Preferencias homotéticas

En la teoría del consumidor , las preferencias de un consumidor se denominan homotéticas si pueden representarse mediante una función de utilidad homogénea de grado 1. ^{[1] : 146} Por ejemplo, en una economía con dos bienes , las preferencias homotéticas pueden representarse mediante una función de utilidad que tiene la siguiente propiedad: para cada : ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle u(a\cdot x,a\cdot y)=a\cdot u(x,y)}$

En matemáticas , una función homotética es una transformación monótona de una función que es homogénea ; ^[2] sin embargo, dado que las funciones de utilidad ordinales solo se definen hasta una transformación monótona creciente , existe una pequeña distinción entre los dos conceptos en la teoría del consumidor. ^{[1] : 147}

En un modelo en el que los consumidores competitivos optimizan las funciones de utilidad homotéticas sujetas a una restricción presupuestaria , las proporciones de bienes demandados por los consumidores dependerán únicamente de los precios relativos , no del ingreso o la escala. Esto se traduce en una trayectoria de expansión lineal del ingreso: la pendiente de las curvas de indiferencia es constante a lo largo de los rayos que comienzan en el origen. ^{[1] : 482} Es decir, la curva de Engel para cada bien es lineal.

Además, la función de utilidad indirecta puede escribirse como una función lineal de la riqueza : ${\displaystyle w}$

${\displaystyle v(p_{x},p_{y},w)=f(p_{x},p_{y})\cdot w}$

que es un caso especial de la forma polar de Gorman . Por lo tanto, si todos los consumidores tienen preferencias homotéticas (con el mismo coeficiente en el término de riqueza), la demanda agregada se puede calcular considerando un único "consumidor representativo" que tiene las mismas preferencias y el mismo ingreso agregado. ^{[1] : 152–154}

Las funciones de utilidad que tienen elasticidad de sustitución constante (CES) son homotéticas. Pueden representarse mediante una función de utilidad como la siguiente:

${\displaystyle u(x,y)=\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}}$

Esta función es homogénea de grado 1:

${\displaystyle u(ax,ay)=\left(a^{r}\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+a^{r}\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=(a^{r})^{1/r}\left(\left({x \over w_{x}}\right)^{\!r}+\left({y \over w_{y}}\right)^{\!r}\ \right)^{\!1/r}=au(x,y)}$

Las utilidades lineales , las utilidades de Leontief y las utilidades Cobb-Douglas son casos especiales de funciones CES y, por lo tanto, también son homotéticas.

Por otra parte, las utilidades cuasilineales no siempre son homotéticas, es decir, la función no puede representarse como una función homogénea. ${\displaystyle u(x,y)=x+{\sqrt {y}}}$

Las preferencias son intratemporalmente homotéticas si, en el mismo período de tiempo, consumidores con diferentes ingresos pero que enfrentan los mismos precios y tienen preferencias idénticas demandarán bienes en las mismas proporciones.

Las preferencias son homotéticas intertemporalmente si, a lo largo de períodos de tiempo, los tomadores de decisiones ricos y pobres son igualmente reacios a fluctuaciones proporcionales en el consumo.

Los modelos de macroeconomía y finanzas públicas modernas a menudo suponen la forma de aversión al riesgo relativa constante para la utilidad dentro del período (también llamada utilidad de potencia o utilidad isoelástica ). La razón es que, en combinación con la aditividad a lo largo del tiempo, esto da preferencias intertemporales homotéticas y esta homoteticidad es de considerable conveniencia analítica (por ejemplo, permite el análisis de estados estacionarios en modelos de crecimiento). Estos supuestos implican que la elasticidad de sustitución intertemporal y su inverso, el coeficiente de aversión (al riesgo) , son constantes.

Sin embargo, es bien sabido que, en realidad, los patrones de consumo cambian con la prosperidad económica, lo que significa que las preferencias no son homotéticas. ^[3] Hace tiempo que se ha demostrado que los cambios de precios relativos afectan a las personas de manera diferente, incluso si todas se enfrentan al mismo conjunto de precios. ^[4]

• Transformación homotética
• Función homogénea