Panal de abeja con revestimiento hexagonal

En el campo de la geometría hiperbólica , el panal de abejas de teselación hexagonal es uno de los 11 panales de abejas paracompactos regulares en el espacio hiperbólico tridimensional . Es paracompacto porque tiene celdas compuestas por un número infinito de caras. Cada celda es una teselación hexagonal cuyos vértices se encuentran en una horosfera , una superficie en el espacio hiperbólico que se aproxima a un único punto ideal en el infinito.

El símbolo de Schläfli del panal de teselación hexagonal es {6,3,3}. Como el del teselación hexagonal es {6,3}, este panal tiene tres teselación hexagonal que se encuentran en cada arista. Como el símbolo de Schläfli del tetraedro es {3,3}, la figura del vértice de este panal es un tetraedro. Por lo tanto, cuatro teselación hexagonal se encuentran en cada vértice de este panal, seis hexágonos se encuentran en cada vértice y cuatro aristas se encuentran en cada vértice. ^[1]

Vista en perspectiva fuera de un modelo de disco de Poincaré , la imagen de arriba muestra una celda de mosaico hexagonal dentro del panal y su horósfera de radio medio (la horósfera incidente con los puntos medios de las aristas). En esta proyección, los hexágonos se hacen infinitamente pequeños hacia el límite infinito, y se mueven asintóticamente hacia un único punto ideal. Puede verse como similar al mosaico apeirogonal de orden 3 , {∞,3} de H ² , con horociclos que circunscriben los vértices de las caras apeirogonales .

Tiene un total de cinco construcciones reflexivas de cinco grupos de Coxeter relacionados, todos con cuatro espejos y siendo solo el primero regular:[6,3,3],[3,6,3],[6,3,6],[6,3 ^[3] ] y [3 ^[3,3] ], que tienen dominios fundamentales 1, 4, 6, 12 y 24 veces más grandes respectivamente . En los marcados de subgrupos de notación de Coxeter , se relacionan como: [6,(3,3) ^* ] (eliminar 3 espejos, índice 24 subgrupo); [3,6,3 ^* ] o [3 ^* ,6,3] (eliminar 2 espejos, índice 6 subgrupo); [1 ⁺ ,6,3,6,1 ⁺ ] (eliminar dos espejos ortogonales, índice 4 subgrupo); todos estos son isomorfos a [3 ^[3,3] ]. Los diagramas de Coxeter en anillo son,,,y, que representan diferentes tipos (colores) de mosaicos hexagonales en la construcción de Wythoff .

El panal de abejas con teselas hexagonales es un panal hiperbólico regular en el espacio tridimensional y uno de los 11 que son paracompactos.

Es uno de los 15 panales paracompactos uniformes del grupo Coxeter [6,3,3], junto con su dual, el panal tetraédrico de orden 6 .

Es parte de una secuencia de policoros regulares , que incluyen el teseracto de 5 celdas {3,3,3 }, y el teseracto de 120 celdas {5,3,3} del 4-espacio euclidiano, junto con otros panales hiperbólicos que contienen figuras de vértices tetraédricos .

También forma parte de una secuencia de panales regulares de la forma {6,3,p}, cada uno de los cuales está compuesto por celdas de teselación hexagonal :

El panal de abejas de teselación hexagonal rectificada , t ₁ {6,3,3},tiene facetas de teselación tetraédricas y trihexagonales , con una figura de vértice de prisma triangular .La construcción de semisimetría alterna dos tipos de tetraedros.

El panal de abeja de teselación hexagonal truncada , t _0,1 {6,3,3},tiene facetas de teselaciones tetraédricas y hexagonales truncadas , con figura de vértice de pirámide triangular .

Es similar al teselado apeirogonal de orden 3 truncado hiperbólico 2D , t{∞,3} con caras apeirogonales y triangulares:

El panal de abejas de teselación hexagonal bitruncado o panal de abejas tetraédrico de orden 6 bitruncado , t _1,2 {6,3,3},tiene celdas en teselaciones hexagonales y tetraedro truncado , con figura de vértice dienoide digonal .

El panal de abeja con teselación hexagonal cantelada , t _0,2 {6,3,3},tiene celdas octaédricas , rombitrihexagonales y prismáticas triangulares , con una figura de vértice en cuña .

El panal de abeja de teselación hexagonal truncada , t _0,1,2 {6,3,3},tiene un tetraedro truncado , un mosaico trihexagonal truncado y celdas prismáticas triangulares , con una figura de vértice esfenoidal reflejada .

El panal de abejas de teselación hexagonal ranurada , t _0,3 {6,3,3},tiene celdas de tetraedro , teselación hexagonal , prisma hexagonal y prisma triangular , con una figura de vértice de antiprisma triangular irregular .

El panal de abejas de teselación hexagonal truncada , t _0,1,3 {6,3,3},tiene celdas de teselación cuboctaedro , prisma triangular , prisma dodecagonal y hexagonales truncados , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .

El panal de abejas de teselación hexagonal runcicantelada o panal de abejas tetraédrico runcitruncado de orden 6 , t _0,2,3 {6,3,3},tiene celdas de teselación tetraédrica truncada , prisma hexagonal y rombitrihexagonal , con una figura de vértice de pirámide trapezoidal isósceles .

El panal de abejas de teselación hexagonal omnitruncado o panal de abejas tetraédrico omnitruncado de orden 6 , t _0,1,2,3 {6,3,3},tiene celdas de teselación de octaedro truncado , prisma hexagonal , prisma dodecagonal y trihexagonales truncados , con una figura de vértice de tetraedro irregular .

• Panales convexos uniformes en el espacio hiperbólico
• Teselaciones regulares del espacio tridimensional hiperbólico
• Panales de abejas uniformes paracompactos
• Panal de abeja con mosaico hexagonal alternado

• Coxeter , Regular Polytopes , 3.ª ed., Dover Publications, 1973. ISBN  0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos regulares y panales, págs. 294-296)
• La belleza de la geometría: doce ensayos (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico Archivado el 10 de junio de 2016 en Wayback Machine ) Tabla III 
• Jeffrey R. Weeks La forma del espacio, 2.ª edición ISBN 0-8247-0709-5 (Capítulos 16-17: Geometrías sobre tres variedades I, II) 
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, El tamaño de un símplex hiperbólico de Coxeter , Transformation Groups (1999), Volumen 4, Número 4, págs. 329–353 [1] [2]
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Clases de conmensurabilidad de grupos hiperbólicos de Coxeter , (2002) H ³ : pág. 130. [3]

• John Baez , Visual Insight : {6,3,3} Panal (15/03/2014)
• John Baez , Visual Insight : {6,3,3} Panal en la mitad superior del espacio (15/09/2013)
• John Baez , Visual Insight : Panal truncado {6,3,3} (1 de diciembre de 2016)