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Fase geométrica

En mecánica clásica y cuántica , la fase geométrica (también conocida como fase de Pancharatnam-Berry , fase de Pancharatnam o fase de Berry ) es una diferencia de fase adquirid...

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En mecánica clásica y cuántica , la fase geométrica (también conocida como fase de Pancharatnam-Berry , fase de Pancharatnam o fase de Berry ) es una diferencia de fase adquirida a lo largo de un ciclo , cuando un sistema está sometido a procesos adiabáticos cíclicos , que resulta de las propiedades geométricas del espacio de parámetros del hamiltoniano . [ 1 ] El fenómeno fue descubierto independientemente por S. Pancharatnam (1956) en óptica clásica [ 2 ] y por H. C. Longuet-Higgins (1958) en física molecular; [ 3 ] fue generalizado posteriormente por Michael Berry en (1984). [ 4 ] Su análogo en mecánica clásica es el ángulo de Hannay . 

Se puede ver en la intersección cónica de superficies de energía potencial [ 3 ] [ 5 ] y en el efecto Aharonov-Bohm . La fase geométrica alrededor de la intersección cónica que involucra el estado electrónico fundamental del ion molecular C 6 H 3 F 3 + se discute en las páginas 385-386 del libro de texto de Bunker y Jensen. [ 6 ] En el caso del efecto Aharonov-Bohm, el parámetro adiabático es el campo magnético encerrado por dos trayectorias de interferencia, y es cíclico en el sentido de que estas dos trayectorias forman un bucle. En el caso de la intersección cónica, los parámetros adiabáticos son las coordenadas moleculares . Aparte de la mecánica cuántica, surge en una variedad de otros sistemas de ondas , como la óptica clásica . Como regla general , puede ocurrir siempre que haya al menos dos parámetros que caractericen una onda en la proximidad de algún tipo de singularidad o agujero en la topología; Se requieren dos parámetros porque o bien el conjunto de estados no singulares no será simplemente conectado , o bien habrá una holonomía distinta de cero .

Las ondas se caracterizan por su amplitud y fase , y pueden variar en función de estos parámetros. La fase geométrica se produce cuando ambos parámetros cambian simultáneamente, pero muy lentamente ( adiabáticamente ), y finalmente regresan a la configuración inicial. En mecánica cuántica, esto podría implicar rotaciones, pero también traslaciones de partículas, que aparentemente se deshacen al final. Cabría esperar que las ondas en el sistema volvieran al estado inicial, caracterizado por las amplitudes y fases (y teniendo en cuenta el paso del tiempo). Sin embargo, si las variaciones de los parámetros corresponden a un bucle en lugar de una variación de ida y vuelta autorreferencial, es posible que los estados inicial y final difieran en sus fases. Esta diferencia de fase es la fase geométrica, y su aparición suele indicar que la dependencia del sistema con respecto a los parámetros es singular (su estado es indefinido) para alguna combinación de parámetros. Para medir la fase geométrica en un sistema de ondas, se requiere un experimento de interferencia .

El péndulo de Foucault es un ejemplo de la mecánica clásica que a veces se utiliza para ilustrar la fase geométrica. El ángulo geométrico en un oscilador armónico impulsado adiabáticamente es otro ejemplo sencillo de la mecánica clásica. [ 7 ]

Fase de Berry en mecánica cuántica

En un sistema cuántico en el n -ésimo autoestado , una evolución adiabática del hamiltoniano permite que el sistema permanezca en dicho autoestado , obteniendo además un factor de fase. La fase obtenida tiene una contribución de la evolución temporal del estado y otra de la variación del autoestado con el hamiltoniano cambiante. El segundo término corresponde a la fase de Berry, y para variaciones no cíclicas del hamiltoniano, puede anularse mediante una elección diferente de la fase asociada a los autoestados del hamiltoniano en cada punto de la evolución.

