Juego repetido

En teoría de juegos , un juego repetido (o iterado ) es un juego de forma extensiva que consiste en varias repeticiones de un juego base (llamado juego de etapa ). El juego de etapa suele ser uno de los juegos para dos personas más estudiados . Los juegos repetidos reflejan la idea de que un jugador debe tener en cuenta el impacto de su acción actual en las acciones futuras de los demás jugadores; este impacto se conoce a veces como reputación. Los juegos no repetidos se denominan juegos de una sola etapa o juegos de una sola ronda .

Consideremos dos gasolineras contiguas. Compiten publicando sus precios y tienen el mismo coste marginal constante c (el precio mayorista de la gasolina). Supongamos que cuando ambas cobran p = 10 , su beneficio conjunto se maximiza, lo que resulta en un alto beneficio para todas.

A pesar de que este es el mejor resultado para ellos, están motivados a desviarse. Al bajar ligeramente el precio, cualquiera puede robarle todos los clientes a sus competidores, casi duplicando sus ingresos. p = c , donde su ganancia es cero, es el único precio sin esta desviación de ganancias. En otras palabras, en el juego de competencia de precios, el único equilibrio de Nash es ineficiente (para las gasolineras) que ambas cobren p = c .

Esto es más una regla que una excepción: en un juego por etapas, el equilibrio de Nash es el único resultado que un agente puede obtener de forma consistente en una interacción, y suele ser ineficiente para él. Esto se debe a que los agentes solo se preocupan por sus propios intereses personales y no les importan los beneficios o costes que sus acciones conllevan para la competencia. Por otro lado, las gasolineras obtienen beneficios incluso si hay otra gasolinera adyacente. Una de las razones más importantes es que su interacción no es puntual. Esta condición se ilustra en juegos repetidos, en los que dos gasolineras compiten por los precios (juegos por etapas) durante un intervalo de tiempo indefinido t = 0, 1, 2,...

Los juegos repetidos se pueden dividir a grandes rasgos en dos clases, finitos e infinitos, dependiendo de cuánto tiempo dure el juego.

• Los juegos finitos son aquellos en los que ambos jugadores saben que el juego se desarrollará durante un número específico (y finito) de rondas, y que el juego terminará con certeza después de que se hayan jugado esa cantidad de rondas. En general, los juegos finitos se pueden resolver mediante inducción hacia atrás .
• Los juegos infinitos son aquellos en los que el juego se juega un número infinito de veces. Un juego con un número infinito de rondas también es equivalente (en términos de estrategias de juego) a un juego en el que los jugadores desconocen cuántas rondas durará. Los juegos infinitos (o juegos que se repiten un número desconocido de veces) no se pueden resolver mediante inducción hacia atrás, ya que no existe una "última ronda" desde la cual comenzar la inducción hacia atrás.

Aunque el juego que se juega en cada ronda sea idéntico, repetir ese juego un número finito o infinito de veces puede, en general, conducir a resultados (equilibrios) muy diferentes, así como a estrategias óptimas muy diferentes.

Los juegos repetidos más estudiados son aquellos que se repiten un número infinito de veces. En los juegos iterados del dilema del prisionero , se observa que la estrategia preferida no es la estrategia de Nash del juego de etapa, sino la cooperación y la estrategia socialmente óptima. Una parte esencial de las estrategias en juegos repetidos infinitamente es castigar a los jugadores que se desvían de esta estrategia cooperativa. El castigo puede consistir en jugar una estrategia que reduce la recompensa para ambos jugadores durante el resto del juego (denominada estrategia desencadenante ). Un jugador normalmente puede optar por actuar de forma egoísta para aumentar su propia recompensa en lugar de jugar la estrategia socialmente óptima. Sin embargo, si se sabe que el otro jugador está siguiendo una estrategia desencadenante, el jugador espera recibir recompensas reducidas en el futuro si se desvía en esta etapa. Una estrategia desencadenante eficaz garantiza que cooperar tenga más utilidad para el jugador que actuar de forma egoísta ahora y enfrentarse al castigo del otro jugador en el futuro.

