Homotecia

En matemáticas , una homotecia (o dilatación homogénea ) es una transformación de un espacio afín determinado por un punto S llamado su centro y un número no nulo k llamado su razón , que envía el punto X a un punto X ′ por la regla, ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\overrightarrow {SX'}}=k{\overrightarrow {SX}}}$$para un número fijo${\displaystyle k\neq 0}$⁠ . Utilizando vectores de posición: $${\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ).}$$

En caso de${\displaystyle S=O}$(Origen): $${\displaystyle \mathbf {x} '=k\mathbf {x},}$$ que es una escala uniforme y muestra el significado de las elecciones especiales para${\displaystyle k}$:​

• para${\displaystyle k=1}$uno obtiene el mapeo de identidad ;
• para${\displaystyle k=-1}$uno obtiene el reflejo en el centro;
• para${\displaystyle 1/k}$se obtiene el mapeo inverso definido por ⁠${\displaystyle k}$⁠ .

En geometría euclidiana, las homotecias son las similitudes que fijan un punto y preservan (si ⁠${\displaystyle k>0}$⁠ ) ​​o viceversa (si ⁠${\displaystyle k<0}$⁠ ) ​​la dirección de todos los vectores. Junto con las traslaciones , todas las homotecias de un espacio afín (o euclidiano) forman un grupo , el grupo de dilataciones u homotecias-traslaciones . Estas son precisamente las transformaciones afines con la propiedad de que la imagen de cada línea g es una línea paralela a g .

En geometría proyectiva , una transformación homotética es una transformación de semejanza (es decir, fija una involución elíptica dada) que deja la línea en el infinito invariante punto a punto . ^{[ 2 ]}

En geometría euclidiana, una homotecia de razón${\displaystyle k}$multiplica las distancias entre puntos por${\displaystyle \vert k\vert }$⁠ , áreas por${\displaystyle k^{2}}$y volúmenes por ⁠${\displaystyle {\vert k\vert }^{3}}$Aquí​${\displaystyle k}$es la relación de factor de magnificación o dilatación o factor de escala o relación de similitud . Dicha transformación puede llamarse ampliación si el factor de escala supera  1. El punto fijo mencionado anteriormente${\displaystyle S}$Se le llama centro homotético o centro de similitud o centro de semejanza .

El término, acuñado por el matemático francés Michel Chasles , deriva de dos elementos griegos : el prefijo homo- ( όμο , « similar » ) y thesis ( Θέσις , « posición » ). Describe la relación entre dos figuras de la misma forma y orientación. Por ejemplo, dos muñecas rusas que miran en la misma dirección pueden considerarse homotéticas.

Las homotecias se utilizan para escalar el contenido de las pantallas de ordenador; por ejemplo, en teléfonos inteligentes, portátiles y ordenadores portátiles.

Las siguientes propiedades se cumplen en cualquier dimensión.

Representación gráfica de líneas, segmentos de línea y ángulos

Una homotecia tiene las siguientes propiedades:

• Una línea se proyecta sobre una línea paralela. Por lo tanto, los ángulos permanecen inalterados.
• La proporción entre dos segmentos de línea se mantiene.

Ambas propiedades demuestran que una homotecia es una semejanza .

Derivación de las propiedades

Para facilitar los cálculos, se supone que el centro${\displaystyle S}$es el origen :${\displaystyle \mathbf {x} \to k\mathbf {x} }$⁠ . Una línea ${\displaystyle g}$con representación paramétrica${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {v} }$se asigna al conjunto de puntos${\displaystyle g'}$con ecuación $${\displaystyle \mathbf {x} =k(\mathbf {p} +t\mathbf {v} )=k\mathbf {p} +tk\mathbf {v} ,}$$ que es una línea paralela a${\displaystyle g}$⁠ .

La distancia de dos puntos${\displaystyle P:\mathbf {p} ,\;Q:\mathbf {q} }$es${\displaystyle |\mathbf {p} -\mathbf {q} |}$y​${\displaystyle {1}}$⁠ , la distancia entre sus imágenes. Por lo tanto, la razón (cociente) de dos segmentos de línea permanece sin cambios.

En caso de${\displaystyle S\neq O}$El cálculo es análogo, pero un poco más extenso.

Consecuencias: Un triángulo se proyecta sobre otro semejante . La imagen homotética de un círculo es un círculo. La imagen de una elipse es una figura semejante; es decir, la relación entre los dos ejes permanece inalterada.

Construcción gráfica (utilizando el teorema de la intersección)

Si para una homotecia con centro${\displaystyle S}$la imagen${\displaystyle Q_{1}}$de un punto${\displaystyle P_{1}}$Se da (ver diagrama) y luego la imagen${\displaystyle Q_{2}}$de un segundo punto${\displaystyle P_{2}}$⁠ , que no está en línea${\displaystyle SP_{1}}$ se puede construir gráficamente utilizando el teorema de la intersección :${\displaystyle Q_{2}}$es el punto común de dos líneas${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$y​${\displaystyle {\overline {SP_{2}}}}$⁠ . La imagen de un punto colineal con${\displaystyle P_{1},Q_{1}}$se puede determinar usando${\displaystyle P_{2},Q_{2}}$⁠ .

