{\frac {1}{\widehat {\mu }}}\right).}

μ^{\displaystyle {\widehat {\mu }}}y son independientes yλ^{\displaystyle {\widehat {\lambda }}}

μ^∼IG⁡(μ,λ∑i=1nwi),nλ^∼1λχn−12.{\displaystyle {\widehat {\mu }}\sim \operatorname {IG} \left(\mu ,\lambda \sum _{i=1}^{n}w_{i}\right),\qquad {\frac {n}{\widehat {\lambda }}}\sim {\frac {1}{\lambda }}\chi _{n-1}^{2}.}

Muestreo de una distribución gaussiana inversa

Se puede utilizar el siguiente algoritmo. [ 11 ]

Generar una variable aleatoria a partir de una distribución normal con media ⁠ ⁠0{\displaystyle 0} y desviación estándar igual a ⁠ ⁠1{\displaystyle 1}

ν∼N(0,1).{\displaystyle \displaystyle \nu \sim N(0,1).}

Eleva al cuadrado el valor

y=ν2{\displaystyle \displaystyle y=\nu ^{2}}

y utilizar la relación

x=μ+μ2y2λ−μ2λ4μλy+μ2y2.{\displaystyle x=\mu +{\frac {\mu ^{2}y}{2\lambda }}-{\frac {\mu }{2\lambda }}{\sqrt {4\mu \lambda y+\mu ^{2}y^{2}}}.}

Genera otra variable aleatoria, esta vez muestreada de una distribución uniforme entre ⁠ ⁠0{\displaystyle 0} y ⁠ ⁠1{\displaystyle 1}

z∼U(0,1).{\displaystyle \displaystyle z\sim U(0,1).}

Si entonces regresa, de lo contrario regresa z≤μμ+x{\displaystyle z\leq {\frac {\mu }{\mu +x}}}x{\displaystyle \displaystyle x}μ2x.{\displaystyle {\frac {\mu ^{2}}{x}}.}

Código de ejemplo en Java :

public double inverseGaussian ( double mu , double lambda ) { Random rand = new Random (); double v = rand . nextGaussian (); // Muestreo de una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1 double y = v * v ; double x = mu + ( mu * mu * y ) / ( 2 * lambda ) - ( mu / ( 2 * lambda )) * Math . sqrt ( 4 * mu * lambda * y + mu * mu * y * y ); double test = rand . nextDouble (); // Muestreo de una distribución uniforme entre 0 y 1 if ( test <= ( mu ) / ( mu + x )) return x ; else return ( mu * mu ) / x ; }
Distribución de Wald usando Python con la ayuda de matplotlib y NumPy.

Y para graficar la distribución de Wald en Python usando matplotlib y NumPy :

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as nph = plt.hist ( np.random.wald ( 3 , 2 , 100000 ) , bins = 200 , density = True )​​​​​plt.show ( )​
  • Si ⁠ ⁠X∼IG⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )} , entonces ⁠ ⁠kX∼IG⁡(kμ,kλ){\displaystyle kX\sim \operatorname {IG} (k\mu ,k\lambda )} para cualquier número ⁠ ⁠k>0{\displaystyle k>0} . [ 1 ]
  • Si entonces ⁠ ⁠ .Xi∼IG⁡(μ,λ){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}1{\displaystyle {1}}
  • Si para entonces ⁠ ⁠ .Xi∼IG⁡(μ,λ){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )}i=1,…,n{\displaystyle i=1,\ldots ,n}X¯∼IG⁡(μ,nλ){\displaystyle {\bar {X}}\sim \operatorname {IG} (\mu ,n\lambda )}
  • Si entonces ⁠ ⁠ .Xi∼IG⁡(μi,2μi2){\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {IG} (\mu _{i},2\mu _{i}^{2})}∑i=1nXi∼IG⁡(∑i=1nμi,2(∑i=1nμi)2){\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {IG} \left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i},2\left(\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}\right)^{2}\right)}
  • Si ⁠ ⁠X∼IG⁡(μ,λ){\displaystyle X\sim \operatorname {IG} (\mu ,\lambda )} , entonces ⁠ ⁠λ(X−μ)2/μ2X∼χ2(1){\displaystyle \lambda (X-\mu )^{2}/\mu ^{2}X\sim \chi ^{2}(1)} . [ 12 ]

