Método de flujo de carga de incrustación holomorfa

El método de flujo de carga con incrustación holomorfa ( HELM ) ^{[ nota 1 ]} es un método de solución para las ecuaciones de flujo de potencia de los sistemas de energía eléctrica. Sus principales características son que es directo (es decir, no iterativo) y que garantiza matemáticamente una selección consistente de la rama operativa correcta del problema multivaluado, señalando además la condición de colapso de voltaje cuando no existe solución. Estas propiedades son relevantes no solo para la fiabilidad de las aplicaciones existentes fuera de línea y en tiempo real, sino también porque permiten nuevos tipos de herramientas analíticas que serían imposibles de construir con los métodos iterativos de flujo de carga existentes (debido a sus problemas de convergencia). Un ejemplo de esto serían las herramientas de apoyo a la toma de decisiones que proporcionan planes de acción validados en tiempo real.

El algoritmo de flujo de carga HELM fue inventado por Antonio Trias y cuenta con dos patentes estadounidenses. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se presentó una descripción detallada en la Reunión General de la IEEE PES de 2012 y posteriormente se publicó. ^{[ 3 ]} El método se basa en conceptos avanzados y resultados de análisis complejos , como la holomorfía , la teoría de curvas algebraicas y la continuación analítica . Sin embargo, la implementación numérica es bastante sencilla, ya que utiliza álgebra lineal estándar y la aproximación de Padé . Además, dado que la parte limitante del cálculo es la factorización de la matriz de admitancia y esto se realiza solo una vez, su rendimiento es competitivo con los flujos de carga rápidos y desacoplados ya establecidos. El método se implementa actualmente en aplicaciones EMS empaquetadas, tanto en tiempo real como fuera de línea, de nivel industrial .

El cálculo del flujo de carga es uno de los componentes más fundamentales en el análisis de sistemas de potencia y constituye la piedra angular de casi todas las demás herramientas utilizadas en la simulación y gestión de sistemas de potencia . Las ecuaciones de flujo de carga se pueden escribir de la siguiente forma general:

donde los parámetros (complejos) dados son la matriz de admitancia Y _ik , las admitancias en derivación de los buses Y _i ^sh , y las inyecciones de potencia de los buses S _i que representan cargas y generadores de potencia constante.

Para resolver este sistema no lineal de ecuaciones algebraicas, se desarrollaron algoritmos tradicionales de flujo de carga basados ​​en tres técnicas iterativas: el método de Gauss-Seidel , ^{[ 4 ]} que tiene propiedades de convergencia deficientes pero muy pocos requisitos de memoria y es sencillo de implementar; el método completo de Newton-Raphson ^{[ 5 ]} que tiene propiedades de convergencia iterativa rápida (cuadrática), pero es computacionalmente costoso; y el método de flujo de carga desacoplado rápido (FDLF), ^{[ 6 ]} que se basa en Newton-Raphson, pero reduce enormemente su costo computacional mediante una aproximación de desacoplamiento que es válida en la mayoría de las redes de transmisión. Existen muchas otras mejoras incrementales; sin embargo, la técnica subyacente en todas ellas sigue siendo un solucionador iterativo, ya sea de tipo Gauss-Seidel o de Newton. Hay dos problemas fundamentales con todos los esquemas iterativos de este tipo. Por un lado, no hay garantía de que la iteración siempre converja a una solución; Por otro lado, dado que el sistema tiene múltiples soluciones, ^{[ nota 2 ]} no es posible controlar cuál solución se seleccionará. A medida que el sistema de potencia se acerca al punto de colapso de voltaje, las soluciones espurias se acercan a la correcta, y el esquema iterativo puede ser fácilmente atraído a una de ellas debido al fenómeno de los fractales de Newton: cuando el método de Newton se aplica a funciones complejas, las cuencas de atracción para las diversas soluciones muestran un comportamiento fractal. ^{[ nota 3 ]} Como resultado, no importa cuán cerca esté el punto inicial elegido de las iteraciones (semilla) de la solución correcta, siempre hay alguna probabilidad no nula de desviarse a una solución diferente. Estos problemas fundamentales de los flujos de carga iterativos han sido ampliamente documentados. ^{[ 7 ]} Una ilustración simple para el modelo de dos barras se proporciona en ^{[ 8 ]} Aunque existen técnicas de continuación homotópica que alivian el problema en cierta medida, ^{[ 9 ]} la naturaleza fractal de las cuencas de atracción impide un método 100% confiable para todos los escenarios eléctricos.