Existen numerosos resultados en teoremas que abordan cómo alcanzar y mantener un equilibrio socialmente óptimo en juegos repetidos. Estos resultados se conocen colectivamente como "Teoremas Populares" . Una característica importante de un juego repetido es la forma en que se pueden modelar las preferencias de un jugador. Existen muchas maneras diferentes de modelar una relación de preferencia en un juego repetido infinitamente, pero dos de las principales son  :

• Límite de medios : si el juego da como resultado una secuencia de resultados${\displaystyle x_{t}}$y el jugador i tiene la función de utilidad del juego básico${\displaystyle u_{i}}$La utilidad del jugador i es:

${\displaystyle U_{i}=\lim _{T\to \infty }\inf {\frac {1}{T}}\sum _{t=0}^{T}u_{i}(x_{t})}$

• Descuento : Si la valoración que el jugador i hace del juego disminuye con el tiempo dependiendo de un factor de descuento.${\displaystyle \delta <1}$, entonces la utilidad del jugador i es:

${\displaystyle U_{i}=\sum _{t\geq 0}\delta ^{t}u_{i}(x_{t})}$

Para jugadores suficientemente pacientes (por ejemplo, aquellos con valores suficientemente altos de${\displaystyle \delta }$), se puede demostrar que toda estrategia que tenga una recompensa mayor que la recompensa minmax puede ser un equilibrio de Nash , un conjunto muy grande de estrategias.

Los juegos repetidos permiten estudiar la interacción entre las ganancias inmediatas y los incentivos a largo plazo. Un juego repetido finitamente es un juego en el que la misma fase de una sola ronda se juega repetidamente durante varios periodos de tiempo discretos, o rondas. Cada periodo de tiempo se indexa mediante 0 < t ≤ T, donde T es el número total de periodos. La ganancia final de un jugador es la suma de sus ganancias de cada ronda. ^{[ 1 ]}

Para aquellos juegos repetidos con un número fijo y conocido de períodos de tiempo, si el juego de etapa tiene un equilibrio de Nash único , entonces el juego repetido tiene un perfil de estrategia de equilibrio de Nash perfecto de subjuego único que consiste en jugar el equilibrio del juego de etapa en cada ronda. Esto se puede deducir mediante inducción hacia atrás . El equilibrio de Nash único del juego de etapa debe jugarse en la última ronda independientemente de lo que haya sucedido en las rondas anteriores. Sabiendo esto, los jugadores no tienen incentivo para desviarse del equilibrio de Nash único del juego de etapa en la penúltima ronda, y así sucesivamente esta lógica se aplica hacia atrás hasta la primera ronda del juego. ^{[ 2 ]} Este "desenredo" de un juego desde su punto final se puede observar en la paradoja de Chainstore .

Si el juego de la etapa tiene más de un equilibrio de Nash, el juego repetido puede tener múltiples equilibrios de Nash perfectos en subjuegos . Si bien un equilibrio de Nash debe jugarse en la última ronda, la presencia de múltiples equilibrios introduce la posibilidad de estrategias de recompensa y castigo que pueden usarse para apoyar la desviación de los equilibrios de Nash del juego de la etapa en rondas anteriores. ^{[ 2 ]}

Por otro lado, los juegos repetidos un número finito de periodos de tiempo, desconocido o indeterminado, se consideran como si fueran juegos repetidos infinitamente. No es posible aplicar la inducción hacia atrás a estos juegos.

Ejemplo 1: Juego repetido de dos etapas con múltiples equilibrios de Nash

El ejemplo 1 muestra un juego repetido de dos etapas con múltiples equilibrios de Nash de estrategia pura . Dado que estos equilibrios difieren notablemente en términos de recompensas para el Jugador 2, el Jugador 1 puede proponer una estrategia a lo largo de varias etapas del juego que incorpore la posibilidad de castigo o recompensa para el Jugador 2. Por ejemplo, el Jugador 1 podría proponer jugar (A, X) en la primera ronda. Si el Jugador 2 cumple en la primera ronda, el Jugador 1 lo recompensará jugando el equilibrio (A, Z) en la segunda ronda, lo que resultará en una recompensa total de (7, 9) a lo largo de dos rondas.

