cuantificador generalizado

En semántica formal , un cuantificador generalizado ( CG ) es una expresión que denota un conjunto de conjuntos . Esta es la semántica estándar asignada a los sintagmas nominales cuantificados . Por ejemplo, el cuantificador generalizado «cada niño» denota el conjunto de conjuntos del cual cada niño es miembro: $\{X\mid \forall x(x{\text{ es un niño}}\to x\in X)\}$ Este tratamiento de los cuantificadores ha sido esencial para lograr una semántica composicional para oraciones que contienen cuantificadores. ^[¹^]^[²^]

Teoría de modelos

Definición

En la lógica de primer orden, hay dos cuantificadores $\forall ,\exists$ . Tienen un significado fijo en la semántica de la teoría de modelos (es decir, la semántica de la teoría de conjuntos) de la lógica de primer orden, como sigue.

Dado un lenguaje de primer orden , un modelo ${\mathcal {M}}$ del idioma y una interpretación $I$ de las variables, escribimos ${\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi$ significa "una fórmula cuantificada" $\forall x\psi$ es modelado por el modelo ${\mathcal {M}}$ con la interpretación $I$ ". Por definición, ${\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi \iff \forall a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi$ dónde $M$ es el universo del modelo ${\mathcal {M}}$ .

Similarmente, ${\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi \iff \exists a\in M,\;{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi$ Esto se puede escribir en notación de teoría de conjuntos como ${\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{M\}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}\end{aligned}}$ dónde ${\mathcal {P}}$ denota la operación de conjunto de potencia .

Esto puede parecer algo circular, ya que la teoría de conjuntos se formaliza habitualmente en una lógica de primer orden (como en la teoría de conjuntos ZFC ). Sin embargo, si se toma dicha teoría de conjuntos como base, se pueden construir otras lógicas de primer orden sobre ella. Esta es la perspectiva típica en la teoría de modelos.

A continuación, consideramos $\forall ,\exists$ ellos mismos como símbolos que están siendo modelados. Esto es similar a cómo la igualdad misma se interpreta como un símbolo de relación binaria en la lógica de primer orden con igualdad . Luego reescribimos de nuevo: ${\begin{aligned}{\mathcal {M}}\models _{I}\forall x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \forall ^{\mathcal {M}}\\{\mathcal {M}}\models _{I}\exists x\psi &\iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in \exists ^{\mathcal {M}}\end{aligned}}$ dónde $\forall ^{\mathcal {M}}:=\{M\}$ es el modelo del símbolo $\forall$ en el modelo ${\mathcal {M}}$ , y $\exists ^{\mathcal {M}}:=\{S\in {\mathcal {P}}(M):S\neq \emptyset \}$ es el modelo del símbolo $\exists$ en el modelo ${\mathcal {M}}$ .

Por lo tanto, podemos definir el modelo de un cuantificador generalizado de la siguiente manera. Dado un lenguaje de primer orden aumentado con cuantificadores generalizados $Q_{1},Q_{2},\dots$ , un modelo ${\mathcal {M}}$ de los modelos de lenguaje cada $Q_{n}$ como un conjunto $Q_{n}^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M)$ , de tal manera que ${\mathcal {M}}\models _{I}Q_{n}x\psi \iff \{a\in M:{\mathcal {M}}\models _{I[a/x]}\psi \}\in Q_{n}^{\mathcal {M}}$ En términos más generales, un cuantificador $Q$ puede cuantificar sobre k variables. Entonces su modelo es un conjunto $Q^{\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(M^{k})$ . El tipo de dicho cuantificador es $\langle k\rangle$ .

De forma equivalente, dado que un subconjunto de $M^{k}$ puede considerarse como una relación k -aria en $M$ , un cuantificador sobre k variables puede considerarse como un predicado para relaciones k -arias en $M$ .

En términos más generales, un cuantificador $Q$ Se utiliza de la siguiente manera: $Qx_{1,1},\dots ,x_{1,m_{1}};x_{2,1},\dots ,x_{2,m_{2}};\dots ;x_{n,1},\dots ,x_{n,m_{n}}(\psi _{1},\dots ,\psi _{n})$ Se modela mediante una relación n -aria sobre $m_{1}$ relación -aria, $m_{2}$ relación -aria, ..., $m_{n}$ relación -aria sobre $M$ Esta definición general, una definición de cuantificador generalizado, a veces se denomina cuantificador de Lindström .