Sin embargo, si la variación es cíclica, la fase de Berry no puede cancelarse; es invariante y se convierte en una propiedad observable del sistema. Al revisar la demostración del teorema adiabático dada por Max Born y Vladimir Fock , en Zeitschrift für Physik 51 , 165 (1928), pudimos caracterizar todo el cambio del proceso adiabático en un término de fase. Bajo la aproximación adiabática, el coeficiente del n -ésimo autoestado bajo el proceso adiabático viene dado por donorte(t)=donorte(0)exp⁡[−∫0t⟨ψnorte(t′)|ψ˙norte(t′)⟩dt′]=donorte(0)miiγnorte(t),{\displaystyle C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},} dóndeγnorte(t){\displaystyle \gamma _{n}(t)}es la fase de Berry con respecto al parámetro t . Cambiando la variable t a parámetros generalizadosR(t),∂/∂t→−i∂/∂R(t),{\displaystyle {\bf {R}}(t),\partial /\partial t\rightarrow -i\partial /\partial {\bf {R}}(t),}podemos reescribir la fase de Berry como γnorte[do]=i∮do⟨norte(R(t))|∇R|norte(R(t))⟩dR,{\displaystyle \gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n({\bf {R}}(t))|{\bf {\nabla }}_{\bf {R}}|n({\bf {R}}(t))\rangle \,d{\bf {R}},} dóndeR{\displaystyle R}parametriza el proceso adiabático cíclico. Nótese que la normalización de|norte,t⟩{\displaystyle |n,t\rangle }implica que el integrando es imaginario, de modo queγnorte[do]{\displaystyle \gamma _{n}[C]}es real. Entonces hay un camino cerrado.do{\displaystyle C}en el espacio de parámetros apropiado. La fase geométrica a lo largo de la trayectoria cerradado{\displaystyle C}También se puede calcular integrando la curvatura de Berry sobre la superficie encerrada pordo{\displaystyle C}.

Ejemplos de fases geométricas

péndulo de Foucault

Uno de los ejemplos más sencillos es el péndulo de Foucault . Wilczek y Shapere ofrecen una explicación sencilla en términos de fases geométricas: [ 8 ]

¿Cómo precesa el péndulo cuando se lleva a lo largo de una trayectoria general C ? Para el transporte a lo largo del ecuador , el péndulo no precesará. [...] Ahora bien, si C está formado por segmentos geodésicos , la precesión provendrá de los ángulos donde se encuentran los segmentos de las geodésicas; la precesión total es igual al ángulo de déficit neto que a su vez es igual al ángulo sólido encerrado por C módulo 2π . Finalmente, podemos aproximar cualquier bucle mediante una secuencia de segmentos geodésicos, por lo que el resultado más general (en la superficie de la esfera o fuera de ella) es que la precesión neta es igual al ángulo sólido encerrado.

Dicho de otro modo, no existen fuerzas inerciales que puedan provocar la precesión del péndulo, por lo que la precesión (en relación con la dirección del movimiento de la trayectoria a lo largo de la cual se desplaza el péndulo) se debe enteramente al giro de dicha trayectoria. Así, la orientación del péndulo se produce por transporte paralelo . Para el péndulo de Foucault original, la trayectoria es un círculo de latitud , y según el teorema de Gauss-Bonnet , el desfase viene dado por el ángulo sólido encerrado. [ 9 ]

Derivación

Consideremos un vector que describe un bucle cerrado, por ejemplo, un triángulo esférico, sobre la esfera: El ángulo de torsión, α , es proporcional al área dentro del bucle y se analizará más adelante.

En un sistema de referencia casi inercial que se mueve al unísono con la Tierra, pero sin compartir la rotación de la Tierra sobre su propio eje, la masa del péndulo describe una trayectoria circular durante un día sideral , es decir, una trayectoria plana, ya que la oscilación a lo largo de la varilla de suspensión es insignificante.

A la latitud de París, 48 ​​grados 51 minutos norte, un ciclo completo de precesión dura poco menos de 32 horas, por lo que, tras un día sideral, cuando la Tierra vuelve a tener la misma orientación que un día sideral antes, el plano de oscilación ha girado algo más de 270 grados. Si el plano de oscilación era norte-sur al inicio, un día sideral después es este-oeste.

Esto también implica que ha habido un intercambio de momento lineal ; la Tierra y la masa del péndulo han intercambiado momento lineal. La Tierra es mucho más masiva que la masa del péndulo, por lo que el cambio de momento lineal de la Tierra es imperceptible. Sin embargo, dado que el plano de oscilación de la masa del péndulo se ha desplazado, las leyes de conservación implican que debe haber ocurrido un intercambio.

