problema de valor inicial

En cálculo , un problema de valor inicial ( ^{PVI ) es} una ecuación diferencial ordinaria junto con una condición inicial que especifica el valor de la función desconocida en un punto dado del dominio . Modelar un sistema en física u otras ciencias a menudo equivale a resolver un problema de valor inicial. En ese contexto, el PVI es una ecuación diferencial que especifica cómo evoluciona el sistema con el tiempo, además de las condiciones iniciales del problema.

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial.

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ con ${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$dónde${\displaystyle \Omega }$es un conjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$,

junto con un punto en el dominio de${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega ,}$

llamada condición inicial .

Una solución a un problema de valor inicial es una función${\displaystyle y}$que es una solución a la ecuación diferencial y satisface

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

En dimensiones superiores, la ecuación diferencial se reemplaza por una familia de ecuaciones.${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$, y${\displaystyle y(t)}$se considera como el vector${\ Displaystyle (y_ {1} (t), \ dotsc, y_ {n} (t))}$, más comúnmente asociada con la posición en el espacio. De manera más general, la función desconocida${\displaystyle y}$pueden tomar valores en espacios de dimensión infinita, como espacios de Banach o espacios de distribuciones .

Los problemas de valor inicial se extienden a órdenes superiores tratando las derivadas de la misma manera que una función independiente, por ejemplo${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$Para esta ecuación diferencial de segundo orden, se necesitan dos condiciones iniciales, por ejemplo los valores numéricos de${\displaystyle y(0)}$y${\displaystyle y'(0)}$.

El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en algún intervalo que contiene t ≥ ₀ si f es continua en una región que contiene t _{≥ 0} e y ≥ ₀ y satisface la condición de Lipschitz en la variable y . La demostración de este teorema procede reformulando el problema como una ecuación integral equivalente . La integral puede considerarse un operador que transforma una función en otra, de modo que la solución es un punto fijo del operador. A continuación, se recurre al teorema del punto fijo de Banach para demostrar que existe un único punto fijo, que es la solución del problema de valor inicial.

Una demostración antigua del teorema de Picard-Lindelöf construye una sucesión de funciones que convergen a la solución de la ecuación integral y, por lo tanto, a la solución del problema de valor inicial. Esta construcción se conoce a veces como «método de Picard» o «método de aproximaciones sucesivas». Esta versión es, en esencia, un caso particular del teorema del punto fijo de Banach.

Hiroshi Okamura obtuvo una condición necesaria y suficiente para que la solución de un problema de valor inicial sea única. Esta condición tiene que ver con la existencia de una función de Lyapunov para el sistema.

En algunas situaciones, la función f no es de clase C ¹ , ni siquiera Lipschitz , por lo que el resultado habitual que garantiza la existencia local de una solución única no se aplica. Sin embargo, el teorema de existencia de Peano demuestra que incluso para f meramente continua, se garantiza la existencia de soluciones localmente en el tiempo; el problema es que no hay garantía de unicidad. El resultado se puede encontrar en Coddington y Levinson (1955, Teorema 1.3) o Robinson (2001, Teorema 2.6). Un resultado aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory , que demuestra la existencia para algunas funciones discontinuas f .

Un ejemplo sencillo es resolver${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$y${\displaystyle y(0)=19}$Estamos tratando de encontrar una fórmula para${\displaystyle y(t)}$que satisface estas dos ecuaciones.

Reorganiza la ecuación de modo que${\displaystyle y}$está en el lado izquierdo

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

Ahora integre ambos lados con respecto a${\displaystyle t}$(esto introduce una constante desconocida)${\displaystyle B}$).

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

Elimina el logaritmo con exponenciación en ambos lados.

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

Dejar${\displaystyle C}$ser una nueva constante desconocida,${\displaystyle C=\pm e^{B}}$, entonces

${\displaystyle y(t)=Ce^{0,85t}}$

Ahora necesitamos encontrar un valor para${\displaystyle C}$. Usar${\displaystyle y(0)=19}$como se da al principio y sustituir 0 por${\displaystyle t}$y 19 por${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

Esto da la solución final de${\displaystyle y(t)=19e^{0,85t}}$.

Segundo ejemplo

La solución de

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

se puede encontrar que

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

En efecto,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

y${\displaystyle y(0)=2+0+1=3}$, por lo tanto, la función dada satisface la EDO y la condición inicial.

Tercer ejemplo

La solución de

${\displaystyle y'=y^{\frac {2}{3}},\qquad y(0)=0}$

${\displaystyle \int {\frac {y'}{y^{\frac {2}{3}}}}\,dt=\int y^{-{\frac {2}{3}}}\,dy=\int 1\,dt}$

${\displaystyle 3(y(t))^{\frac {1}{3}}=t+B}$

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos${\displaystyle B=0}$, por lo tanto la solución:

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{3}}{27}}}$.

Sin embargo, la siguiente función también es una solución al problema de valor inicial:

${\displaystyle f(t)=\left\{{\begin{array}{lll}{\frac {(t-t_{1})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t\leq t_{1}\\0&{\text{if}}&t_{1}\leq x\leq t_{2}\\{\frac {(t-t_{2})^{3}}{27}}&{\text{if}}&t_{2}\leq t\\\end{array}}\right.}$

La función es diferenciable en todo su dominio y continua, y satisface tanto la ecuación diferencial como el problema de valor inicial. Por lo tanto, este es un ejemplo de un problema con un número infinito de soluciones.

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