Se dice que dicho cuantificador tiene firma $\langle m_{1},m_{2},\dots,m_{n}\rangle$ . Si su firma es de forma $\langle 1,1,\dots,1\rangle$ , entonces es monádico , de lo contrario es poliádico .

Ejemplos

De tipo ⟨1⟩:

$\exists _{=1}$ El significado de "existe exactamente 1" se define por $\exists _{=1}^{\mathcal {M}}:=\{\{a\}:a\in M\}$
Y, de forma más general, podemos definir $\exists _{=2},\exists _{=3},\dots$ por $\exists _{=2}^{\mathcal {M}}:=\{\{a,b\}:a\in M,b\in M,a\neq b\}$ , etc.
$\exists _{\leq n}$ El significado "existe como máximo n " se define por $\exists _{\leq n}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|\leq n\}$ .
$\exists _{\geq \omega }$ El significado de "existen infinitos" se define por $\exists _{\geq \omega }^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,S{\text{ is infinite}}\}$ .
El cuantificador de Rescher, que significa "más a menudo que no", se define por $Q_{R}^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M,|S|>|M\setminus S|\}$ .

De tipo ⟨2⟩:

$W$ El significado de "es un buen orden " se define por $W^{\mathcal {M}}:=\{S:S\subset M\times M,S{\text{ is a well-ordering of }}M\}$ . Por ejemplo, $Wxy,x<y$ medio " $<$ es un buen ordenamiento". Dado un modelo ${\mathcal {M}}$ de $Wxy,x<y$ , la estructura $(M,<^{\mathcal {M}})$ es un conjunto parcialmente ordenado y bien ordenado. Cabe destacar que el buen ordenamiento no es axiomatizable en la lógica estándar de primer orden, lo que demuestra que hemos ampliado el poder del lenguaje lógico.

cuantificador de Ramsey $Q^{2}$ , definido por $S\in (Q^{2})^{\mathcal {M}}$ si y solo si existe un infinito $A\subset M$ , de tal manera que $\forall x\neq y\in A,(x,y)\in S$ Por ejemplo, el teorema de Ramsey infinito establece que si se tiene un conjunto infinito $M$ y trazamos una arista entre cualquier par de puntos, y coloreamos cada arista con uno de un número finito de colores, entonces existe una camarilla infinita del mismo color. Sea $C_{1},\dots ,C_{m}$ sean relaciones biarias, tales que $C_{i}(x,y)$ medio $x\neq y$ y el borde $(x,y)$ está coloreado con el i -ésimo color. Entonces el teorema infinito de Ramsey establece que $\bigvee _{i=1}^{m}Q^{2}(C_{i})$ .

De tipo ⟨n⟩:

cuantificador de Ramsey $Q^{n}$ , definido por $S\in (Q^{n})^{\mathcal {M}}$ si y solo si existe un infinito $A\subset M$ , de tal manera que cualquier subconjunto de tamaño n $\{a_{1},\dots ,a_{n}\}\subset A$ , tenemos $(a_{1},\dots ,a_{n})\in S$ . El teorema de Ramsey infinito se puede enunciar con $Q^{n}$ . ^{[ 3 ]}

De tipo ⟨1, 1⟩:

"Todo" se define por ${\text{All}}^{\mathcal {M}}:=\{(A,B):A\subset B,B\subset M\}$ . Por ejemplo, "todos los hombres son mortales" se escribe como ${\text{All }}x,y,({\text{man}}(x),{\text{mortal}}(y))$ De manera similar, "Algunos", "Ninguno" y "No todos" son del tipo ⟨1, 1⟩. De esta forma, los 4 tipos de oraciones en la lógica de términos se expresan naturalmente en lógica de primer orden con cuantificadores generalizados.
De manera similar, "al menos 5", "exactamente 3", "un número par de", "hay más de", .
El cuantificador Härtig, que significa "igualmente muchos". ^{[ 4 ]}

Operaciones

Los cuantificadores se pueden combinar y modificar para crear más cuantificadores, utilizando operaciones sobre ellos.

