fibrado vectorial holomorfo

En matemáticas , un fibrado vectorial holomorfo es un fibrado vectorial complejo sobre una variedad compleja X tal que el espacio total E es una variedad compleja y la proyección π  : E → X es holomorfa . Ejemplos fundamentales son el fibrado tangente holomorfo de una variedad compleja y su dual, el fibrado cotangente holomorfo . Un fibrado lineal holomorfo es un fibrado vectorial holomorfo de rango uno.

Según la GAGA de Serre , la categoría de haces vectoriales holomorfos en una variedad proyectiva compleja lisa X (vista como una variedad compleja) es equivalente a la categoría de haces vectoriales algebraicos (es decir, haces localmente libres de rango finito) en X.

Específicamente, se requiere que los mapas de trivialización

${\displaystyle \phi _{U}:\pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}}$

son mapas biholomorfos . Esto es equivalente a exigir que las funciones de transición

${\displaystyle t_{UV}:U\cap V\to \mathrm {GL} _{k}(\mathbf {C} )}$

son aplicaciones holomorfas. La estructura holomorfa en el fibrado tangente de una variedad compleja está garantizada por la observación de que la derivada (en el sentido apropiado) de una función holomorfa con valores vectoriales es también holomorfa.

Sea E un fibrado vectorial holomorfo. Una sección local s  : U → E | _U se denomina holomorfa si, en un entorno de cada punto de U , es holomorfa en alguna (o equivalentemente cualquier) trivialización.

Esta condición es local, lo que significa que las secciones holomorfas forman un haz en X. Este haz a veces se denota${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$o de forma abusiva por E. Dicho haz es siempre localmente libre y del mismo rango que el rango del fibrado vectorial. Si E es el fibrado lineal trivial${\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }},}$entonces este haz coincide con el haz de estructura${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$de la variedad compleja X .

Hay paquetes de líneas${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$encima${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$cuyas secciones globales corresponden a polinomios homogéneos de grado${\displaystyle k}$(para${\displaystyle k}$un número entero positivo). En particular,${\displaystyle k=0}$corresponde al fibrado de líneas trivial . Si tomamos el recubrimiento por los conjuntos abiertos${\displaystyle U_{i}=\{[x_{0}:\cdots :x_{n}]:x_{i}\neq 0\}}$entonces podremos encontrar gráficos${\displaystyle \phi _{i}:U_{i}\to \mathbb {C} ^{n}}$definido por

${\displaystyle \phi _{i}([x_{0}:\cdots :x_{i}:\cdots :x_{n}])=\left({\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{i-1}}{x_{i}}},{\frac {x_{i+1}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}\right)=\mathbb {C} _{i}^{n}}$

Podemos construir funciones de transición${\displaystyle \phi _{ij}|_{U_{i}\cap U_{j}}:\mathbb {C} _{i}^{n}\cap \phi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \mathbb {C} _{j}^{n}\cap \phi _{j}(U_{i}\cap U_{j})}$definido por

${\displaystyle \phi _{ij}=\phi _{i}\circ \phi _{j}^{-1}(z_{1},\ldots ,z_{n})=\left({\frac {z_{1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{i-1}}{z_{i}}},{\frac {z_{i+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{j}}{z_{i}}},{\frac {1}{z_{i}}},{\frac {z_{j+1}}{z_{i}}},\ldots ,{\frac {z_{n}}{z_{i}}}\right)}$

Ahora bien, si consideramos el fibrado trivial${\displaystyle L_{i}=\phi _{i}(U_{i})\times \mathbb {C} }$Podemos formar funciones de transición inducidas${\displaystyle \psi _{i,j}}$Si usamos la coordenada${\displaystyle z}$en la fibra, entonces podemos formar funciones de transición

${\displaystyle \psi _{i,j}((z_{1},\ldots ,z_{n}),z)=\left(\phi _{i,j}(z_{1},\ldots ,z_{n}),{\frac {z_{i}^{k}}{z_{j}^{k}}}\cdot z\right)}$

para cualquier número entero${\displaystyle k}$Cada uno de ellos está asociado a un haz de líneas.${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$Dado que los haces vectoriales necesariamente se retraen, cualquier subvariedad holomorfa${\displaystyle f:X\to \mathbb {CP} ^{n}}$tiene un paquete de líneas asociado${\displaystyle f^{*}({\mathcal {O}}(k))}$, a veces denotado${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)|_{X}}$.

