Coeficiente binomial central

En matemáticas, el n -ésimo coeficiente binomial central es el coeficiente binomial particular.

${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}{\text{ para todo }}n\geq 0.}$

Se denominan centrales porque aparecen exactamente en el centro de las filas pares del triángulo de Pascal . Los primeros coeficientes binomiales centrales, comenzando en n = 0, son:

1 , 2 , 6 , 20 , 70 , 252 , 924, 3432, 12870, 48620, ...; (secuencia A000984 en el OEIS )

El coeficiente binomial central${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$es el número de arreglos donde hay un número igual de dos tipos de objetos. Por ejemplo, cuando${\displaystyle n=2}$, el coeficiente binomial${\displaystyle {\binom {2\cdot 2}{2}}}$es igual a 6, y hay seis disposiciones de dos copias de A y dos copias de B : AABB , ABAB , ABBA , BAAB , BABA , BBAA .

El mismo coeficiente binomial central${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$También es el número de palabras de longitud 2 n formadas por A y B dentro de las cuales, al leer de izquierda a derecha, nunca hay más B que A en ningún punto. Por ejemplo, cuando${\displaystyle n=2}$, hay seis palabras de longitud 4 en las que cada prefijo tiene al menos tantas copias de A como de B : AAAA , AAAB , AABA , AABB , ABAA , ABAB .

El número de factores de 2 en${\displaystyle {\binom {2n}{n}}}$es igual al número de 1s en la representación binaria de n . ^{[ 1 ]} En consecuencia, 1 es el único coeficiente binomial central impar.

La función generadora ordinaria para los coeficientes binomiales centrales es $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots .}$$ Esto se puede demostrar utilizando la serie binomial y la relación $${\displaystyle {\binom {2n}{n}}=(-1)^{n}4^{n}{\binom {-1/2}{n}},}$$ dónde${\displaystyle \textstyle {\binom {-1/2}{n}}}$es un coeficiente binomial generalizado . ^{[ 2 ]}

Los coeficientes binomiales centrales tienen una función generadora exponencial.$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{2x}I_{0}(2x),}$$ donde I ₀ es una función de Bessel modificada de primer tipo . ^{[ 3 ]}

La función generadora de los cuadrados de los coeficientes binomiales centrales se puede escribir en términos de la integral elíptica completa de primera especie : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}^{2}x^{n}={\frac {2}{\pi }}K(4{\sqrt {x}}).}$

El comportamiento asintótico se puede describir con bastante precisión: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {2n \choose n}={\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\left(1-{\frac {1}{8n}}+{\frac {1}{128n^{2}}}+{\frac {5}{1024n^{3}}}+O(n^{-4})\right).}$$

Los números catalanes C _n, estrechamente relacionados , vienen dados por:

${\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}={2n \choose n}-{2n \choose n+1}{\text{ para todo }}n\geq 0.}$

Una ligera generalización de los coeficientes binomiales centrales consiste en tomarlos como ${\displaystyle {\frac {\Gamma (2n+1)}{\Gamma (n+1)^{2}}}={\frac {1}{n\mathrm {B} (n+1,n)}}}$, con números reales apropiados n , donde${\displaystyle \Gamma (x)}$es la función gamma y${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$es la función beta .

Las potencias de dos que dividen los coeficientes binomiales centrales vienen dadas por la secuencia de Gould , cuyo n- ésimo elemento es el número de enteros impares en la fila n del triángulo de Pascal.

Elevar al cuadrado la función generadora da como resultado $${\displaystyle {\frac {1}{1-4x}}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}x^{n}\right).}$$ Comparando los coeficientes de${\displaystyle x^{n}}$da $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{nk}}=4^{n}.}$$ Por ejemplo,${\displaystyle 64=1(20)+2(6)+6(2)+20(1)}$(secuencia A000302 en el OEIS ) .

El número de caminos reticulares de longitud 2n que consisten en pasos de longitud unitaria en una de las cuatro direcciones cardinales y que comienzan y terminan en el origen es $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {2k}{k}}{\binom {2n-2k}{nk}}{\binom {2n}{2k}}={\binom {2n}{n}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}^{2}}$$(secuencia A002894 en el OEIS ) .

La mitad del coeficiente binomial central${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}{2n \choose n}={2n-1 \choose n-1}}$(para${\displaystyle n>0}$) (secuencia A001700 en el OEIS ) se observa en el teorema de Wolstenholme .

Según la conjetura de Erdős sobre la ausencia de cuadrados , demostrada en 1996, ningún coeficiente binomial central con n > 4 es libre de cuadrados .

${\displaystyle \textstyle {\binom {2n}{n}}}$es la suma de los cuadrados de la n -ésima fila del Triángulo de Pascal: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {2n \choose n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}}$

Por ejemplo,${\displaystyle {\tbinom {6}{3}}=20=1^{2}+3^{2}+3^{2}+1^{2}}$.

Erdős utiliza ampliamente los coeficientes binomiales centrales en su demostración del postulado de Bertrand .

Otro hecho destacable es que la potencia de 2 divide${\displaystyle (n+1)\dots (2n)}$es exactamente n .

• Coeficiente trinomial central

• Koshy, Thomas (2008), Números catalanes con aplicaciones , Oxford University Press, ISBN 978-0-19533-454-8.

• Coeficiente binomial central en PlanetMath .