Supertarea

James F. Thomson creía que el movimiento no era una supertarea y negaba enfáticamente la posibilidad de supertareas. Consideró una lámpara que puede estar encendida o apagada. En el instante t = 0 , la lámpara está apagada, y el interruptor se enciende en t = 1/2 ; después, se vuelve a encender tras esperar la mitad del tiempo anterior. Thomson se pregunta cuál es el estado en t = 1 , cuando el interruptor se ha accionado infinitas veces. Razona que no puede estar encendida porque nunca hubo un momento en que no se apagara posteriormente, y viceversa, llegando así a una contradicción. Concluye que las supertareas son imposibles. ^{[ 6 ]}

Paul Benacerraf cree que las supertareas son al menos lógicamente posibles a pesar de la aparente contradicción de Thomson. Benacerraf coincide con Thomson en que el experimento que describió no determina el estado de la lámpara en t = 1. Sin embargo, discrepa con Thomson en que pueda derivar una contradicción de esto, ya que el estado de la lámpara en t = 1 no puede determinarse lógicamente a partir de los estados precedentes. ^{[ 7 ]}

La mayor parte de la literatura moderna proviene de los descendientes de Benacerraf, aquellos que aceptan tácitamente la posibilidad de supertareas. Los filósofos que rechazan esta posibilidad tienden a no hacerlo por razones como las de Thomson, sino porque tienen reservas respecto a la noción misma de infinito. Por supuesto, existen excepciones. Por ejemplo, McLaughlin afirma que la lámpara de Thomson es inconsistente si se analiza con la teoría interna de conjuntos , una variante del análisis real .

Supongamos que hay un frasco capaz de contener infinitas canicas y una colección infinita de canicas etiquetadas del 1 al 10. En el instante t = 0, las canicas del 1 al 10 se colocan en el frasco y se extrae la canica 1. En t = 0,5, las canicas del 11 al 20 se colocan en el frasco y se extrae la canica 2; en t = 0,75, las canicas del 21 al 30 se colocan en el frasco y se extrae la canica 3; y en general, en el instante t = 1 − 0,5 ⁿ , las canicas del 10 n + 1 al 10 n + 10 se colocan en el frasco y se extrae la canica n + 1. ¿Cuántas canicas hay en el frasco en el instante t = 1?

Un argumento afirma que debería haber infinitas canicas en el frasco, ya que en cada paso anterior a t = 1 el número de canicas aumenta con respecto al paso anterior de forma ilimitada. Sin embargo, un segundo argumento demuestra que el frasco está vacío. Consideremos el siguiente argumento: si el frasco no está vacío, entonces debe haber una canica en él. Digamos que esa canica está etiquetada con el número n . Pero en el instante t = 1 − 0.5 ^{n - 1} , la canica n ha sido extraída, por lo que la canica n no puede estar en el frasco. Esto es una contradicción, por lo que el frasco debe estar vacío.

Ha habido un interés considerable en la “Paradoja de los dioses” de JA Benardete : ^{[ 11 ]}

Un hombre camina una milla desde un punto α. Pero hay una infinidad de dioses, cada uno de los cuales, sin que los demás lo sepan, intenta obstaculizarlo. Uno de ellos levantará una barrera para detener su avance si llega a la media milla, un segundo si llega a la cuarta parte de la milla, un tercero si recorre un octavo de milla, y así sucesivamente hasta el infinito. Por lo tanto, ni siquiera puede comenzar, porque por corta que sea la distancia que recorra, ya habrá sido detenido por una barrera. Pero en ese caso no se levantará ninguna barrera, de modo que nada le impedirá partir. Se ha visto obligado a permanecer donde está por las meras intenciones incumplidas de los dioses. ^{[ 12 ]}

Inspirado por la paradoja de J.A. Benardete sobre una serie infinita de asesinos, ^{[ 13 ]} David Chalmers describe la paradoja de la siguiente manera:

Hay una cantidad numerable de la Parca, una por cada número entero positivo. La Parca 1 está dispuesta a matarte con una guadaña a la 1 p. m., solo si aún estás vivo para entonces (de lo contrario, su guadaña permanece inmóvil), tardando aproximadamente 30 minutos. La Parca 2 está dispuesta a matarte con una guadaña a las 12:30 p. m., solo si aún estás vivo para entonces, tardando aproximadamente 15 minutos. La Parca 3 está dispuesta a matarte con una guadaña a las 12:15 p. m., y así sucesivamente. Si aún estás vivo justo antes de las 12 p. m., solo puedes morir por el movimiento de la guadaña de la Parca, y una vez muerto, permaneces muerto. A primera vista, esta situación parece concebible: cada Parca parece concebible individualmente e intrínsecamente, y parece razonable combinar individuos distintos con propiedades intrínsecas distintas en una sola situación. Pero una breve reflexión revela que la situación descrita es contradictoria. No puedo sobrevivir más allá de las 12 del mediodía (la muerte me alcanzaría antes), pero no puedo morir (para que la muerte n me mate, debo haber sobrevivido a la muerte n + 1, lo cual es imposible). ^{[ 14 ]}

Ha adquirido importancia en filosofía a través de su uso para argumentar a favor de un pasado finito, teniendo así relevancia para el argumento cosmológico de Kalam . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

Propuesta por E. Brian Davies , ^{[ 19 ]} esta es una máquina que puede, en el espacio de media hora, crear una réplica exacta de sí misma que es la mitad de su tamaño y capaz de duplicar su velocidad de replicación. Esta réplica a su vez creará una versión aún más rápida de sí misma con las mismas especificaciones, lo que resulta en una supertarea que finaliza después de una hora. Si, además, las máquinas crean un enlace de comunicación entre la máquina madre y la hija que produce un ancho de banda sucesivamente mayor y las máquinas son capaces de realizar aritmética simple, las máquinas pueden usarse para realizar pruebas de fuerza bruta de conjeturas desconocidas. Sin embargo, Davies también señala que , debido a propiedades fundamentales del universo real como la mecánica cuántica , el ruido térmico y la teoría de la información , su máquina no puede construirse en la práctica.