Si el Jugador 2 se desvía a (A, Z) en la primera ronda en lugar de jugar la opción acordada (A, X), el Jugador 1 puede amenazarlo con castigarlo jugando el equilibrio (B, Y) en la segunda ronda. Esta última situación produce una ganancia de (5, 7), dejando a ambos jugadores en peor situación.

De esta forma, la amenaza de castigo en una ronda futura incentiva una estrategia colaborativa y de no equilibrio en la primera ronda. Dado que la ronda final de cualquier juego repetido un número finito de veces, por su propia naturaleza, elimina la amenaza de castigo futuro, la estrategia óptima en la última ronda siempre será uno de los equilibrios del juego. Es la diferencia de recompensas entre los equilibrios del juego representado en el Ejemplo 1 lo que hace viable una estrategia de castigo/recompensa (para más información sobre la influencia del castigo y la recompensa en la estrategia del juego, véase « Juego de bienes públicos con castigo y recompensa »).

Ejemplo 2: Juego repetido de dos etapas con un único equilibrio de Nash

El ejemplo 2 muestra un juego repetido de dos etapas con un único equilibrio de Nash. Dado que solo hay un equilibrio, no existe ningún mecanismo para que ninguno de los jugadores amenace con castigo o prometa recompensa en la segunda ronda del juego. Por lo tanto, la única estrategia que puede sostenerse como un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es la de jugar la estrategia de equilibrio de Nash único del juego (D, N) en cada ronda. En este caso, eso significa jugar (D, N) en cada etapa durante dos etapas (n=2), pero sería cierto para cualquier número finito de etapas n . ^{[ 3 ]} Para interpretar: este resultado significa que la mera presencia de un horizonte temporal conocido y finito sabotea la cooperación en cada ronda del juego. La cooperación en juegos iterados solo es posible cuando el número de rondas es infinito o desconocido.

En general, los juegos repetidos se resuelven fácilmente utilizando estrategias basadas en teoremas populares . Los juegos repetidos complejos se pueden resolver mediante diversas técnicas, la mayoría de las cuales se basan en gran medida en el álgebra lineal y los conceptos expresados ​​en el juego ficticio . Se puede deducir que es posible determinar la caracterización de las ganancias de equilibrio en juegos repetidos infinitamente. Mediante la alternancia entre dos ganancias, digamos a y f, el perfil de ganancias promedio puede ser un promedio ponderado entre a y f.

Los juegos repetidos pueden incluir información incompleta. Aumann y Maschler fueron pioneros en el estudio de los juegos repetidos con información incompleta . ^{[ 4 ]} Si bien es más sencillo tratar una situación en la que un jugador está informado y el otro no, y cuando la información recibida por cada jugador es independiente, es posible abordar juegos de suma cero con información incompleta en ambos lados y señales que no son independientes. ^{[ 5 ]}

• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991). Teoría de juegos . Cambridge: Prensa del MIT. ISBN 0-262-06141-4.
• Mailath, G. y Samuelson, L. (2006). Juegos repetidos y reputaciones: relaciones a largo plazo . Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-530079-3.
• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos . Cambridge: MIT Press. ISBN 0-262-15041-7.
• Sorin, Sylvain (2002). Un primer curso sobre juegos repetidos de suma cero . Berlín: Springer. ISBN 3-540-43028-8.

• Solución de teoría de juegos al póker mediante juego ficticio. Archivado el 11 de marzo de 2007 en la Wayback Machine.
• Notas de teoría de juegos sobre juegos repetidos. Archivado el 4 de noviembre de 2016 en Wayback Machine.
• Sobre los juegos repetidos y la paradoja de las cadenas de tiendas