Relativización : Una relación n -aria $R$ en un plató $M$ puede ser relativizado a un subconjunto $N\subset M$ , definiendo $R\upharpoonright N:=R\cap N^{n}$ . En otras palabras, $\forall a_{1},\dots ,a_{n}\in N,R\upharpoonright N(a_{1},\dots ,a_{n})\iff R(a_{1},\dots ,a_{n})$ Utilizando esta operación, un cuantificador $Q$ de tipo $\langle m_{1},\dots ,m_{n}\rangle$ puede relativizarse a un cuantificador $Q_{\text{rel}}$ de tipo $\langle 1,m_{1},\dots ,m_{n}\rangle$ al tomar su primer espacio como el conjunto sobre el cual se relativiza: $Q_{\text{rel}}^{\mathcal {M}}(N,R_{1},\dots ,R_{n}):=Q^{\mathcal {M}}(R_{1}\upharpoonright N,\dots ,R_{n}\upharpoonright N)$ Iteración : Dados dos cuantificadores ⟨1⟩ $Q,Q'$ , tenemos un cuantificador ⟨2⟩ $Q\cdot Q'$ Esto se obtiene generalizando la construcción para $\forall ,\exists$ . Específicamente, dada una relación binaria $R$ , la oración $\forall x\exists y,R(x,y)$ puede analizarse como $(\forall \cdot \exists )xy,R(x,y)$ , dónde $\forall \cdot \exists$ es un cuantificador ⟨2⟩ obtenido mediante iteración $\forall$ a $\exists$ .

Un modelo ${\mathcal {M}}$ modelos $\forall x\exists y,R(x,y)$ si y solo si $\forall ^{\mathcal {M}}(\{a\in M:\exists ^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})$ , dónde $R^{\mathcal {M}}(a,\cdot )$ es la relación 1-aria en $M$ obtenido al conectar $a\in M$ al primer espacio de la relación 2-aria $R$ en $M$ .

Generalizar, dados dos cuantificadores $Q,Q'$ de tipos ⟨1⟩, ⟨1⟩, iteran a un cuantificador de tipo ⟨2⟩: $(Q\cdot Q')^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}):=Q^{\mathcal {M}}(\{a\in M:Q'^{\mathcal {M}}(R^{\mathcal {M}}(a,\cdot ))\})$ Dado $Q_{1},\dots ,Q_{n}$ cuantificadores de tipos $\langle m_{1}\rangle ,\dots ,\langle m_{n}\rangle$ , ellos iteran a $Q_{1}\cdot \dots \cdot Q_{n}$ , a $\langle m_{1}+\dots +m_{n}\rangle$ cuantificador.

Reanudación : Dado un cuantificador $Q$ de tipo $\langle 1,\dots ,1\rangle$ , se puede resumir en un cuantificador $\operatorname {Res} _{k}(Q)$ de tipo $\langle k,\dots ,k\rangle$ , utilizando el hecho de que una relación k -aria $R$ en un plató $M$ es lo mismo que una relación 1-aria en $M^{k}$ : $\operatorname {Res} _{k}(Q)^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})\iff Q^{\mathcal {M}}(R_{1},\dots ,R_{n})$ Tenga en cuenta que, aunque formalmente son iguales, sus tipos son diferentes. Uno es Para verlo, considere la reanudación de $\exists$ La fórmula $\exists x,{\text{first}}(x)={\text{second}}(x)$ es una fórmula que se interpreta sobre un modelo para el cual se definen "primero" y "segundo", en particular modelos cuyos universos son de forma $M\times M$ , mientras $\operatorname {Res} _{2}(\exists )x_{1}x_{2},x_{1}=x_{2}$ es una fórmula que se interpreta sobre un modelo simple.

teoría de tipos

A menudo se utiliza una versión de la teoría de tipos para explicitar la semántica de diferentes tipos de expresiones. La construcción estándar define el conjunto de tipos recursivamente de la siguiente manera:

e y t son tipos.
Si a y b son ambos de tipo, entonces también lo es. $\langle a,b\rangle$
Nada es un tipo, excepto lo que se puede construir a partir de las líneas 1 y 2 anteriores.

Dada esta definición, tenemos los tipos simples e y t , pero también una infinidad numerable de tipos complejos, algunos de los cuales incluyen: ${\displaystyle \langle e,t\rangle$

Las expresiones de tipo e denotan elementos del universo del discurso , el conjunto de entidades de las que trata el discurso. Este conjunto se suele escribir como $D_{e}$ . Ejemplos de expresiones de tipo e incluyen John y he .
Las expresiones de tipo t denotan un valor de verdad , generalmente representado como el conjunto $\{0,1\}$ donde 0 representa "falso" y 1 representa "verdadero". Ejemplos de expresiones que a veces se consideran de tipo t son oraciones o proposiciones .
Expresiones de tipo $\langle e,t\rangle$ denotan funciones del conjunto de entidades al conjunto de valores de verdad. Este conjunto de funciones se representa como $D_{t}^{D_{e}}$ Estas funciones son funciones características de conjuntos . Asignan el valor "verdadero" a cada elemento del conjunto y el valor "falso" a todo lo demás. Se suele decir que denotan conjuntos en lugar de funciones características, aunque, estrictamente hablando, esta última denominación es más precisa. Ejemplos de expresiones de este tipo son los predicados , los sustantivos y algunos tipos de adjetivos .
En general, expresiones de tipos complejos $\langle a,b\rangle$ denotan funciones del conjunto de entidades de tipo $a$ al conjunto de entidades de tipo $b$ , una construcción que podemos escribir de la siguiente manera: $D_{b}^{D_{a}}$ .

