Secuencia fractal

En matemáticas , una secuencia fractal es aquella que se contiene a sí misma como una subsecuencia propia. Un ejemplo es

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Si se elimina la primera aparición de cada n, la secuencia resultante es idéntica a la original. Este proceso puede repetirse indefinidamente, de modo que, en realidad, la secuencia original no contiene solo una copia de sí misma, sino infinitas.

La definición precisa de secuencia fractal depende de una definición preliminar: una secuencia x = (x _n ) es una secuencia infinita si para cada i ,

(F1) x _n = i para infinitos n .

Sea a(i,j) el j-ésimo índice n para el cual x _n = i . Una secuencia infinita x es una secuencia fractal si se cumplen dos condiciones adicionales:

(F2) si i+1 = x _n , entonces existe m < n tal que

${\displaystyle i=x_{m}}$

(F3) si h < i entonces para cada j hay exactamente un k tal que

${\displaystyle a(i,j)<a(h,k)<a(i,j+1).}$

Según (F2), la primera aparición de cada i > 1 en x debe estar precedida al menos una vez por cada uno de los números 1, 2, ..., i-1, y según (F3), entre apariciones consecutivas de i en x , cada h menor que i aparece exactamente una vez.

Supongamos que θ es un número irracional positivo. Sea

S(θ) = el conjunto de números c + dθ, donde c y d son enteros positivos.

y dejar

c _n (θ) + θd _n (θ)

Sea la secuencia obtenida al ordenar los números en S(θ) en orden ascendente. La secuencia c _n (θ) es la signatura de θ , y es una secuencia fractal.

Por ejemplo, la signatura de la proporción áurea (es decir, θ = (1 + sqrt(5))/2) comienza con

1, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, 2, 4, 1, 6, 3, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 8, 5, ...

y la signatura de 1/θ = θ - 1 comienza con

1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 2, 4, 1, 3, 5, ...

Estas son las secuencias OEIS : A084531  y OEIS : A084532  en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros , donde se dan más ejemplos de una variedad de entornos de teoría de números y combinatorios.

• Secuencia de Thue-Morse

• Enciclopedia en línea de secuencias de enteros :
  • Secuencia OEIS A002260 (Triángulo T(n,k) = k para k = 1..n)
  • Secuencia OEIS A004736 (Triángulo leído por filas: la fila n enumera los primeros n enteros positivos en orden descendente)
  • Secuencia OEIS A003603 (Secuencia fractal obtenida a partir de los números de Fibonacci (o matriz de Wythoff))
  • Secuencia OEIS A112382 (Secuencia fractal autodescriptiva: la secuencia contiene todos los números enteros positivos)
  • Secuencia OEIS A122196 (Secuencia fractal: cuenta hacia atrás de 2 en 2 a partir de números enteros sucesivos)
  • Secuencia OEIS A022446 (Secuencia fractal de la dispersión de los números compuestos)
  • Secuencia OEIS A022447 (Secuencia fractal de la dispersión de los números primos)
  • Secuencia OEIS A125158 (La secuencia fractal asociada con A125150)
  • Secuencia OEIS A125159 (La secuencia fractal asociada con A125151)
  • Secuencia OEIS A108712 (Una secuencia fractal, (los números casi naturales))

• Kimberling, Clark (1997). "Secuencias fractales e interspersiones". Ars Combinatoria . 45 : 157–168 . Zbl 0932.11016 .