La precesión del plano oscilante se puede demostrar, componiendo rotaciones infinitesimales, de manera que la tasa de precesión sea proporcional a la proyección de la velocidad angular de la Tierra sobre la dirección normal a la Tierra. El área del bucle en forma de triángulo esférico, como se mencionó anteriormente, es(A+B+norte−π)r2{\displaystyle (A+B+N-\pi )r^{2}}, dónder{\displaystyle r}es el radio de la esfera yA,B,norte{\displaystyle A,B,N}son ángulos esféricos. [ 10 ] Este triángulo esférico se puede expandir a un bucle connorte=2π,{\displaystyle N=2\pi ,}de modo queA+B=π+α.{\displaystyle A+B=\pi +\alpha .} Después de 24 horas, la diferencia entre las orientaciones inicial y final de la traza en el marco de referencia terrestre es α = −2 π sin φ , que corresponde al valor dado por el teorema de Gauss-Bonnet (1/r2{\displaystyle 1/r^{2}}es la curvatura gaussiana ). α también se denomina holonomía o fase geométrica del péndulo. Al analizar los movimientos terrestres, el marco terrestre no es un marco inercial , sino que rota alrededor de la vertical local a una velocidad efectiva de 2π sen φ radianes por día. Se puede utilizar un método sencillo que emplea transporte paralelo dentro de conos tangentes a la superficie terrestre para describir el ángulo de rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault. [ 11 ] [ 12 ]

Desde la perspectiva de un sistema de coordenadas terrestres (el círculo de medición y el espectador están limitados a la Tierra, incluso si el espectador no percibe la reacción del terreno a la fuerza de Coriolis cuando se mueve), utilizando un sistema de coordenadas rectangulares con su eje x apuntando al este y su eje y apuntando al norte, la precesión del péndulo se debe a la fuerza de Coriolis (otras fuerzas ficticias como la gravedad y la fuerza centrífuga no tienen un componente de precesión directo). Consideremos un péndulo plano con frecuencia natural constante ω en la aproximación de ángulo pequeño . Hay dos fuerzas que actúan sobre la masa del péndulo: la fuerza restauradora proporcionada por la gravedad y el alambre, y la fuerza de Coriolis (la fuerza centrífuga, opuesta a la fuerza restauradora gravitatoria, puede despreciarse). La fuerza de Coriolis en la latitud φ es horizontal en la aproximación de ángulo pequeño y está dada por Fdo,incógnita=2metroΩdydtpecado⁡φ,Fdo,y=−2metroΩdincógnitadtpecado⁡φ,{\displaystyle {\begin{aligned}F_{{\text{c}},x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\F_{{\text{c}},y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi ,\end{aligned}}} donde Ω es la frecuencia de rotación de la Tierra, F c, x es la componente de la fuerza de Coriolis en la dirección x , y F c, y es la componente de la fuerza de Coriolis en la dirección y .

La fuerza restauradora, en la aproximación de ángulo pequeño y despreciando la fuerza centrífuga, viene dada por Fgramo,incógnita=−metroω2incógnita,Fgramo,y=−metroω2y.{\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x,\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}

Gráficos del período de precesión y la precesión por día sideral en función de la latitud. El signo cambia a medida que un péndulo de Foucault gira en sentido antihorario en el hemisferio sur y en sentido horario en el hemisferio norte. El ejemplo muestra que uno en París precesa 271° cada día sideral, tardando 31,8 horas por rotación.

Utilizando las leyes del movimiento de Newton , esto conduce al sistema de ecuaciones d2incógnitadt2=−ω2incógnita+2Ωdydtpecado⁡φ,d2ydt2=−ω2y−2Ωdincógnitadtpecado⁡φ.{\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}

Cambiando a coordenadas complejas z = x + iy , las ecuaciones son: d2zdt2+2iΩdzdtpecado⁡φ+ω2z=0.{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0.}

En primera aproximación en ⁠ Ω / ω ⁠ , esta ecuación tiene la solución z=mi−iΩpecado⁡φt(do1miiωt+do2mi−iωt).{\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right).}

Si el tiempo se mide en días, entonces Ω = 2π y el péndulo gira un ángulo de −2π sen φ durante un día. Las fórmulas matemáticas de estas ecuaciones, es decir , su derivación, etc., se pueden encontrar en muchos libros de texto sobre mecánica clásica. [ 13 ]

