Mapa equivariante

En matemáticas , la equivariancia es una forma de simetría para funciones que se transforman de un espacio simétrico a otro (como los espacios simétricos ). Se dice que una función es una aplicación equivariante cuando su dominio y codominio son afectados por el mismo grupo de simetría , y cuando la función conmuta con la acción de dicho grupo. Es decir, aplicar una transformación de simetría y luego calcular la función produce el mismo resultado que calcular la función y luego aplicar la transformación.

Las aplicaciones equivariantes generalizan el concepto de invariantes , funciones cuyo valor no cambia ante una transformación de simetría de su argumento. El valor de una aplicación equivariante se suele denominar (de forma imprecisa) invariante.

En inferencia estadística , la equivariancia bajo transformaciones estadísticas de datos es una propiedad importante de diversos métodos de estimación; véase estimador invariante para más detalles. En matemáticas puras, la equivariancia es un objeto central de estudio en la topología equivariante y sus subtemas cohomología equivariante y teoría de homotopía estable equivariante .

Ejemplos

Geometría elemental

El centroide de un triángulo (donde se unen los tres segmentos rojos) es equivariante bajo transformaciones afines : el centroide de un triángulo transformado es el mismo punto que la transformación del centroide del triángulo.

En la geometría de los triángulos , el área y el perímetro de un triángulo son invariantes bajo transformaciones euclidianas : trasladar, rotar o reflejar un triángulo no altera su área ni su perímetro. Sin embargo, los centros de los triángulos , como el baricentro , el circuncentro , el incentro y el ortocentro, no son invariantes, ya que mover un triángulo también implica mover sus centros. En cambio, estos centros son equivariantes: aplicar cualquier congruencia euclidiana (una combinación de traslación y rotación) a un triángulo y luego construir su centro produce el mismo punto que construir primero el centro y luego aplicarle la misma congruencia. De forma más general, todos los centros de los triángulos también son equivariantes bajo transformaciones de semejanza (combinaciones de traslación, rotación, reflexión y escalado) ^{[ 1 ]} , y el baricentro es equivariante bajo transformaciones afines ^[²^] .

Una misma función puede ser invariante para un grupo de simetrías y equivariante para otro. Por ejemplo, bajo transformaciones de semejanza en lugar de congruencias, el área y el perímetro ya no son invariantes: al escalar un triángulo, también cambian su área y su perímetro. Sin embargo, estos cambios ocurren de forma predecible: si un triángulo se escala por un factor de $s$ , el perímetro también se escala por $s$ y el área por $s²$ $.$ De esta manera, la función que asigna a cada triángulo su área o perímetro puede considerarse equivariante para una acción de grupo multiplicativa de las transformaciones de escala sobre los números reales positivos.

Estadística

Otro tipo de ejemplos sencillos proviene de la estimación estadística . La media de una muestra (un conjunto de números reales) se utiliza comúnmente como medida de tendencia central . Es equivariante bajo transformaciones lineales de los números reales, por lo que, por ejemplo, no se ve afectada por la elección de las unidades utilizadas para representarlos. En cambio, la media no es equivariante con respecto a transformaciones no lineales como las exponenciales.

La mediana de una muestra es equivariante para un grupo mucho mayor de transformaciones: las funciones (estrictamente) monótonas de los números reales. Este análisis indica que la mediana es más robusta frente a ciertos tipos de cambios en un conjunto de datos y que (a diferencia de la media) tiene sentido para datos ordinales . ^{[ 3 ]}

Los conceptos de estimador invariante y estimador equivariante se han utilizado para formalizar este estilo de análisis.

