La aritmética de los fines de Hilbert

En un plano hiperbólico , se puede definir un punto ideal o extremo como una clase de equivalencia de rayos paralelos límite . El conjunto de extremos se puede entonces topologizar de forma natural y forma un círculo. Este uso de extremo no es canónico; en particular, el concepto que indica es diferente del de un extremo topológico (véase Extremo (topología) y Extremo (teoría de grafos) ).

En el modelo del disco de Poincaré o modelo de Klein de la geometría hiperbólica, cada rayo interseca el círculo límite (también llamado círculo en el infinito o línea en el infinito ) en un único punto , y los extremos pueden identificarse con estos puntos. Sin embargo, los puntos del círculo límite no se consideran puntos del plano hiperbólico en sí. Toda línea hiperbólica tiene exactamente dos extremos distintos, y cada par de extremos distintos son los extremos de una única línea. Para los fines de la aritmética de Hilbert, es conveniente denotar una línea mediante el par ordenado ( a , b ) de sus extremos. 

La aritmética de Hilbert fija arbitrariamente tres extremos distintos y los etiqueta como 0, 1 e ∞. El conjunto H sobre el cual Hilbert define una estructura de cuerpo es el conjunto de todos los extremos distintos de ∞, mientras que H' denota el conjunto de todos los extremos que incluyen  ∞.

Hilbert define la suma de extremos usando reflexiones hiperbólicas . Para cada extremo x en H , su negación − x se define construyendo la reflexión hiperbólica de la línea ( x ,∞) a través de la línea (0,∞), y eligiendo − x como el extremo de la línea reflejada.

La composición de tres reflexiones hiperbólicas cualesquiera cuyos ejes de simetría comparten un extremo común es, a su vez, otra reflexión, a través de otra línea con el mismo extremo. Basándose en este "teorema de las tres reflexiones", dados dos extremos cualesquiera x e y en H , Hilbert define la suma x  + y como el extremo no infinito del eje de simetría de la composición de las tres reflexiones a través de las líneas ( x , ∞), (0, ∞) y ( y , ∞). 

De las propiedades de las reflexiones se deduce que estas operaciones tienen las propiedades requeridas de las operaciones de negación y suma en el álgebra de cuerpos: forman las operaciones inversa y de suma de un grupo abeliano aditivo .

La operación de multiplicación en la aritmética de extremos se define (para elementos distintos de cero x e y de H ) considerando las líneas (1,−1), ( x ,− x ) y ( y ,− y ). Debido a la forma en que −1, − x , y − y se definen por reflexión con respecto a la línea (0,∞), cada una de las tres líneas (1,−1), ( x ,− x ) y ( y ,− y ) es perpendicular a (0,∞).

A partir de estas tres líneas, se puede determinar una cuarta línea, el eje de simetría de la composición de las reflexiones que pasan por ( x ,− x ), (1,−1) y ( y ,− y ). Esta línea también es perpendicular a (0,∞), y por lo tanto toma la forma ( z ,− z ) para algún extremo z . Alternativamente, la intersección de esta línea con la línea (0,∞) se puede encontrar sumando las longitudes de los segmentos de línea desde el cruce con (1,−1) a los cruces de los otros dos puntos. Para exactamente una de las dos posibles elecciones para z , un número par de los cuatro elementos 1, x , y , y z se encuentran en el mismo lado de la línea (0,∞) que los demás. La suma x  + y se define como esta elección de z .  

Debido a que se puede definir sumando longitudes de segmentos de recta, esta operación satisface el requisito de una operación de multiplicación sobre un cuerpo: que forme un grupo abeliano sobre los elementos no nulos del cuerpo, con identidad uno. La operación inversa del grupo es la reflexión de un extremo sobre la recta (1,−1). También se puede demostrar que esta operación de multiplicación, junto con la operación de suma del cuerpo, cumple la propiedad distributiva .