La derivación del ángulo sólidoΩ′{\displaystyle \Omega '}que la masa del péndulo barre en un día a una latitud angularϕ{\displaystyle \phi }es prácticamente trivial si se recuerda un teorema de Pappus . [ 14 ] Este teorema dice que el área de la superficie de una esfera de radior{\displaystyle r}(la de la Tierra aquí), es decir4πr2{\displaystyle 4\pi r^{2}}es igual al de un cilindro circular envolvente de radior{\displaystyle r}, es decir4πr2=2πr×2r{\displaystyle 4\pi r^{2}=2\pi r\times 2r}El teorema dice, como se puede comprobar fácilmente, que esta igualdad se aplica a cada sección de la esfera. Por lo tanto, si la calota esférica definida por la órbita de la masa del péndulo tiene altura máximah{\displaystyle h}en latitudϕ{\displaystyle \phi }, tenemosh=r−rpecado⁡ϕ.{\displaystyle h=r-r\sin \phi .}El ángulo sólidoΩ′{\displaystyle \Omega '}encerrado por la tapa se da entonces por

armiaoFdoapagarmiaoFspaghmirmi=2πrh4πr2=Ω′4π,{\displaystyle {\frac {\rm {area\;of\;cap}}{\rm {area\;of\;sphere}}}={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}={\frac {\Omega '}{4\pi }},}

y por lo tantoΩ′=2h/r=2π(1−pecado⁡ϕ)=Ωmetroodtúlo2π.{\displaystyle \Omega '=2h/r=2\pi (1-\sin \phi )=\Omega \;{\rm {modulo}}\;2\pi .}En el ecuadorϕ=0,Ω′=2π,{\displaystyle \phi =0,\Omega '=2\pi ,}y en el polo norteϕ=π/2,Ω′=0.{\displaystyle \phi =\pi /2,\Omega '=0.}El período de oscilación esT=2π/ωpecado⁡ϕ{\displaystyle T=2\pi /\omega \sin \phi }, dóndeω=2π/1day=7.26×10−5/s.{\displaystyle \omega =2\pi /1\;{\rm {day}}=7.26\times 10^{-5}/s.}

Luz polarizada en una fibra óptica

Un segundo ejemplo es la luz polarizada linealmente que entra en una fibra óptica monomodo . Supongamos que la fibra describe una trayectoria en el espacio y que la luz sale de ella en la misma dirección en la que entró. Comparemos entonces las polarizaciones inicial y final. En la aproximación semiclasica, la fibra funciona como una guía de ondas y el momento de la luz es siempre tangente a la fibra. La polarización puede considerarse como una orientación perpendicular al momento. A medida que la fibra describe su trayectoria, el vector de momento de la luz describe una trayectoria en la esfera en el espacio de momentos . La trayectoria es cerrada, ya que las direcciones inicial y final de la luz coinciden, y la polarización es un vector tangente a la esfera. Ir al espacio de momentos es equivalente a tomar el mapa de Gauss . No hay fuerzas que puedan hacer que la polarización cambie de dirección, solo la restricción de permanecer tangente a la esfera. Por lo tanto, la polarización experimenta un transporte paralelo y el desfase viene dado por el ángulo sólido encerrado (multiplicado por el espín, que en el caso de la luz es  1). [ 15 ]

Efecto de bombeo estocástico

Una bomba estocástica es un sistema estocástico clásico que responde con corrientes no nulas, en promedio, a cambios periódicos de parámetros. El efecto de la bomba estocástica puede interpretarse en términos de una fase geométrica en la evolución de la función generadora de momentos de las corrientes estocásticas. [ 16 ]

Gira 1/2​​

La fase geométrica se puede evaluar exactamente para una partícula de espín 1/2 en un campo magnético. [ 1 ]

