Gama media

En estadística , el rango medio o extremo medio es una medida de tendencia central de una muestra definida como la media aritmética de los valores máximo y mínimo del conjunto de datos : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle M={\frac {\max x+\min x}{2}}.}$

El rango medio está estrechamente relacionado con el rango , una medida de dispersión estadística definida como la diferencia entre los valores máximo y mínimo. Ambas medidas son complementarias, ya que si se conocen el rango medio y el rango, se pueden hallar los valores máximo y mínimo de la muestra.

El rango medio rara vez se utiliza en el análisis estadístico práctico, ya que carece de eficiencia como estimador para la mayoría de las distribuciones de interés, al ignorar todos los puntos intermedios, y carece de robustez , puesto que los valores atípicos lo modifican significativamente. De hecho, para muchas distribuciones es uno de los estadísticos menos eficientes y menos robustos. Sin embargo, tiene cierta utilidad en casos especiales: es el estimador más eficiente para el centro de una distribución uniforme, los rangos medios recortados mejoran la robustez y, como estimador L , es sencillo de comprender y calcular.

El rango medio es muy sensible a los valores atípicos e ignora todos los puntos de datos excepto dos. Por lo tanto, es una estadística muy poco robusta , con un punto de ruptura de 0, lo que significa que una sola observación puede cambiarla arbitrariamente. Además, está muy influenciada por los valores atípicos: aumentar el máximo de la muestra o disminuir el mínimo de la muestra en x cambia el rango medio en${\displaystyle x/2,}$mientras que cambia la media de la muestra, que también tiene un punto de ruptura de 0, en solo${\displaystyle x/n.}$Por lo tanto, resulta de poca utilidad en la estadística práctica, a menos que ya se hayan tenido en cuenta los valores atípicos.

Un rango medio recortado se conoce comoEl rango medio recortado aln% es el promedio de lospercentilesn% y (100−npunto de rupturadeln%. En el medio de estos se encuentra elpunto medio de inflexión, que corresponde al 25 % del rango medio. Lamedianapuede interpretarse como el rango medio completamente recortado (50 %); esto concuerda con la convención de que la mediana de un número par de puntos es la media de los dos puntos centrales.

Estos rangos medios recortados también son de interés como estadísticas descriptivas o como estimadores L de la posición central o asimetría : las diferencias de los resúmenes medios, como el punto medio de bisagra menos la mediana, proporcionan medidas de asimetría en diferentes puntos de la cola. ^{[ 2 ]}

A pesar de sus inconvenientes, en algunos casos resulta útil: el rango medio es un estimador muy eficiente de μ, dada una muestra pequeña de una distribución suficientemente platicúrtica , pero es ineficiente para distribuciones mesocúrticas , como la normal.

Por ejemplo, para una distribución uniforme continua con máximo y mínimo desconocidos, el rango medio es el estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVU) para la media. El máximo y el mínimo de la muestra, junto con el tamaño de la muestra, constituyen una estadística suficiente para el máximo y el mínimo de la población; la distribución de otras muestras, condicionada a un máximo y un mínimo dados, es simplemente la distribución uniforme entre el máximo y el mínimo y, por lo tanto, no aporta información adicional. Véase el problema del tanque alemán para un análisis más detallado. Así pues, el rango medio, que es un estimador insesgado y suficiente de la media poblacional, es de hecho el UMVU: el uso de la media muestral solo añade ruido debido a la distribución poco informativa de los puntos dentro de este rango.

Por el contrario, para la distribución normal, la media muestral es el estimador UMVU de la media. Así, para las distribuciones platicúrticas, que a menudo pueden considerarse como intermedias entre una distribución uniforme y una distribución normal, la capacidad informativa de los puntos medios de la muestra frente a los valores extremos varía de "igual" para la distribución normal a "poco informativa" para la distribución uniforme, y para diferentes distribuciones, una u otra (o alguna combinación de ellas) puede ser la más eficiente. Un análogo robusto es la trimeana , que promedia el punto medio (rango medio recortado al 25 %) y la mediana.

Para una muestra de tamaño n de la distribución normal estándar , el rango medio M es insesgado y tiene una varianza dada por: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{24\ln(n)}}.}$

Para una muestra de tamaño n de la distribución de Laplace estándar , el rango medio M es insesgado y tiene una varianza dada por: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

y, en particular, la varianza no disminuye a cero a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

Para una muestra de tamaño n de una distribución uniforme centrada en cero , el rango medio M es insesgado, nM tiene una distribución asintótica que es una distribución de Laplace . ^{[ 7 ]}

Mientras que la media de un conjunto de valores minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones y la mediana minimiza la desviación absoluta media , el rango medio minimiza la desviación máxima (definida como${\displaystyle \max \left|x_{i}-m\right|}$): es una solución a un problema variacional .

• Rango (estadísticas)
• Bisagra central