La secuencia de Gould

La sucesión de Gould es una sucesión de enteros que lleva el nombre de Henry W. Gould y que cuenta cuántos números impares hay en cada fila del triángulo de Pascal . Consta únicamente de potencias de dos y comienza: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, ... (secuencia A001316 en el OEIS )

Por ejemplo, el sexto número de la secuencia es 4, porque hay cuatro números impares en la sexta fila del triángulo de Pascal (los cuatro números en negrita de la secuencia 1 , 5 , 10, 10, 5 , 1 ). La secuencia de Gould también es una secuencia fractal .

El n -ésimo valor de la secuencia (que comienza en n = 0 ) da la mayor potencia de 2 que divide al coeficiente binomial central.${\displaystyle {\tbinom {2n}{n}}}$y da el numerador de${\displaystyle 2^{n}/n!}$(expresado como una fracción en su mínima expresión). ^{[ 1 ]}

La secuencia de Gould también proporciona el número de células vivas en la n -ésima generación del autómata celular de la Regla 90, partiendo de una sola célula viva. ^{[ 1 ] [ 3 ]} Tiene una característica forma de sierra creciente que puede utilizarse para reconocer procesos físicos que se comportan de forma similar a la Regla 90. ^{[ 4 ]}

Los logaritmos binarios (exponentes en potencias de dos) de la secuencia de Gould forman ellos mismos una secuencia de enteros,

0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ... (secuencia A000120 en el OEIS )

en el que el n -ésimo valor da el número de bits distintos de cero en la representación binaria del número n , a veces escrito en notación matemática como${\displaystyle \#_{1}(n)}$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} De forma equivalente, el n -ésimo valor en la secuencia de Gould es

${\displaystyle 2^{\#_{1}(n)}.}$

Tomando la secuencia de exponentes módulo dos se obtiene la secuencia de Thue-Morse . ^{[ 5 ]}

Las sumas parciales de la secuencia de Gould,

0, 1, 3, 5, 9, 11, 15, 19, 27, 29, 33, 37, 45, ... (secuencia A006046 en el OEIS )

cuenta todos los números impares en las primeras n filas del triángulo de Pascal. Estos números crecen proporcionalmente a${\displaystyle n^{\log _{2}3}\approx n^{1.585}}$, pero con una constante de proporcionalidad que oscila entre 0,812556... y 1, periódicamente en función de log n . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

Los primeros 2i ^{valores de la} secuencia de Gould se pueden construir construyendo recursivamente los primeros 2i ^{− 1} valores y luego concatenando los dobles de ^estos . Por ejemplo, al concatenar los primeros cuatro valores 1, 2 ^{, 2, 4 con sus dobles 2, 4, 4, 8} se obtienen los primeros ocho valores. Debido a esta construcción por duplicación, la primera aparición de cada potencia de dos ²ⁱ en esta secuencia se encuentra en la posición 2i ⁻ 1. ^{[ 1} ]

La secuencia de Gould, la secuencia de sus exponentes y la secuencia de Thue-Morse son todas autosimilares : tienen la propiedad de que la subsecuencia de valores en posiciones pares en toda la secuencia es igual a la secuencia original, una propiedad que también comparten con algunas otras secuencias como la secuencia diatómica de Stern . ^{[ 3 ] [ 8 ] [ 9 ]} En la secuencia de Gould, los valores en posiciones impares son el doble de sus predecesores, mientras que en la secuencia de exponentes, los valores en posiciones impares son uno más sus predecesores.

La secuencia recibe su nombre de Henry W. Gould , quien la estudió a principios de la década de 1960. Sin embargo, el hecho de que estos números sean potencias de dos, con el exponente del enésimo número igual al número de unos en la representación binaria de n , ya era conocido por JWL Glaisher en 1899. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Demostrar que los números en la secuencia de Gould son potencias de dos fue un problema planteado en la Competencia Matemática William Lowell Putnam de 1956. ^{[ 12 ]}