Fase geométrica definida en atractores

Aunque la formulación de Berry se definió originalmente para sistemas hamiltonianos lineales, Ning y Haken [ 17 ] pronto se dieron cuenta de que una fase geométrica similar puede definirse para sistemas completamente diferentes, como sistemas disipativos no lineales que poseen ciertos atractores cíclicos. Demostraron que tales atractores cíclicos existen en una clase de sistemas disipativos no lineales con ciertas simetrías. [ 18 ] Hay varios aspectos importantes de esta generalización de la fase de Berry: 1) En lugar del espacio de parámetros para la fase de Berry original, esta generalización de Ning-Haken se define en el espacio de fases; 2) En lugar de la evolución adiabática en el sistema mecánico cuántico, la evolución del sistema en el espacio de fases no necesita ser adiabática. No hay restricción en la escala de tiempo de la evolución temporal; 3) En lugar de un sistema hermitiano o un sistema no hermitiano con amortiguación lineal, los sistemas pueden ser generalmente no lineales y no hermitianos.

Exposición en intersecciones de superficies de potencial adiabático molecular

Existen varias formas de calcular la fase geométrica en moléculas dentro del marco de Born-Oppenheimer . Una de ellas es a través del acoplamiento no adiabático.METRO×METRO{\displaystyle M\times M}matriz" definida por τijμ=⟨ψi|∂μψj⟩,{\displaystyle \tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,} dóndeψi{\displaystyle \psi _{i}}es la función de onda electrónica adiabática, que depende de los parámetros nuclearesRμ{\displaystyle R_{\mu }}El acoplamiento no adiabático puede utilizarse para definir una integral de bucle, análoga a un bucle de Wilson (1974) en teoría de campos, desarrollada independientemente para el marco molecular por M.  Baer (1975, 1980, 2000). Dado un bucle cerradoΓ{\displaystyle \Gamma }, parametrizado por Rμ(t),{\displaystyle R_{\mu }(t),}dóndet∈[0,1]{\displaystyle t\in [0,1]}es un parámetro, yRμ(t+1)=Rμ(t){\displaystyle R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)}La matriz D viene dada por D[Γ]=PAG^mi∮ΓτμdRμ{\displaystyle D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}} (aquíPAG^{\displaystyle {\hat {P}}}es un símbolo de ordenación de caminos). Se puede demostrar que una vezMETRO{\displaystyle M}es suficientemente grande (es decir, se considera un número suficiente de estados electrónicos), esta matriz es diagonal, con los elementos diagonales iguales amiiβj,{\displaystyle e^{i\beta _{j}},}dóndeβj{\displaystyle \beta _{j}}son las fases geométricas asociadas con el bucle para elj{\displaystyle j}-o estado electrónico adiabático.

Para los hamiltonianos electrónicos simétricos de inversión temporal, la fase geométrica refleja el número de intersecciones cónicas encerradas por el bucle. Más precisamente, miiβj=(−1)nortej,{\displaystyle e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},} dóndenortej{\displaystyle N_{j}}es el número de intersecciones cónicas que involucran el estado adiabáticoψj{\displaystyle \psi _{j}}rodeado por el bucleΓ.{\displaystyle \Gamma .}

Una alternativa al enfoque de la matriz D sería un cálculo directo de la fase de Pancharatnam. Esto es especialmente útil si uno está interesado solo en las fases geométricas de un único estado adiabático. En este enfoque, se toma un númeronorte+1{\displaystyle N+1}de puntos(norte=0,…,norte){\displaystyle (n=0,\dots ,N)}a lo largo del circuitoR(tnorte){\displaystyle R(t_{n})}cont0=0{\displaystyle t_{0}=0}ytnorte=1,{\displaystyle t_{N}=1,}luego utilizando solo los estados adiabáticos j -ésimosψj[R(tnorte)]{\displaystyle \psi _{j}[R(t_{n})]}Calcula el producto de Pancharatnam de las superposiciones: Ij(Γ,norte)=∏norte=0norte−1⟨ψj[R(tnorte)]|ψj[R(tnorte+1)]⟩.{\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .}

En el límitenorte→∞{\displaystyle N\to \infty }uno tiene (ver Ryb & Baer 2004 para explicación y algunas aplicaciones) Ij(Γ,norte)→miiβj.{\displaystyle I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.}