Supongamos que E es un fibrado vectorial holomorfo. Entonces existe un operador distinguido.${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$definido de la siguiente manera. En una trivialización local${\displaystyle U_{\alpha }}$de E , con marco local${\ Displaystyle e_ {1}, \ puntos, e_ {n}}$cualquier sección puede estar escrita${\displaystyle s=\sum _{i}s^{i}e_{i}}$para algunas funciones fluidas${\displaystyle s^{i}:U_{\alpha }\to \mathbb {C} }$. Defina un operador localmente mediante

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s):=\sum _{i}{\bar {\partial }}(s^{i})\otimes e_{i}}$

dónde${\displaystyle {\bar {\partial }}}$es el operador regular de Cauchy-Riemann de la variedad base. Este operador está bien definido en todo E porque en una superposición de dos trivializaciones${\ Displaystyle U _ {\ alpha}, U _ {\ beta}}$con función de transición holomorfa${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, si${\displaystyle s=s^{i}e_{i}={\tilde {s}}^{j}f_{j}}$dónde${\displaystyle f_{j}}$es un marco local para E en${\displaystyle U_{\beta }}$, entonces${\displaystyle s^{i}=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\tilde {s}}^{j}}$, y entonces

${\displaystyle {\bar {\partial }}(s^{i})=\sum _{j}(g_{\alpha \beta })_{j}^{i}{\bar {\partial }}({\tilde {s}}^{j})}$

porque las funciones de transición son holomorfas. Esto lleva a la siguiente definición: Un operador de Dolbeault en un fibrado vectorial complejo suave${\displaystyle E\to M}$es un${\displaystyle \mathbb {C} }$-operador lineal

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(M)\otimes \Gamma (E)}$

de tal manera que

• (Condición de Cauchy-Riemann)${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$,
• (Regla de Leibniz) Para cualquier sección${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$y función${\displaystyle f}$en${\displaystyle M}$, uno tiene

${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(fs)={\bar {\partial }}(f)\otimes s+f{\bar {\partial }}_{E}(s)}$.

Mediante una aplicación del teorema de Newlander-Nirenberg , se obtiene un recíproco a la construcción del operador de Dolbeault de un fibrado holomorfo: ^{[ 1 ]}

Teorema: Dado un operador de Dolbeault${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$sobre un fibrado vectorial complejo suave${\displaystyle E}$, existe una estructura holomorfa única en${\displaystyle E}$de tal manera que${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$es el operador de Dolbeault asociado, tal como se construyó anteriormente.

Con respecto a la estructura holomorfa inducida por un operador de Dolbeault${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$, una sección lisa${\displaystyle s\in \Gamma (E)}$es holomorfa si y solo si${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(s)=0}$Esto es similar, desde un punto de vista moral, a la definición de una variedad diferenciable o compleja como un espacio anillado . Es decir, basta con especificar qué funciones de una variedad topológica son diferenciables o complejas para dotarla de una estructura diferenciable o compleja.