Teoría de la representación

En la teoría de representaciones de grupos finitos , un espacio vectorial dotado de un grupo que actúa mediante transformaciones lineales del espacio se denomina representación lineal del grupo. Una aplicación lineal que conmuta con la acción se denomina entrelazador . Es decir, un entrelazador es simplemente una aplicación lineal equivariante entre dos representaciones. Alternativamente, un entrelazador para representaciones de un grupo $G$ sobre un cuerpo $K$ es lo mismo que un homomorfismo de módulos de K $[G] -módulos$ , donde $K$ $[$ $G$ $]$ es el anillo ^de grupo de G. [ ⁴^]

Bajo ciertas condiciones, si X e Y son representaciones irreducibles , entonces un entrelazador (distinto del mapeo cero ) solo existe si las dos representaciones son equivalentes (es decir, son isomorfas como módulos ). Dicho entrelazador es entonces único salvo un factor multiplicativo (un escalar distinto de cero de $K$ ). Estas propiedades se cumplen cuando la imagen de $K [G]$ es un álgebra simple, con centro $K$ (por lo que se denomina lema de Schur : véase módulo simple ). En consecuencia, en casos importantes, la construcción de un entrelazador es suficiente para demostrar que las representaciones son efectivamente iguales. ^{[ 5 ]}

Formalización

La equivariancia se puede formalizar utilizando el concepto de un $G$ -conjunto para un grupo $G.$ Este es un objeto matemático que consiste en un conjunto matemático $S$ y una acción de grupo (a la izquierda) de $G$ sobre $S.$ Si $X$ e $Y$ son ambos $G$ -conjuntos para el mismo grupo $G$ , entonces se dice que una función $f : X \to Y$ es equivariante si

f (g \cdot x) = g \cdot f (x)

para todo $g \in G$ y todo $x en X$ . ^{[ 6 ]}

Si una o ambas acciones son correctas, la condición de equivariancia puede modificarse adecuadamente:

f (x \cdot g) = f (x) \cdot g

; (derecha-derecha)

f (x \cdot g) = g - 1 \cdot f (x)

; (derecha-izquierda)

f (g \cdot x) = f (x) \cdot g - 1

; (izquierda-derecha)

Los mapas equivariantes son morfismos en la categoría de G- conjuntos (para un G fijo ). ^{[ 7 ]} Por lo tanto, también se les conoce como G- morfismos , ^{[ 7 ]} G -mapas , ^{[ 8 ]} u G -homomorfismos . ^{[ 9 ]} Los isomorfismos de G -conjuntos son simplemente mapas equivariantes biyectivos . ^{[ 7 ]}

La condición de equivariancia también puede entenderse como el siguiente diagrama conmutativo . Nótese que $g\cdot$ denota el mapa que toma un elemento $z$ y devoluciones $g\cdot z$ .

Generalización

Las aplicaciones equivariantes pueden generalizarse a categorías arbitrarias de manera directa. Todo grupo G puede considerarse como una categoría con un único objeto ( los morfismos en esta categoría son simplemente los elementos de G ). Dada una categoría arbitraria C , una representación de G en la categoría C es un functor de G a C. Dicho functor selecciona un objeto de C y un subgrupo de automorfismos de ese objeto. Por ejemplo, un G -conjunto es equivalente a un functor de G a la categoría de conjuntos , Set , y una representación lineal es equivalente a un functor a la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo , Vect _K.

Dadas dos representaciones, ρ y σ, de G en C , una aplicación equivariante entre esas representaciones es simplemente una transformación natural de ρ a σ. Usando transformaciones naturales como morfismos, se puede formar la categoría de todas las representaciones de G en C . Esta es simplemente la categoría de funtores C ^G .

Como otro ejemplo, consideremos C = Top , la categoría de espacios topológicos . Una representación de G en Top es un espacio topológico sobre el cual G actúa continuamente . Una aplicación equivariante es entonces una aplicación continua f : X → Y entre representaciones que conmuta con la acción de G.

Véase también

Teorema de Curtis-Hedlund-Lyndon , una caracterización de autómatas celulares en términos de mapas equivariantes.

