Superficie de Hurwitz

En la teoría de superficies de Riemann y la geometría hiperbólica , una superficie de Hurwitz , que recibe su nombre de Adolf Hurwitz , es una superficie de Riemann compacta con exactamente 84( g − 1) automorfismos, donde g es el género de la superficie. Este número es máximo gracias al teorema de Hurwitz sobre automorfismos ( Hurwitz, 1893 ) . También se las conoce como curvas de Hurwitz , interpretándolas como curvas algebraicas complejas (dimensión compleja 1 = dimensión real 2).

El grupo fuchsiano de una superficie de Hurwitz es un subgrupo normal sin torsión de índice finito del grupo triangular (2,3,7) (ordinario) . El grupo cociente finito es precisamente el grupo de automorfismos.

Los automorfismos de curvas algebraicas complejas son automorfismos que preservan la orientación de la superficie real subyacente; si se permiten isometrías que invierten la orientación, esto produce un grupo dos veces más grande, de orden 168( g − 1), que a veces es de interés.

Una nota sobre la terminología: en este y otros contextos, el "grupo triangular (2,3,7)" se refiere con mayor frecuencia no al grupo triangular completo Δ(2,3,7) (el grupo de Coxeter con triángulo de Schwarz (2,3,7) o una realización como grupo de reflexión hiperbólica ), sino más bien al grupo triangular ordinario (el grupo de von Dyck ) D (2,3,7) de aplicaciones que preservan la orientación (el grupo de rotación), que es de índice 2. El grupo de automorfismos complejos es un cociente del grupo triangular ordinario (que preserva la orientación), mientras que el grupo de isometrías (posiblemente de inversión de la orientación) es un cociente del grupo triangular completo .

Solo se presenta un número finito de superficies de Hurwitz con cada género. La función${\displaystyle h(g)}$La asignación del género al número de superficies de Hurwitz con ese género no está acotada, aunque la mayoría de sus valores sean cero. La suma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {h(g)}{g^{s}}}}$

converge para${\displaystyle s>1/3}$, lo que implica en un sentido aproximado que el género de la${\displaystyle n}$La superficie de Hurwitz crece al menos como una función cúbica de${\displaystyle n}$( Larsen 2001 ) .

La superficie de Hurwitz de menor género es la cuártica de Klein de género 3, con grupo de automorfismos el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) , de orden 84(3 − 1) = 168 = 2 ³ ·3·7, que es un grupo simple ; (o de orden 336 si se permiten isometrías de inversión de orientación). El siguiente género posible es 7, que posee la superficie de Macbeath , con grupo de automorfismos PSL(2,8), que es el grupo simple de orden 84(7 − 1) = 504 = 2 ³ ·3 ² ·7; si se incluyen isometrías de inversión de orientación, el grupo es de orden 1,008.            

Un fenómeno interesante ocurre en el siguiente género posible, a saber, 14. Aquí hay una tripleta de superficies de Riemann distintas con el mismo grupo de automorfismos (de orden 84(14 − 1) = 1092 = 2 ² ·3·7·13). La explicación de este fenómeno es aritmética. Es decir, en el anillo de enteros del cuerpo numérico apropiado , el primo racional 13 se divide como un producto de tres ideales primos distintos . Los subgrupos de congruencia principales definidos por la tripleta de primos producen grupos fuchsianos correspondientes a la primera tripleta de Hurwitz .      

La secuencia de valores permitidos para el género de una superficie de Hurwitz comienza

3, 7, 14, 17, 118, 129, 146, 385, 411, 474, 687, 769, 1009, 1025, 1459, 1537, 2091, ... (secuencia A179982 en el OEIS )

• orden cuaternario de Hurwitz