Interior (topology)

In mathematics, specifically in topology, the interior of a subsetS of a topological spaceX is the union of all subsets of S that are open in X. A point that is in the interior of S is an interior point of S. The interior of S is the complement of the closure of the complement of S. In this sense interior and closure are dual notions.

The exterior of a set S is the complement of the closure of S; it consists of the points that are in neither the set nor its boundary. The interior, boundary, and exterior of a subset together partition the whole space into three blocks (or fewer when one or more of these is empty).

• In any space, the interior of the empty set is the empty set.
• In any space ${\displaystyle X,}$ if ${\displaystyle S\subseteq X,}$ then ${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• If ${\displaystyle X}$ is the real line${\displaystyle \mathbb {R} }$ (with the standard topology), then ${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$ whereas the interior of the set ${\displaystyle \mathbb {Q} }$de números racionales es vacío:${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• Si${\displaystyle X}$es el plano complejo${\displaystyle \mathbb {C} ,}$entonces${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C}$ :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C}  :|z|<1\}.}
• En cualquier espacio euclidiano , el interior de cualquier conjunto finito es el conjunto vacío.

En el conjunto de los números reales , se pueden colocar otras topologías además de la estándar:

• Si${\displaystyle X}$son los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$con la topología de límite inferior , entonces${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• Si uno considera${\displaystyle \mathbb {R} }$la topología en la que cada conjunto es abierto , entonces${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• Si uno considera${\displaystyle \mathbb {R} }$la topología en la que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y${\displaystyle \mathbb {R} }$sí mismo, entonces${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$es el conjunto vacío.

Estos ejemplos muestran que el interior de un conjunto depende de la topología del espacio subyacente. Los dos últimos ejemplos son casos especiales de lo siguiente.

• En cualquier espacio discreto , puesto que todo conjunto es abierto, todo conjunto es igual a su interior.
• En cualquier espacio indiscreto${\displaystyle X,}$ya que los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y${\displaystyle X}$sí mismo,${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$y para cada subconjunto propio${\displaystyle S}$de${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$es el conjunto vacío.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​un espacio topológico y dejemos que${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$ser subconjuntos de${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$está abierto en${\displaystyle X.}$
• Si${\displaystyle T}$está abierto en${\displaystyle X}$entonces${\displaystyle T\subseteq S}$si y solo si${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle S}$cuando${\displaystyle S}$se le da la topología del subespacio .
• ${\displaystyle S}$es un subconjunto abierto de${\displaystyle X}$si y solo si${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• Intensivo :${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• Idempotencia :${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• Conserva / distribuye sobre la intersección binaria :${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • Sin embargo, el operador interno no distribuye entre los sindicatos ya que solo${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$está garantizada en general y la igualdad podría no cumplirse. ^{[ nota 1 ]} Por ejemplo, si${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$y${\displaystyle T=(0,\infty )}$entonces${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$es un subconjunto propio de${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• Monótono / no decreciente con respecto a${\displaystyle \subseteq }$: Si${\displaystyle S\subseteq T}$entonces${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

Otras propiedades incluyen:

• Si${\displaystyle S}$está cerrado en${\displaystyle X}$y${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$entonces${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

Relación con cierre

Las afirmaciones anteriores seguirán siendo ciertas si todas las instancias de los símbolos/palabras

"interior", "int", "abierto", "subconjunto" y "el más grande"

son reemplazados respectivamente por

" cierre ", "cl", "cerrado", "superconjunto" y "más pequeño"

y se intercambian los siguientes símbolos:

1. "${\displaystyle \subseteq }$" intercambiado con "${\displaystyle \supseteq }$"
2. "${\displaystyle \cup }$" intercambiado con "${\displaystyle \cap }$"

Para obtener más detalles sobre este tema, consulte el operador interior a continuación o el artículo Axiomas de cierre de Kuratowski .

El operador interior${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$es dual al operador de cierre , que se denota por${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$o mediante una línea superior ^— , en el sentido de que $${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$ y también $${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$ dónde${\displaystyle X}$es el espacio topológico que contiene${\displaystyle S,}$y la barra invertida${\displaystyle \,\setminus \,}$denota la diferencia de la teoría de conjuntos . Por lo tanto, la teoría abstracta de los operadores de cierre y los axiomas de cierre de Kuratowski se pueden traducir fácilmente al lenguaje de los operadores interiores, reemplazando los conjuntos con sus complementos en${\displaystyle X.}$

En general, el operador interior no conmuta con las uniones. Sin embargo, en un espacio métrico completo se cumple el siguiente resultado:

El resultado anterior implica que todo espacio métrico completo es un espacio de Baire .

El exterior de un subconjunto${\displaystyle S}$de un espacio topológico${\displaystyle X,}$denotado por${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$o simplemente${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$es el conjunto abierto más grande disjunto de${\displaystyle S,}$es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos en${\displaystyle X}$que están disjuntos de${\displaystyle S.}$ El exterior es el interior del complemento, que es el mismo que el complemento del cierre; ^{[ 2 ]} en fórmulas, $${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

De manera similar, el interior es el exterior del complemento: $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

El interior, el límite y el exterior de un conjunto${\displaystyle S}$En conjunto, dividen todo el espacio en tres bloques (o menos cuando uno o más de ellos están vacíos): $${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$ dónde${\displaystyle \partial S}$denota el límite de${\displaystyle S.}$^{[ 3 ]} El interior y el exterior están siempreabiertos, mientras que el límite estácerrado.

Algunas de las propiedades del operador exterior son diferentes a las del operador interior:

• El operador exterior invierte las inclusiones; si${\displaystyle S\subseteq T,}$entonces${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• El operador exterior no es idempotente . Tiene la propiedad de que${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

Dos formas${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$Se denominan figuras disjuntas internas si la intersección de sus interiores está vacía. Las figuras disjuntas internas pueden o no intersecarse en su límite.

• Interior algebraico – Generalización del interior topológico 
• DE-9IM – Modelo topológico 
• Álgebra interior – Estructura algebraica 
• Teorema de la curva de Jordan – Teorema en topología 
• Interior cuasi-relativo – Generalización del interior algebraico 
• Interior relativo – Generalización del interior topológico 

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• Interior en PlanetMath .