La principal ventaja diferencial del HELM radica en su carácter totalmente determinista e inequívoco: garantiza que la solución siempre corresponda a la solución operativa correcta, cuando esta existe; e indica la inexistencia de la solución cuando las condiciones lo impiden (colapso de tensión). Además, el método es competitivo con el método FDNR en términos de coste computacional. Proporciona un tratamiento matemático sólido del problema del flujo de carga, ofreciendo nuevas perspectivas que no estaban disponibles con los métodos numéricos iterativos.

HELM se basa en una teoría matemática rigurosa y, en términos prácticos, podría resumirse de la siguiente manera:

1. Definir una incrustación específica (holomórfica) para las ecuaciones en términos de un parámetro complejo s , de tal manera que para s =0 el sistema tenga una solución correcta obvia, y para s =1 se recupere el problema original.
2. Dada esta incrustación holomorfa, ahora es posible calcular unívocamente series de potencias para voltajes como funciones analíticas de s . La solución correcta de flujo de carga en s = 1 se obtendrá mediante la continuación analítica de la solución correcta conocida en s = 0 .
3. Realice la continuación analítica utilizando aproximaciones algebraicas, que en este caso garantizan la convergencia a la solución si existe, o la no convergencia si la solución no existe (colapso de voltaje).

HELM ofrece una solución a un problema de larga data de todos los métodos iterativos de flujo de carga, a saber, la falta de fiabilidad de las iteraciones para encontrar la solución correcta (o cualquier solución).

Esto hace que HELM sea especialmente adecuado para aplicaciones en tiempo real y obligatorio para cualquier software de gestión de emergencias médicas basado en algoritmos exploratorios, como el análisis de contingencias, y que, en condiciones de alerta y emergencia, resuelva las violaciones de los límites operativos y la restauración, proporcionando orientación a través de planes de acción.

Para los fines de esta discusión, omitiremos el tratamiento de los controles, pero el método puede adaptarse a todo tipo de controles. Para las ecuaciones de restricción impuestas por estos controles, también debe definirse una incrustación holomorfa apropiada.

El método utiliza una técnica de incrustación mediante un parámetro complejo s . El primer ingrediente clave del método reside en requerir que la incrustación sea holomorfa, es decir, que el sistema de ecuaciones para voltajes V se convierta en un sistema de ecuaciones para funciones V(s) de tal manera que el nuevo sistema defina V(s) como funciones holomorfas (es decir, analíticas complejas) de la nueva variable compleja s . El objetivo es poder utilizar el proceso de continuación analítica que permitirá el cálculo de V(s) en s = 1. Observando las ecuaciones ( 1 ), una condición necesaria para que la incrustación sea holomorfa es que V ^* se reemplace bajo la incrustación con V ^* (s ^* ) , no con V ^* (s) . Esto se debe a que la conjugación compleja en sí misma no es una función holomorfa. Por otro lado, es fácil ver que el reemplazo V ^* (s ^* ) permite que las ecuaciones definan una función holomorfa V(s) . Sin embargo, para una incrustación arbitraria dada, aún queda por demostrar que V(s) es efectivamente holomorfa. Teniendo en cuenta todas estas consideraciones, se propone una incrustación de este tipo:

Con esta elección, en s = 0 los términos del lado derecho se anulan (siempre que el denominador no sea cero). Esto corresponde al caso en que todas las inyecciones son cero, y este caso tiene una solución operativa sencilla y bien conocida: todos los voltajes son iguales y todas las intensidades de flujo son cero. Por lo tanto, esta elección para la incrustación proporciona en s = 0 una solución operativa bien conocida.

