Función Gimel

En la teoría axiomática de conjuntos , la función de Gimel es la siguiente función que asigna números cardinales a números cardinales:

${\displaystyle \gimel \colon \kappa \mapsto \kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}}$

donde cf denota la función de cofinalidad ; la función de gimel se utiliza para estudiar la función continua y la función de exponenciación cardinal . El símbolo${\displaystyle \gimel }$es una forma con serifa de la letra hebrea gimel .

La función gimel tiene la propiedad ${\displaystyle \gimel (\kappa )>\kappa }$para todos los cardinales infinitos${\displaystyle \kappa }$por el teorema de König .

Para cardenales comunes${\displaystyle \kappa }$,${\displaystyle \gimel (\kappa )=2^{\kappa }}$y el teorema de Easton dice que se puede determinar muy poco sobre esta función en ZFC sin axiomas adicionales. Para singular${\displaystyle \kappa }$, límites superiores para${\displaystyle \gimel (\kappa)}$se puede encontrar en la teoría PCF de Shelah .

La hipótesis del gimel afirma que${\displaystyle \gimel (\kappa )=\max(2^{{\text{cf}}(\kappa )},\kappa ^{+})}$En esencia, esto significa que${\displaystyle \gimel (\kappa)}$para singular${\displaystyle \kappa }$es el valor más pequeño permitido por los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (suponiendo consistencia).

Bajo esta hipótesis, la exponenciación cardinal se simplifica, aunque no hasta el punto de la hipótesis del continuo generalizado (que implica la hipótesis de Gimel).

Bukovský (1965) demostró que toda exponenciación cardinal está determinada (recursivamente) por la función gimel de la siguiente manera.

• Si${\displaystyle \kappa }$es un cardinal regular infinito (en particular cualquier sucesor infinito) entonces${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (\kappa )}$
• Si${\displaystyle \kappa }$es infinito y singular y la función continua es finalmente constante por debajo${\displaystyle \kappa }$entonces${\displaystyle 2^{\kappa }=2^{<\kappa }}$
• Si${\displaystyle \kappa }$es un límite y la función continua no es finalmente constante por debajo de${\displaystyle \kappa }$entonces${\displaystyle 2^{\kappa }=\gimel (2^{<\kappa })}$

Las reglas restantes se mantienen siempre${\displaystyle \kappa }$y${\displaystyle \lambda }$ambos son infinitos:

• Si ℵ ₀ ≤ κ ≤ λ entonces κ ^λ = 2 ^λ
• Si μ ^λ ≥ κ para algún μ < κ entonces κ ^λ = μ ^λ
• Si κ > λ y μ ^λ < κ para todo μ < κ y cf( κ ) ≤ λ entonces κ ^λ = κ ^{cf( κ )}
• Si κ > λ y μ ^λ < κ para todo μ < κ y cf( κ ) > λ entonces κ ^λ = κ

• Número Aleph
• Número de Beth

• Bukovský, L. (1965), "El problema del continuo y las potencias de alephs", Comment. Math. Univ. Carolinae , 6 : 181– 197, hdl : 10338.dmlcz/105009 , MR 0183649 
• Jech, Thomas J. (1973), "Propiedades de la función gimel y una clasificación de cardinales singulares" (PDF) , Fund. Math. , Colección de artículos dedicados a Andrzej Mostowski con motivo de su sexagésimo cumpleaños, I., 81 (1): 57– 64, doi : 10.4064/fm-81-1-57-64 , MR 0389593 
• Thomas Jech , Teoría de conjuntos , 3.ª edición del milenio, 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.