Fase geométrica y cuantización del movimiento ciclotrónico

Un electrón sometido a un campo magnéticoB{\displaystyle B}Se mueve en una órbita circular (ciclotrónica).Clásicamente, cualquier radio de ciclotrónRdo{\displaystyle R_{c}}es aceptable. Mecánicamente, solo se permiten niveles de energía discretos ( niveles de Landau ), y dado queRdo{\displaystyle R_{c}}está relacionado con la energía del electrón, esto corresponde a valores cuantizados deRdo{\displaystyle R_{c}}. La condición de cuantización de la energía obtenida al resolver la ecuación de Schrödinger se lee, por ejemplo,mi=(norte+α)ℏωdo,{\displaystyle E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},}α=1/2{\displaystyle \alpha =1/2}para electrones libres (en el vacío) omi=v2(norte+α)miBℏ,α=0{\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}para electrones en grafeno , dondenorte=0,1,2,…{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }.Aunque la derivación de estos resultados no es difícil, existe una forma alternativa de derivarlos, que ofrece en cierto modo una mejor comprensión física de la cuantización del nivel de Landau. Esta forma alternativa se basa en la condición de cuantización semiclasica de Bohr-Sommerfeld.ℏ∮dr⋅k−mi∮dr⋅A+ℏγ=2πℏ(norte+1/2),{\displaystyle \hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),} que incluye la fase geométricaγ{\displaystyle \gamma }captado por el electrón mientras ejecuta su movimiento (en el espacio real) a lo largo del bucle cerrado de la órbita del ciclotrón. [ 19 ] Para electrones libres,γ=0,{\displaystyle \gamma =0,}mientrasγ=π{\displaystyle \gamma =\pi }para electrones en grafeno. Resulta que la fase geométrica está directamente relacionada conα=1/2{\displaystyle \alpha =1/2}de electrones libres yα=0{\displaystyle \alpha =0}de electrones en el grafeno.

Véase también

Notas

^ Para simplificar, consideramos electrones confinados a un plano, comoun 2DEG, y un campo magnético perpendicular a dicho plano.

^ωdo=miB/metro{\displaystyle \omega _{c}=eB/m}es la frecuencia ciclotrónica (para electrones libres) yv{\displaystyle v}es la velocidad de Fermi (de los electrones en el grafeno).