Ahora, utilizando técnicas clásicas para la eliminación de variables en sistemas polinomiales ^{[ 10 ]} (resultados de la teoría de resultantes y base de Gröbner) , se puede demostrar que las ecuaciones ( 1 ) definen V(s) como funciones holomorfas. Más significativamente, definen V(s) como curvas algebraicas . Es este hecho específico, que se vuelve cierto porque la incrustación es holomorfa, lo que garantiza la unicidad del resultado. La solución en s = 0 determina de forma única la solución en todas partes (excepto en un número finito de cortes de rama), eliminando así la multivaluación del problema de flujo de carga.

La técnica para obtener los coeficientes para el desarrollo en serie de potencias (en s =0 ) de los voltajes V es bastante sencilla, una vez que uno se da cuenta de que las ecuaciones ( 2 ) se pueden usar para obtenerlos orden tras orden. Consideremos el desarrollo en serie de potencias para${\displaystyle \textstyle V(s)=\sum _ {n=0}^{\infty }a[n]s^{n}}$y${\displaystyle \textstyle 1/V(s)=\sum _ {n=0}^{\infty }b[n]s^{n}}$Sustituyendo en las ecuaciones ( 1 ) e identificando los términos de cada orden en s ⁿ , se obtiene:

Entonces es sencillo resolver la secuencia de sistemas lineales ( 2 ) sucesivamente orden tras orden, comenzando desde n = 0. Nótese que los coeficientes de las expansiones para V y 1/V están relacionados por las fórmulas de convolución simples derivadas de la siguiente identidad:

de modo que el lado derecho de ( 2 ) siempre se puede calcular a partir de la solución del sistema en el orden anterior. Nótese también cómo funciona el procedimiento resolviendo solo sistemas lineales , en los que la matriz permanece constante.

^{En la referencia [ 3 ]} se ofrece una discusión más detallada sobre este procedimiento.

Una vez calculadas las series de potencias en s = 0 hasta el orden deseado, el problema de calcularlas en s = 1 se convierte en un problema de continuación analítica . Cabe destacar que esto no guarda relación con las técnicas de continuación homotópica . La homotopía es potente, ya que solo utiliza el concepto de continuidad y, por lo tanto, es aplicable a sistemas no lineales suaves generales; sin embargo, no siempre proporciona un método fiable para aproximar las funciones (dado que se basa en esquemas iterativos como el de Newton-Raphson).

Se puede demostrar ^{[ 11 ]} que las curvas algebraicas son funciones analíticas globales completas , es decir, el conocimiento de la expansión en serie de potencias en un punto (el llamado germen de la función) determina de forma única la función en todo el plano complejo , excepto en un número finito de cortes de rama . El teorema del dominio extremal de Stahl ^{[ 12 ]} afirma además que existe un dominio máximo para la continuación analítica de la función, que corresponde a la elección de cortes de rama con medida de capacidad logarítmica mínima . En el caso de las curvas algebraicas, el número de cortes es finito, por lo que sería factible encontrar continuaciones máximas hallando la combinación de cortes con capacidad mínima. Para mejoras adicionales, el teorema de Stahl sobre la convergencia de las aproximaciones de Padé ^{[ 13 ]} establece que las aproximaciones diagonales y supradiagonales de Padé (o equivalentemente, las aproximaciones de fracción continua a la serie de potencias) convergen a la continuación analítica máxima. Los ceros y polos de las aproximantes se acumulan notablemente en el conjunto de cortes de rama que tienen capacidad mínima.

Estas propiedades confieren al método de flujo de carga la capacidad de detectar inequívocamente la condición de colapso de voltaje: se garantiza que las aproximaciones algebraicas convergerán a la solución si existe, o no convergerán si la solución no existe.

• Estudio de flujo de potencia
• Simulación de sistemas de potencia
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