La convolución de una distribución gaussiana inversa (una distribución de Wald) y una exponencial (una distribución ex-Wald) se utiliza como modelo para tiempos de respuesta en psicología, [ 13 ] siendo la búsqueda visual un ejemplo. [ 14 ]

Historia

Esta distribución parece haber sido derivada por primera vez en 1900 por Louis Bachelier [ 9 ] [ 10 ] como el tiempo en que una acción alcanza un precio determinado por primera vez. En 1915 fue utilizada independientemente por Erwin Schrödinger [ 7 ] y Marian v. Smoluchowski [ 8 ] como el tiempo hasta el primer paso de un movimiento browniano. En el campo del modelado de reproducción se la conoce como la función de Hadwiger, en honor a Hugo Hadwiger , quien la describió en 1940. [ 15 ] Abraham Wald volvió a derivar esta distribución en 1944 [ 16 ] como la forma límite de una muestra en una prueba de razón de probabilidad secuencial. El nombre de gaussiana inversa fue propuesto por Maurice Tweedie en 1945. [ 4 ] Tweedie investigó esta distribución en 1956 [ 17 ] y 1957 [ 2 ] [ 3 ] y estableció algunas de sus propiedades estadísticas. La distribución fue revisada exhaustivamente por Folks y Chhikara en 1978. [ 5 ]

Distribución gaussiana inversa calificada

Suponiendo que los intervalos de tiempo entre ocurrencias de un fenómeno aleatorio siguen una distribución gaussiana inversa, la distribución de probabilidad para el número de ocurrencias de este evento dentro de una ventana de tiempo específica se denomina gaussiana inversa ponderada . [ 18 ] Si bien se calculan el primer y el segundo momento de esta distribución, la derivación de la función generadora de momentos sigue siendo un problema abierto.