Ahora podemos asignar tipos a las palabras de nuestra oración anterior (Every boy sleeps) de la siguiente manera.

Tipo(niño) = $\langle e,t\rangle$
Tipo(duerme) = $\langle e,t\rangle$
Tipo(cada) = $\langle \langle e,t\rangle ,\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle \rangle$
Tipo(todos los niños) = $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$

y así podemos ver que el cuantificador generalizado en nuestro ejemplo es de tipo $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$

Así, cada denota una función de un conjunto a una función de un conjunto a un valor de verdad. Dicho de otro modo, denota una función de un conjunto a un conjunto de conjuntos. Es aquella función que para cualesquiera dos conjuntos A, B , cada ( A )( B ) = 1 si y solo si $A\subseteq B$ .

cálculo lambda tipado

Una forma útil de escribir funciones complejas es el cálculo lambda . Por ejemplo, se puede escribir el significado de "duerme" como la siguiente expresión lambda, que es una función de un individuo x a la proposición de que x duerme . $\lambda x.\mathrm {sleep} '(x)$ Dichos términos lambda son funciones cuyo dominio es lo que precede al punto y cuyo rango es el tipo de cosa que sigue al punto. Si x es una variable que abarca elementos de $D_{e}$ , entonces el siguiente término lambda denota la función identidad en los individuos: $\lambda x.x$

Ahora podemos escribir el significado de cada uno con el siguiente término lambda, donde X,Y son variables de tipo $\langle e,t\rangle$ : $\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y$

Si abreviamos el significado de niño y duerme como " B " y " S ", respectivamente, tenemos que la oración " todo niño duerme ahora" significa lo siguiente: $(\lambda X.\lambda Y.X\subseteq Y)(B)(S)$ Por β-reducción , $(\lambda Y.B\subseteq Y)(S)$ y $B\subseteq S$

La expresión every es un determinante . Combinada con un sustantivo , produce un cuantificador generalizado de tipo $\langle \langle e,t\rangle ,t\rangle$ .

Propiedades

Monotonicidad

GQ monótonas en aumento

Se dice que un cuantificador generalizado GQ es monótono creciente (también llamado implicación ascendente ) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

si

X\subseteq Y

, entonces GQ( X ) implica GQ( Y ).

El GQ cada chico es monótonamente creciente. Por ejemplo, el conjunto de cosas que corren rápido es un subconjunto del conjunto de cosas que corren . Por lo tanto, la primera oración a continuación implica la segunda:

Todos los niños corren rápido.
Todos los niños corren.

GQ monótonos decrecientes

Se dice que un GQ es monótono decreciente (también llamado implicativo descendente ) si, para cada par de conjuntos X e Y , se cumple lo siguiente:

Si

X\subseteq Y

, entonces GQ( Y ) implica GQ( X ).

Un ejemplo de GQ monótono decreciente es no boy . Para este GQ tenemos que la primera oración a continuación implica la segunda.

Ningún niño corre.
Ningún niño corre rápido.

El término lambda para el determinante no es el siguiente. Indica que los dos conjuntos tienen una intersección vacía . $\lambda X.\lambda Y.X\cap Y=\emptyset$ Las expresiones GQ monótonas decrecientes se encuentran entre las que pueden admitir un elemento de polaridad negativa , como cualquier . Las expresiones GQ monótonas crecientes no admiten elementos de polaridad negativa.

Bien: Ningún chico tiene dinero .
Malo: *Todos los chicos tienen dinero .

GQ no monótonos

Se dice que una GQ no es monótona si no es ni monótona creciente ni monótona decreciente. Un ejemplo de tal GQ es exactamente tres niños . Ninguna de las siguientes oraciones implica a la otra.

Exactamente tres estudiantes corrieron.
Exactamente tres estudiantes corrieron rápido.

