Casco inyectivo

En matemáticas , particularmente en álgebra , la envoltura inyectiva (o envolvente inyectiva ) de un módulo es tanto el módulo inyectivo más pequeño que lo contiene como su extensión esencial más grande . Las envolturas inyectivas fueron descritas por primera vez en ( Eckmann y Schopf, 1953 ) .

Un módulo${\displaystyle E}$se denomina casco inyectivo de un módulo${\displaystyle M}$, si${\displaystyle E}$es una extensión esencial de${\displaystyle M}$, y${\displaystyle E}$es inyectivo . Aquí, el anillo base es un anillo con unidad, aunque posiblemente no conmutativo.

• Un módulo inyectivo es su propio casco inyectivo.
• La envoltura inyectiva de un dominio integral (como módulo sobre sí mismo) es su campo de fracciones ( Lam 1999 , Ejemplo 3.35) .
• La envoltura inyectiva de un ciclo${\displaystyle p}$-grupo (como${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo) es un grupo de Prüfer ( Lam 1999 , Ejemplo 3.36) .
• El casco inyectivo de un grupo abeliano sin torsión${\displaystyle A}$es el producto tensorial${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }A}$.
• El casco inyectivo de${\displaystyle R/{\mathfrak {R}}}$es${\displaystyle \mathrm {Hom} _ {\mathbb {k} }(R,\mathbb {k} )}$, dónde${\displaystyle R}$es de dimensión finita${\displaystyle \mathbb {k} }$- Álgebra con radical de Jacobson${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$( Lam 1999 , Ejemplo 3.41) .
• Un módulo simple es necesariamente el zócalo de su casco inyectivo.
• La envoltura inyectiva del campo residual de un anillo de valuación discreta${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},k)}$dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}=x\cdot R}$es${\displaystyle R_{x}/R}$. ^{[ 1 ]}
• En particular, el casco inyectivo de${\displaystyle \mathbb {C} }$en${\displaystyle (\mathbb {C} [[t]],(t),\mathbb {C} )}$es el módulo${\displaystyle \mathbb {C} ((t))/\mathbb {C} [[t]]}$.

• El casco inyectivo de${\displaystyle M}$es único salvo isomorfismos que son la identidad en${\displaystyle M}$Sin embargo, el isomorfismo no es necesariamente único. Esto se debe a que la propiedad de extensión de mapa del casco inyectivo no es una propiedad universal completa . Debido a esta unicidad, el casco puede denotarse como${\displaystyle E(M)}$.
• El casco inyectivo${\displaystyle E}$(${\displaystyle M}$) es una extensión esencial máxima de${\displaystyle M}$en el sentido de que si${\displaystyle M\subseteq E(M)\subsetneq B}$para un módulo${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle M}$no es un submódulo esencial de${\displaystyle B}$.
• El casco inyectivo${\displaystyle E(M)}$es un módulo inyectivo mínimo que contiene${\displaystyle M}$en el sentido de que si${\displaystyle M\subseteq B}$para un módulo inyectivo${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle E(M)}$es (isomorfo a) un submódulo de${\displaystyle B}$.
• Si${\displaystyle N}$es un submódulo esencial de${\displaystyle M}$, entonces${\displaystyle E(N)=E(M)}$.
• Cada módulo${\displaystyle M}$tiene una envoltura inyectiva. Una construcción de la envoltura inyectiva en términos de homomorfismos.${\displaystyle \mathrm {Hom} (I,M)}$, dónde${\displaystyle I}$recorre los ideales de${\displaystyle R}$, es dado por Fleischer (1968) .
• La noción dual de una cubierta proyectiva no siempre existe para un módulo; sin embargo, existe una cubierta plana para cada módulo.

Un${\displaystyle R}$módulo${\displaystyle M}$tiene dimensión uniforme finita (= rango finito )${\displaystyle n}$si y solo si el casco inyectivo de${\displaystyle M}$es una suma directa finita de${\displaystyle n}$submódulos indescomponibles .

En términos más generales, dejemos${\displaystyle \mathbf {C} }$ser una categoría abeliana . Un objeto${\displaystyle E}$es una envoltura inyectiva de un objeto${\displaystyle M}$si${\displaystyle M}$→${\displaystyle E}$es una extensión esencial y${\displaystyle E}$es un objeto inyectivo .

Si${\displaystyle \mathbf {C} }$es localmente pequeño , satisface el axioma AB5 de Grothendieck y tiene suficientes inyectivas , entonces todo objeto en${\displaystyle \mathbf {C} }$tiene una envoltura inyectiva (estas tres condiciones se satisfacen en la categoría de módulos sobre un anillo). ^{[ 4 ]} Todo objeto en una categoría de Grothendieck tiene una envoltura inyectiva.

• Cubierta plana , el concepto dual de cascos inyectados.
• Envoltura racional : Este es el análogo de la envoltura inyectiva cuando se considera una extensión racional máxima .

• Eckmann, B.; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75– 78, doi : 10.1007/BF01899665 , ISSN 0003-9268 , MR 0055978  
• Fleischer, Isidore (1968), "Una nueva construcción de la envoltura inyectiva", Canadian Mathematical Bulletin , 11 : 19–21 , doi : 10.4153/CMB-1968-002-3 , MR 0229680 
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas n.° 189, vol.  189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294 
• Lambek, Joachim (1963), "Sobre el anillo de cocientes de Utumi" , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370 , doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , MR 0147509  
• Matlis, Eben (1958), "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos", Pacific Journal of Mathematics , 8 (3): 511– 528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360  
• Matsumura, H. Teoría de anillos conmutativos , Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, volumen 8.
• Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemáticas puras y aplicadas. Vol.  17. Academic Press. ISBN 978-0-124-99250-4. MR 0202787 . 
• Osofsky, BL (1964), "Sobre las propiedades de los anillos de las envolturas inyectivas", Canadian Mathematical Bulletin , 7 (3): 405– 413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0166227  
• Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos cociente", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18 , ISSN 0030-6126 , MR 0078966  

• casco inyectivo (artículo de PlanetMath)
• Página de PlanetMath sobre módulos de rango finito