Computación numérica y software

A pesar de la fórmula simple para la función de densidad de probabilidad, los cálculos de probabilidad numérica para la distribución gaussiana inversa requieren especial cuidado para lograr una precisión de máquina completa en aritmética de punto flotante para todos los valores de los parámetros. [ 19 ] Varias funciones para la distribución gaussiana inversa están disponibles para el lenguaje de programación R mediante varios paquetes, incluidos rmutil, [ 20 ] [ 21 ] SuppDists, [ 22 ] STAR, [ 23 ] invGauss, [ 24 ] LaplacesDemon, [ 25 ] y statmod. [ 26 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Chhikara, Raj S.; Folks, J. Leroy (1989), La distribución gaussiana inversa: teoría, metodología y aplicaciones , Nueva York, NY, EE. UU.: Marcel Dekker, Inc., ISBN 0-8247-7997-5
  2. 1 2 3 Tweedie, MCK (1957). "Propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas I" . Anales de estadística matemática . 28 (2): 362– 377. doi : 10.1214/aoms/1177706964 . JSTOR 2237158 . 
  3. 1 2 Tweedie, MCK (1957). "Propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas II" . Anales de estadística matemática . 28 (3): 696– 705. doi : 10.1214/aoms/1177706881 . JSTOR 2237229 . 
  4. 1 2 3 Tweedie, MCK (1945). "Variables estadísticas inversas" . Nature . 155 (3937): 453. Bibcode : 1945Natur.155..453T . doi : 10.1038/155453a0 . S2CID 4113244 . 
  5. 1 2 3 Folks, J. Leroy; Chhikara, Raj S. (1978), "La distribución gaussiana inversa y su aplicación estadística: una revisión", Journal of the Royal Statistical Society , Serie B (Metodológica), 40 (3): 263– 275, doi : 10.1111/j.2517-6161.1978.tb01039.x , JSTOR 2984691 , S2CID 125337421  
  6. ↑ Seshadri, V. (1999), La distribución gaussiana inversa , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98618-0
  7. ^ Schrödinger , Erwin (1915), "Zur Theorie der Fall- und Steigversuche an Teilchen mit Brownscher Bewegung" [ Sobre la teoría de los experimentos de caída y ascenso de partículas con movimiento browniano ] , Physikalische Zeitschrift (en alemán), 16 (16): 289– 295
  8. ^ Smoluchowski, Marian (1915), "Notiz über die Berechnung der Brownschen Molekularbewegung bei der Ehrenhaft-Millikanschen Versuchsanordnung" [ Nota sobre el cálculo del movimiento molecular browniano en el entorno experimental de Ehrenhaft-Millikan ] , Physikalische Zeitschrift (en alemán), 16 (17/18): 318– 321
  9. ^ Bachelier , Louis (1900), "Théorie de la spéculation" [ La teoría de la especulación ] (PDF) , Ann. Ciencia. CE. Norma. Súper. (en francés), Serie 3, 17: 21– 89, doi : 10.24033/asens.476
  10. 1 2 Bachelier, Louis (1900), "La teoría de la especulación" , Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. , Serie 3, 17: 21–89 (traducción al inglés de David R. May, 2011), doi : 10.24033/asens.476
  11. ↑ Michael, John R.; Schucany, William R.; Haas, Roy W. (1976), "Generación de variables aleatorias mediante transformaciones con múltiples raíces", The American Statistician , 30 (2): 88–90 , doi : 10.1080/00031305.1976.10479147 , JSTOR 2683801 
  12. ↑ Shuster, J. (1968). "Sobre la función de distribución gaussiana inversa". Journal of the American Statistical Association . 63 (4): 1514– 1516. doi : 10.1080/01621459.1968.10480942 .
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  15. ^ Hadwiger, H. (1940). "Eine analytische Reproduktionsfunktion für biologische Gesamtheiten". Skandinavisk Aktuarietidskrijt . 7 ( 3– 4): 101– 113. doi : 10.1080/03461238.1940.10404802 .
  16. ↑ Wald, Abraham (1944), "Sobre sumas acumulativas de variables aleatorias", Annals of Mathematical Statistics , 15 (3): 283–296 , doi : 10.1214/aoms/1177731235 , JSTOR 2236250 
  17. ↑ Tweedie, MCK (1956). "Algunas propiedades estadísticas de las distribuciones gaussianas inversas". Virginia Journal of Science . Nueva serie. 7 (3): 160– 165.
  18. ↑ Capacidad por unidad de costo que logra la distribución de entrada de la neurona biológica gaussiana inversa nominal M Nasiraee, HM Kordy, J Kazemitabar IEEE Transactions on Communications 70 (6), 3788-3803
  19. ↑ Giner, Göknur; Smyth, Gordon (agosto de 2016). "statmod: Cálculos de probabilidad para la distribución gaussiana inversa" . The R Journal . 8 (1): 339– 351. arXiv : 1603.06687 . doi : 10.32614/RJ-2016-024 .
  20. ↑ Lindsey, James (2013-09-09). "rmutil: Utilidades para modelos de regresión no lineal y mediciones repetidas" .
  21. ↑ Swihart, Bruce; Lindsey, James (2019-03-04). "rmutil: Utilidades para modelos de regresión no lineal y de mediciones repetidas" .
  22. ↑ Wheeler, Robert (23-09-2016). "SuppDists: Distribuciones suplementarias" .
  23. ↑ Pouzat, Christophe (2015-02-19). "STAR: Análisis de trenes de picos con R" .
  24. ↑ Gjessing, Hakon K. (2014-03-29). "Regresión de umbral que ajusta la distribución gaussiana inversa (deriva aleatoria) a datos de supervivencia" .
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  26. ↑ Giner, Göknur; Smyth, Gordon (2017-06-18). "statmod: Modelado estadístico" .

Lecturas adicionales

  • Høyland, Arnljot ; Rausand, Marvin (1994). Teoría de la fiabilidad de los sistemas . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0-471-59397-3.
  • Seshadri, V. (1993). La distribución gaussiana inversa . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852243-0.
  • Distribución gaussiana inversa en el sitio web de Wolfram.
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