La primera oración no implica la segunda. El hecho de que tres estudiantes hayan corrido no implica que cada uno de ellos haya corrido rápido , por lo que el número de estudiantes que lo hicieron puede ser menor que 3. A la inversa, la segunda oración no implica la primera. La oración « exactamente tres estudiantes corrieron rápido» puede ser verdadera, aunque el número de estudiantes que simplemente corrieron (es decir, no muy rápido) sea mayor que 3.

El término lambda para el determinante (complejo) exactamente tres es el siguiente. Indica que la cardinalidad de la intersección entre los dos conjuntos es igual a 3. $\lambda X.\lambda Y.|X\cap Y|=3$

Conservadurismo

Se dice que un determinante D es conservador si se cumple la siguiente equivalencia: $D(A)(B)\leftrightarrow D(A)(A\cap B)$ Por ejemplo, las dos oraciones siguientes son equivalentes.

Todos los niños duermen.
Todo niño es un niño que duerme.

Se ha propuesto que todos los determinantes —en todos los idiomas naturales— son conservadores. ^[²^] La expresión «only» no es conservadora. Las siguientes dos oraciones no son equivalentes. Pero, de hecho, no es común analizar «only» como un determinante . Más bien, se trata habitualmente como un adverbio sensible al foco .

Solo duermen los chicos.
Solo los niños son niños cuando duermen.

Véase también

Referencias

↑ Montague, Richard (1974). «El tratamiento adecuado de la cuantificación en inglés». En Kulas, J.; Fetzer, JH; Rankin, TL (eds.). Filosofía, lenguaje e inteligencia artificial (PDF) . Estudios en sistemas cognitivos. Vol. 2. Springer, Dordrecht. pp. 141–162 . doi : 10.1007/978-94-009-2727-8_7 . ISBN 978-94-010-7726-2.
1 2 Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). "Cuantificadores generalizados y lenguaje natural" . Lingüística y Filosofía . 4 (2): 159– 219. doi : 10.1007/BF00350139 .
↑ Schmerl, James H.; Simpson, Stephen G. (junio de 1982). "Sobre el papel de los cuantificadores de Ramsey en la aritmética de primer orden" . The Journal of Symbolic Logic . 47 (2): 423– 435. doi : 10.2307/2273152 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2273152 .
↑ Aquí, Heinrich; Krynicki, Michał; Pinus, Alejandro; Väänänen, Jouko (diciembre de 1991). "El cuantificador de Härtig: una encuesta" . La revista de lógica simbólica . 56 (4): 1153–1183.doi : 10.2307 / 2275466 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2275466 .

Lecturas adicionales

Stanley Peters ; Dag Westerståhl (2006). Cuantificadores en el lenguaje y la lógica . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-929125-0.
Antonio Badia (2009). Cuantificadores en acción: Cuantificación generalizada en lenguajes de consulta, lógicos y naturales . Springer. ISBN 978-0-387-09563-9.
Wągiel M (2021). Cuantificación subatómica (pdf) . Berlín: Language Science Press. doi : 10.5281/zenodo.5106382 . ISBN 978-3-98554-011-2.

Enlaces externos

Dag Westerståhl, 2011. ' Cuantificadores generalizados '. Enciclopedia de filosofía de Stanford .

[1] Montague, Richard (1974). «El tratamiento adecuado de la cuantificación en inglés». En Kulas, J.; Fetzer, JH; Rankin, TL (eds.). Filosofía, lenguaje e inteligencia artificial (PDF) . Estudios en sistemas cognitivos. Vol. 2. Springer, Dordrecht. pp. 141–162 . doi : 10.1007/978-94-009-2727-8_7 . ISBN 978-94-010-7726-2.

[Barwise-2] 1 2 Barwise, Jon ; Cooper, Robin (1981). "Cuantificadores generalizados y lenguaje natural" . Lingüística y Filosofía . 4 (2): 159– 219. doi : 10.1007/BF00350139 .

[3] Schmerl, James H.; Simpson, Stephen G. (junio de 1982). "Sobre el papel de los cuantificadores de Ramsey en la aritmética de primer orden" . The Journal of Symbolic Logic . 47 (2): 423– 435. doi : 10.2307/2273152 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2273152 .

[4] Aquí, Heinrich; Krynicki, Michał; Pinus, Alejandro; Väänänen, Jouko (diciembre de 1991). "El cuantificador de Härtig: una encuesta" . La revista de lógica simbólica . 56 (4): 1153–1183.doi : 10.2307 / 2275466 . ISSN 0022-4812 . JSTOR 2275466 .

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