Modelo lineal generalizado jerárquico

En un modelo jerárquico, las observaciones se agrupan en clústeres, y la distribución de una observación está determinada no solo por la estructura común entre todos los clústeres, sino también por la estructura específica del clúster al que pertenece esta observación. Por lo tanto, se introduce en el modelo un componente de efecto aleatorio, diferente para cada clúster.${\displaystyle y}$ser la respuesta,${\displaystyle u}$sea ​​el efecto aleatorio,${\displaystyle g}$ser la función de enlace,${\displaystyle \eta =X\beta }$, y${\displaystyle v=v(u)}$es alguna función estrictamente monótona de${\displaystyle u}$. En un modelo lineal generalizado jerárquico, la suposición sobre${\displaystyle y|u}$y${\displaystyle u}$deben hacerse: ^{[ 2 ]}${\displaystyle y\mid u\sim \ f(\theta,\,\phi)}$y${\displaystyle u\sim \ f_{u}(\alpha).}$

El predictor lineal tiene la siguiente forma:

${\displaystyle g(E(y))=g(\mu )=\eta =X\beta +v\,}$

dónde${\displaystyle g}$es la función de enlace,${\displaystyle \mu =E(y)}$, ${\displaystyle \eta =X\beta +v}$, y${\displaystyle v=v(u)}$es una función monótona de${\displaystyle u}$En este modelo lineal generalizado jerárquico, el efecto fijo se describe mediante${\displaystyle \beta }$, que es el mismo para todas las observaciones. El componente aleatorio${\displaystyle u}$no se observa y varía aleatoriamente entre los grupos. Por lo tanto,${\displaystyle v}$toma el mismo valor para las observaciones en el mismo clúster y valores diferentes para las observaciones en clústeres diferentes. ^{[ 3 ]}

La identificabilidad es un concepto en estadística . Para realizar la inferencia de parámetros, es necesario asegurarse de que se cumpla la propiedad de identificabilidad. ^{[ 4 ]} En el modelo mencionado anteriormente, la ubicación de v no es identificable, ya que

${\displaystyle X\beta +v=(X\beta +a)+(va)\,}$

para constante${\displaystyle a}$. ^{[ 2 ]} Para que el modelo sea identificable, necesitamos imponer restricciones a los parámetros. La restricción se suele imponer a los efectos aleatorios, como${\displaystyle E(v)=0}$. ^{[ 2 ]}

Al asumir diferentes distribuciones de${\displaystyle y\mid u}$ y${\displaystyle u}$y utilizando diferentes funciones de${\displaystyle g}$y '${\displaystyle v}$, podremos obtener diferentes modelos. Además, el modelo lineal generalizado mixto (GLMM) es un caso especial del modelo lineal generalizado jerárquico. En los modelos lineales generalizados jerárquicos, las distribuciones del efecto aleatorio${\displaystyle u}$no necesariamente siguen una distribución normal . Si la distribución de${\displaystyle u}$es normal y la función de enlace de${\displaystyle v}$Si la función identidad es , entonces el modelo lineal generalizado jerárquico es lo mismo que GLMM. ^{[ 2 ]}

Distribuciones de${\displaystyle y\mid u}$y${\displaystyle u}$También se puede elegir que sean conjugados, ya que se mantienen buenas propiedades y es más fácil para el cálculo y la interpretación. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, si la distribución de${\displaystyle y\mid u}$es Poisson con cierta media, la distribución de${\displaystyle u}$es Gamma y se utiliza el enlace logarítmico canónico, entonces llamamos al modelo modelos lineales generalizados jerárquicos conjugados de Poisson. Si${\displaystyle y\mid u}$sigue una distribución binomial con cierta media,${\displaystyle u}$Si tiene la distribución beta conjugada y se utiliza la función de enlace logit canónica, entonces llamamos al modelo modelo beta conjugado. Además, el modelo lineal mixto es el modelo lineal generalizado jerárquico conjugado normal. ^{[ 2 ]}

Un resumen de los modelos comúnmente utilizados son: ^{[ 5 ]}

Por ejemplo, este método se utilizó para analizar la fabricación de semiconductores, ya que los procesos interrelacionados forman una jerarquía compleja. ^{[ 6 ]} La fabricación de semiconductores es un proceso complejo que requiere diferentes procesos interrelacionados. ^{[ 7 ]} El modelo lineal generalizado jerárquico, que requiere datos agrupados, es capaz de abordar procesos complejos. Los ingenieros pueden utilizar este modelo para descubrir y analizar subprocesos importantes y, al mismo tiempo, evaluar la influencia de estos subprocesos en el rendimiento final. ^{[ 6 ]}

Los problemas de investigación de mercado también pueden analizarse utilizando modelos lineales generalizados jerárquicos. Los investigadores aplicaron el modelo a consumidores dentro de países para resolver problemas en la estructura de datos anidados en la investigación de marketing internacional. ^{[ 8 ]}