Curva integral

En matemáticas , una curva integral es una curva paramétrica que representa una solución específica a una ecuación diferencial ordinaria o un sistema de ecuaciones.

Las curvas integrales se conocen con otros nombres, según la naturaleza y la interpretación de la ecuación diferencial o del campo vectorial. En física , las curvas integrales de un campo eléctrico o magnético se conocen como líneas de campo , y las curvas integrales del campo de velocidad de un fluido se conocen como líneas de corriente . En sistemas dinámicos , las curvas integrales de una ecuación diferencial que gobierna un sistema se denominan trayectorias u órbitas .

Supóngase que F es un campo vectorial estático , es decir, una función vectorial con coordenadas cartesianas ( F ₁ , F ₂ ,..., F _n ), y que x ( t ) es una curva paramétrica con coordenadas cartesianas ( x ₁ ( t ), x ₂ ( t ),..., x _n ( t )). Entonces x ( t ) es una curva integral de F si es una solución del sistema autónomo de ecuaciones diferenciales ordinarias,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

Un sistema de este tipo puede escribirse como una única ecuación vectorial,

${\displaystyle \mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).\!\,}$

Esta ecuación dice que el vector tangente a la curva en cualquier punto x ( t ) a lo largo de la curva es precisamente el vector F ( x ( t )), y por lo tanto la curva x ( t ) es tangente en cada punto al campo vectorial F .

Si un campo vectorial dado es Lipschitz continuo , entonces el teorema de Picard-Lindelöf implica que existe un flujo único para un tiempo pequeño.

Si la ecuación diferencial se representa como un campo vectorial o un campo de pendientes , entonces las curvas integrales correspondientes son tangentes al campo en cada punto.

Sea M una variedad de Banach de clase C ^r con r ≥ 2. Como es habitual, T M denota el fibrado tangente de M con su proyección natural π _M  : T M → M dada por

${\displaystyle \pi _{M}:(x,v)\mapsto x.}$

Un campo vectorial sobre M es una sección transversal del fibrado tangente T M , es decir, una asignación a cada punto de la variedad M de un vector tangente a M en ese punto. Sea X un campo vectorial sobre M de clase C ^{r −1} y sea p ∈ M . Una curva integral para X que pasa por p en el instante t ₀ es una curva α  : J → M de clase C ^{r −1} , definida en un intervalo abierto J de la recta real R que contiene a t ₀ , tal que

${\displaystyle \alpha(t_{0})=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)){\mbox{ para todos }}t\in J.}$

La definición anterior de una curva integral α para un campo vectorial X , que pasa por p en el tiempo t ₀ , es lo mismo que decir que α es una solución local al problema de ecuación diferencial ordinaria/valor inicial.

${\displaystyle \alpha(t_{0})=p;\,}$

${\displaystyle \alpha '(t)=X(\alpha (t)).\,}$

Es local en el sentido de que está definida solo para tiempos en J , y no necesariamente para todos los t ≥ t ₀ (y mucho menos t ≤ t ₀ ). Por lo tanto, el problema de probar la existencia y unicidad de las curvas integrales es el mismo que el de encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias/problemas de valor inicial y demostrar que son únicas.

En el ejemplo anterior, α ′( t ) denota la derivada de α en el tiempo t , la "dirección a la que apunta α " en el tiempo t . Desde un punto de vista más abstracto, esta es la derivada de Fréchet :

${\displaystyle (\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.}$

En el caso especial de que M sea algún subconjunto abierto de R ⁿ , esta es la derivada familiar

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\puntos ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),}$

donde α ₁ , ..., α _n son las coordenadas de α con respecto a las direcciones de coordenadas habituales.

Lo mismo puede expresarse de forma aún más abstracta en términos de funciones inducidas . Nótese que el fibrado tangente T J de J es el fibrado trivial J × R y que existe una sección transversal canónica ι de este fibrado tal que ι ( t ) = 1 (o, más precisamente, ( t , 1) ∈ ι ) para todo t ∈ J . La curva α induce una función de fibrado α _∗  : T J → T M de modo que el siguiente diagrama conmuta:

Entonces la derivada temporal α ′ es la composición α ′ =  α _∗ o ι , y α ′( t ) es su valor en algún punto  t  ∈  J .

• Lang, Serge (1972). Variedades diferenciales . Reading, Mass.–Londres–Don Mills, Ontario: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.