Teorema de Hasse sobre curvas elípticas

El teorema de Hasse sobre curvas elípticas , también conocido como cota de Hasse, proporciona una estimación del número de puntos en una curva elíptica sobre un campo finito , limitando el valor tanto por encima como por debajo.

Si N es el número de puntos en la curva elíptica E sobre un campo finito con q elementos, entonces el resultado de Hasse establece que

${\displaystyle |N-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}.}$

La razón es que N difiere de q + 1, el número de puntos de la línea proyectiva sobre el mismo campo, por un "término de error" que es la suma de dos números complejos , cada uno con valor absoluto.${\displaystyle {\sqrt {q}}.}$

Este resultado fue conjeturado originalmente por Emil Artin en su tesis. ^{[ 1 ]} Hasse lo demostró en 1933, y la demostración se publicó en una serie de artículos en 1936. ^{[ 2 ]}

El teorema de Hasse equivale a determinar el valor absoluto de las raíces de la función zeta local de E. En esta forma, puede considerarse el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de funciones asociado a la curva elíptica.

Una generalización de la cota de Hasse a curvas algebraicas de género superior es la cota de Hasse-Weil. Esta proporciona una cota para el número de puntos en una curva sobre un cuerpo finito. Si el número de puntos en la curva C de género g sobre el cuerpo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$de orden q es${\displaystyle \#C(\mathbb {F} _{q})}$, entonces

${\displaystyle |\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leq 2g{\sqrt {q}}.}$

Este resultado es nuevamente equivalente a la determinación del valor absoluto de las raíces de la función zeta local de C , y es el análogo de la hipótesis de Riemann para el campo de funciones asociado con la curva.

La cota de Hasse-Weil se reduce a la cota de Hasse habitual cuando se aplica a curvas elípticas, que tienen género g=1 .

La cota de Hasse-Weil es una consecuencia de las conjeturas de Weil , propuestas originalmente por André Weil en 1949 y demostradas por André Weil en el caso de curvas. ^{[ 3 ]}

• Conjetura de Sato-Tate
• El algoritmo de Schoof
• El límite de Weil

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