Notas a pie de página

  1. 1 2 Solem, JC; Biedenharn, LC (1993). "Comprensión de las fases geométricas en mecánica cuántica: un ejemplo elemental". Foundations of Physics . 23 (2): 185– 195. Bibcode : 1993FoPh...23..185S . doi : 10.1007/BF01883623 . S2CID 121930907 . 
  2. ↑ S. Pancharatnam (1956). "Teoría generalizada de la interferencia y sus aplicaciones. Parte I. Lápices coherentes". Proc. Indian Acad. Sci. A . 44 (5): 247– 262. doi : 10.1007/BF03046050 . S2CID 118184376 . 
  3. 1 2 H. C. Longuet Higgins; U. Öpik; MHL Pryce; RA Sack (1958). "Estudios del efecto Jahn-Teller. II. El problema dinámico". Proc. R. Soc. A. 244 ( 1236): 1– 16. Bibcode : 1958RSPSA.244....1L . doi : 10.1098/rspa.1958.0022 . S2CID 97141844 . Ver página 12
  4. ↑ MV Berry (1984). "Factores de fase cuántica que acompañan a los cambios adiabáticos". Proceedings of the Royal Society A . 392 (1802): 45– 57. Bibcode : 1984RSPSA.392...45B . doi : 10.1098/rspa.1984.0023 . S2CID 46623507 . 
  5. ↑ G. Herzberg; HC Longuet-Higgins (1963). "Intersección de superficies de energía potencial en moléculas poliatómicas". Discuss. Faraday Soc . 35 : 77–82 . doi : 10.1039/DF9633500077 .
  6. ↑ Simetría molecular y espectroscopia , 2.ª ed. Philip R. Bunker y Per Jensen, NRC Research Press, Ottawa (1998)ISBN 9780660196282
  7. ↑ F. Suzuki; NA Sinitsyn (2025). "Ángulo adiabático geométrico en osciladores anisotrópicos" . American Journal of Physics . 93 (12): 951– 959. arXiv : 2506.00559 . doi : 10.1119/5.0270675 .
  8. ↑ Wilczek, F.; Shapere, A., eds. (1989). Geometric Phases in Physics . Singapur: World Scientific. p. 4 . 
  9. ↑ Jens von Bergmann; HsingChi von Bergmann (2007). "Péndulo de Foucault a través de la geometría básica". Am. J. Phys . 75 (10): 888– 892. Bibcode : 2007AmJPh..75..888V . doi : 10.1119/1.2757623 .
  10. ↑ HJW Müller--Kirsten, Mecánica clásica y relatividad, 2.ª ed., World Scientific, 2024, pág. 376.
  11. ↑ Somerville, WB (1972). "La descripción del péndulo de Foucault". Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society . 13 : 40. Bibcode : 1972QJRAS..13...40S .
  12. ↑ Hart, John B.; Miller, Raymond E.; Mills, Robert L. (1987). "Un modelo geométrico simple para visualizar el movimiento de un péndulo de Foucault". American Journal of Physics . 55 (1): 67– 70. Bibcode : 1987AmJPh..55...67H . doi : 10.1119/1.14972 .
  13. ↑ TWB Kibble y FH Berkshire, Mecánica clásica, 5.ª ed., Imperial College Press, 2004; HJW Müller-Kirsten, Mecánica clásica y relatividad, 2.ª ed., World Scientific, 2024.
  14. ↑ KE Bullen, Teoría de la mecánica, Science Press Sydney, 1951; HJW Müller-Kirsten, Mecánica clásica y relatividad, 2.ª ed., World Scientific, 2024.
  15. ↑ Band, YB; Kuzmenko, Igor; Avishai, Yshai (27-03-2025). "Fases geométricas en óptica: polarización de la luz que se propaga en fibras ópticas helicoidales" . Physical Review A. 111 ( 3). doi : 10.1103/PhysRevA.111.033530 . ISSN 2469-9926 . 
  16. ↑ NA Sinitsyn; I. Nemenman (2007). "La fase de Berry y el flujo de bombeo en la cinética química estocástica". Europhysics Letters . 77 (5) 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Bibcode : 2007EL.....7758001S . doi : 10.1209/0295-5075/77/58001 . S2CID 11520748 . 
  17. ↑ C. Z. Ning, H. Haken (1992). "Acumulaciones geométricas de fase y amplitud en sistemas disipativos con atractores cíclicos". Phys. Rev. Lett . 68 (14): 2109– 2122. Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109 . PMID 10045311 .  
  18. ↑ C. Z. Ning, H. Haken (1992). "La fase geométrica en sistemas disipativos no lineales". Mod. Phys. Lett. B . 6 (25): 1541– 1568. Bibcode : 1992MPLB....6.1541N . doi : 10.1142/S0217984992001265 . 
  19. ↑ Para un tutorial, consulte Jiamin Xue: " Fase de Berry y el efecto Hall cuántico no convencional en el grafeno " (2013).

Fuentes

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  • Cantoni, V.; Mistrangioli, L. (1992). "Fase de tres puntos, medida simpléctica y fase de Berry". International Journal of Theoretical Physics . 31 (6): 937. Bibcode : 1992IJTP...31..937C . doi : 10.1007/BF00675086 . S2CID 121235416 . 
  • Richard Montgomery (8 de agosto de 2006). Un recorrido por las geometrías subriemannianas, sus geodésicas y aplicaciones . American Mathematical Soc. págs.  11–. ISBN 978-0-8218-4165-5.(Véase el capítulo 13 para un tratamiento matemático)
  • Aquí se analizan las conexiones con otros fenómenos físicos (como el efecto Jahn-Teller ): Fase geométrica de Berry: una revisión.
  • Artículo del profesor Galvez en la Universidad de Colgate, que describe la fase geométrica en óptica: Aplicaciones de la fase geométrica en óptica. Archivado el 24 de agosto de 2007 en Wayback Machine.
  • Surya Ganguli, Haces de fibras y teorías de gauge en física clásica: una descripción unificada de gatos que caen, monopolos magnéticos y la fase de Berry
  • Robert Batterman, gatos que caen, estacionamiento en paralelo y luz polarizada
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Lecturas adicionales

  • Michael V. Berry, La fase geométrica , Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.
  • Citas relacionadas con la fase geométrica en Wikiquote
  • "Fases geométricas y la separación del mundo" por Michael Berry . YouTube . Centro Internacional de Ciencias Teóricas. 10 de febrero de 2020.