El operador de Dolbeault tiene un inverso local en términos del operador de homotopía . ^{[ 2 ]}

Si${\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}}$denota el haz de formas diferenciales C ^∞ de tipo ( p , q ) , entonces el haz de formas de tipo ( p , q ) con valores en E se puede definir como el producto tensorial

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E.}$

Estos haces son finos , lo que significa que admiten particiones de la unidad . Una distinción fundamental entre los haces vectoriales suaves y holomorfos es que en estos últimos existe un operador diferencial canónico , dado por el operador de Dolbeault definido anteriormente:

${\displaystyle {\overline {\partial }}_{E}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E).}$

Si E es un fibrado vectorial holomorfo, la cohomología de E se define como la cohomología de haces de${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$. En particular, tenemos

${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),}$

el espacio de secciones holomorfas globales de E. También tenemos que${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))}$Parametriza el grupo de extensiones del fibrado lineal trivial de X por E , es decir, secuencias exactas de fibrados vectoriales holomorfos 0 → E → F → X × C → 0. Para la estructura del grupo, véase también la suma de Baer y la extensión de haces .

Según el teorema de Dolbeault , esta cohomología de haces puede describirse alternativamente como la cohomología del complejo de cadenas definido por los haces de formas con valores en el fibrado holomorfo.${\displaystyle E}$. Es decir, tenemos

${\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {O}}(E))=H^{i}(({\mathcal {E}}^{0,\bullet }(E),{\bar {\partial }}_{E})).}$

En el contexto de la geometría diferencial compleja , el grupo de Picard Pic( X ) de la variedad compleja X es el grupo de clases de isomorfismo de fibrados de líneas holomorfos con ley de grupo dada por el producto tensorial e inversión dada por la dualización. Se puede definir equivalentemente como el primer grupo de cohomología.${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$del haz de funciones holomorfas no nulas.

Sea E un fibrado vectorial holomorfo sobre una variedad compleja M y supongamos que existe una métrica hermitiana en E ; es decir, las fibras E _x están equipadas con productos internos <·,·> que varían suavemente. Entonces existe una única conexión ∇ en E que es compatible tanto con la estructura compleja como con la estructura métrica, llamada conexión de Chern ; es decir, ∇ es una conexión tal que

(1) Para cualesquiera secciones suaves s de E ,${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla s={\bar {\partial }}_{E}s}$donde π _0,1 toma el componente (0, 1) de una 1-forma con valores en E.

(2) Para cualesquiera secciones suaves s , t de E y un campo vectorial X en M ,

${\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle }$

donde escribimos${\displaystyle \nabla _{X}s}$para la contracción de${\displaystyle \nabla s}$por X. (Esto equivale a decir que el transporte paralelo por ∇ preserva la métrica <·,·>.)

En efecto, si u = ( e ₁ , …, e _n ) es un marco holomorfo, entonces sea${\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle }$y definimos ω _u mediante la ecuación${\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}}$, que escribimos de forma más sencilla como:

${\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.}$

Si u' = ug es otro marco con un cambio de base holomorfo g , entonces

${\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1},}$

y así ω es de hecho una forma de conexión , dando lugar a ∇ por ∇ s = ds + ω · s . Ahora bien, dado que${\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}}$,

${\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .}$

Es decir, ∇ es compatible con la estructura métrica. Finalmente, dado que ω es una forma (1, 0), el componente (0, 1) de${\displaystyle \nabla s}$es${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}s}$.

Dejar${\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$sea ​​la forma de curvatura de ∇. Dado que${\displaystyle \pi _{0,1}\nabla ={\bar {\partial }}_{E}}$Al elevarse a cero los cuadrados por definición de un operador de Dolbeault, Ω no tiene componente (0, 2) y, dado que se demuestra fácilmente que Ω es antihermítico, ^{[ 3 ]} tampoco tiene componente (2, 0). En consecuencia, Ω es una forma (1, 1) dada por

${\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}_{E}\omega .}$

La curvatura Ω aparece de manera prominente en los teoremas de anulación para cohomología superior de haces vectoriales holomorfos; por ejemplo, el teorema de anulación de Kodaira y el teorema de anulación de Nakano .

• Teorema de Birkhoff-Grothendieck
• Métrica de Quillen
• Dualidad de Serre

• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 
• "Fibra vectorial, analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]

• Principio de escisión para haces vectoriales holomorfos