Referencias

↑ Kimberling, Clark (1994), "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo", Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187 , doi : 10.2307/2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 "Los triángulos semejantes tienen centros situados de forma similar", pág. 164.
↑ El centroide es el único centro equivariante afín de un triángulo, pero los cuerpos convexos más generales pueden tener otros centros equivariantes afines; véase, por ejemplo, Neumann, BH (1939), "On some affine invariants of closed convex regions", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 14 (4): 262– 272, doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.262 , MR 0000978 .
↑ Sarle, Warren S. (14 de septiembre de 1997), Teoría de la medición: Preguntas frecuentes (Versión 3) (PDF) , SAS Institute Inc., archivado del original (PDF) el 3 de abril de 2022 , consultado el 24 de abril de 2016.Revisión de un capítulo en Disseminations of the International Statistical Applications Institute (4.ª ed.), vol. 1, 1995, Wichita: ACG Press, págs. 61–66.
↑ Fuchs, Jürgen; Schweigert, Christoph (1997), Symmetries, Lie algebras and representations: A graduate course for physicists , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, p. 70, ISBN 0-521-56001-2, MR 1473220 .
↑ Sexl, Roman U.; Urbantke, Helmuth K. (2001), Relatividad, grupos, partículas: Relatividad especial y simetría relativista en física de campos y partículas , Springer Physics, Viena: Springer-Verlag, pág. 165, doi : 10.1007/978-3-7091-6234-7 , ISBN 3-211-83443-5, MR 1798479 .
↑ Pitts, Andrew M. (2013), Conjuntos nominales: nombres y simetría en informática , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, vol. 57, Cambridge University Press, Definición 1.2, pág. 14, ISBN 9781107244689.
1 2 3 Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014), Grupos, anillos, módulos , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, págs. 86–87 , ISBN 9780486490823.
^ Segal, GB (1971), "Teoría de la homotopía estable equivalente", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970), Tomo 2 , Gauthier-Villars, París, págs. 59–63 , MR 0423340 .
^ Adhikari, Mahima Ranjan; Adhikari, Avishek (2014), Álgebra moderna básica con aplicaciones , Nueva Delhi: Springer, p. 142, doi : 10.1007/978-81-322-1599-8 , ISBN 978-81-322-1598-1, MR 3155599 .

[1] Kimberling, Clark (1994), "Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo", Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187 , doi : 10.2307/2690608 , JSTOR 2690608 , MR 1573021 "Los triángulos semejantes tienen centros situados de forma similar", pág. 164.

[2] El centroide es el único centro equivariante afín de un triángulo, pero los cuerpos convexos más generales pueden tener otros centros equivariantes afines; véase, por ejemplo, Neumann, BH (1939), "On some affine invariants of closed convex regions", Journal of the London Mathematical Society , Second Series, 14 (4): 262– 272, doi : 10.1112/jlms/s1-14.4.262 , MR 0000978 .

[3] Sarle, Warren S. (14 de septiembre de 1997), Teoría de la medición: Preguntas frecuentes (Versión 3) (PDF) , SAS Institute Inc., archivado del original (PDF) el 3 de abril de 2022 , consultado el 24 de abril de 2016.Revisión de un capítulo en Disseminations of the International Statistical Applications Institute (4.ª ed.), vol. 1, 1995, Wichita: ACG Press, págs. 61–66.

[4] Fuchs, Jürgen; Schweigert, Christoph (1997), Symmetries, Lie algebras and representations: A graduate course for physicists , Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, p. 70, ISBN 0-521-56001-2, MR 1473220 .

[5] Sexl, Roman U.; Urbantke, Helmuth K. (2001), Relatividad, grupos, partículas: Relatividad especial y simetría relativista en física de campos y partículas , Springer Physics, Viena: Springer-Verlag, pág. 165, doi : 10.1007/978-3-7091-6234-7 , ISBN 3-211-83443-5, MR 1798479 .

[6] Pitts, Andrew M. (2013), Conjuntos nominales: nombres y simetría en informática , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, vol. 57, Cambridge University Press, Definición 1.2, pág. 14, ISBN 9781107244689.

[grm-7] 1 2 3 Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014), Grupos, anillos, módulos , Dover Books on Mathematics, Dover Publications, págs. 86–87 , ISBN 9780486490823.

[8] Segal, GB (1971), "Teoría de la homotopía estable equivalente", Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970), Tomo 2 , Gauthier-Villars, París, págs. 59–63 , MR 0423340 .

[9] Adhikari, Mahima Ranjan; Adhikari, Avishek (2014), Álgebra moderna básica con aplicaciones , Nueva Delhi: Springer, p. 142, doi : 10.1007/978-81-322-1599-8 , ISBN 978-81-322-1598-1, MR 3155599 .

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