Composición

Composición de dos homotecias con el mismo centro

La composición de dos homotecias con el mismo centro${\displaystyle S}$es de nuevo una homotecia con centro ⁠${\displaystyle S}$⁠ . Las homotecias con centro${\displaystyle S}$formen un grupo .

Composición de dos homotecias con centros diferentes

La composición de dos homotecias con centros diferentes${\displaystyle S_{1},S_{2}}$y sus proporciones${\displaystyle k_{1},k_{2}}$es:

• para${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$, una homotecia con su centro en la línea${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$y proporción${\displaystyle k_{1}k_{2}}$; o
• para${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$, una traducción en dirección${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$⁠ . Especialmente si${\displaystyle k_{1}=k_{2}=-1}$( reflexiones puntuales ).

Derivación

Para la composición${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}}$de las dos homotecias${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$con centros${\displaystyle S_{1},S_{2}}$con $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}:\mathbf {x} &\to \mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1}),\\\sigma _{2}:\mathbf {x} &\to \mathbf {s} _{2}+k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{2})\end{aligned}}}$$ se obtiene mediante cálculo para la imagen del punto${\displaystyle X:\mathbf {x} }$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(\sigma _{2}\sigma _{1})(\mathbf {x} )&=\mathbf {s} _{2}+k_{2}{\big (}\mathbf {s} _{1}+k_{1}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{1})-\mathbf {s} _{2}{\big )}\\&=(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}+k_{1}k_{2}\mathbf {x} .\end{aligned}}}$$ Por lo tanto, la composición es

• en caso de${\displaystyle k_{1}k_{2}=1}$, una traducción en dirección${\displaystyle {\overrightarrow {S_{1}S_{2}}}}$por vector${\displaystyle (1-k_{2})(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$;​
• en caso de${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 1}$punto $${\displaystyle S_{3}:\mathbf {s} _{3}={\frac {(1-k_{1})k_{2}\mathbf {s} _{1}+(1-k_{2})\mathbf {s} _{2}}{1-k_{1}k_{2}}}=\mathbf {s} _{1}+{\frac {1-k_{2}}{1-k_{1}k_{2}}}(\mathbf {s} _{2}-\mathbf {s} _{1})}$$ es un punto fijo (no se mueve) y la composición $${\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{1}:\ \mathbf {x} \to \mathbf {s} _{3}+k_{1}k_{2}(\mathbf {x} -\mathbf {s} _{3})}$$ es una homotecia con centro${\displaystyle S_{3}}$y proporción${\displaystyle k_{1}k_{2}}$.${\displaystyle S_{3}}$mentiras en línea${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$⁠ .

Composición de una homotecia y una traducción

La composición de una homotecia y una traslación es una homotecia.

Derivación

La composición de la homotecia $${\displaystyle \sigma$$ :\mathbf {x} \to \mathbf {s} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} ),\;k\neq 1,} y la traducción $${\displaystyle \tau$$ :\mathbf {x} \to \mathbf {x} +\mathbf {v} } es $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau \sigma$$ :\mathbf {x} &\to \mathbf {s} +\mathbf {v} +k(\mathbf {x} -\mathbf {s} )\\&=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}+k\left(\mathbf {x} -\left(\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}\right)\right)\end{aligned}}} que es una homotecia con centro${\textstyle \mathbf {s} '=\mathbf {s} +{\frac {\mathbf {v} }{1-k}}}$y proporción${\displaystyle k}$⁠ .

• Escalamiento (geometría): una noción similar en espacios vectoriales.
• Centro homotético , el centro de una transformación homotética que transforma una de las figuras de un par en la otra.
• La conjetura de Hadwiger sobre el número de copias homotéticas estrictamente más pequeñas de un cuerpo convexo que pueden ser necesarias para cubrirlo.
• Función homotética (economía) , una función de la forma f ( U ( y )) en la que U es una función homogénea y f es una función monótonamente creciente .
• Teorema de Menelao#Una demostración mediante homotecias

• Coxeter, HSM (1961), "Introducción a la geometría", Wiley, pág.  94
• Hadamard, J. (1906), "V: Homothétie et Similtude" [ V: Homothety and Similitud ] , Leçons de Géométrie élémentaire. I: Plano Géométrie [ Lecciones de Geometría Elemental. I: Geometría plana ] (en francés) (2ª  ed.), París: Armand Colin
• Meserve, Bruce E. ( 1955), "Transformaciones homotéticas", Conceptos fundamentales de geometría , Addison-Wesley , págs. 166–169 
• Tuller, Annita (1967), Una introducción moderna a las geometrías , Serie universitaria de matemáticas para estudiantes de pregrado, Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Co.

• Homotetia , miniaplicación interactiva de Cut-the-Knot .