Número pentagonal

Un número pentagonal es un número figurado que extiende el concepto de números triangulares y cuadrados al pentágono , pero, a diferencia de los dos primeros, los patrones involucrados en la construcción de números pentagonales no son simétricos rotacionalmente . El n -ésimo número pentagonal p _n es el número de puntos distintos en un patrón de puntos que consiste en los contornos de pentágonos regulares con lados de hasta n puntos, cuando los pentágonos se superponen de manera que comparten un vértice . Por ejemplo, el tercero está formado por contornos que comprenden 1, 5 y 10 puntos, pero el 1 y el 3 del 5 coinciden con el 3 del 10, dejando 12 puntos distintos, 10 en forma de pentágono y 2 en el interior.

p _n viene dado por la fórmula:

${\displaystyle p_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}}$

para n ≥ 1. Los primeros números pentagonales son:

1 , 5 , 12 , 22 , 35 , 51 , 70 , 92 , 117 , 145 , 176 , 210 , 247 , 287 , 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001 , 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (secuencia A000326 en el OEIS ) .

El n -ésimo número pentagonal es la suma de n enteros comenzando desde n (es decir, desde n hasta 2n − 1). También se cumplen las siguientes relaciones:

${\displaystyle p_{n}=p_{n-1}+3n-2=2p_{n-1}-p_{n-2}+3}$

Los números pentagonales están estrechamente relacionados con los números triangulares. El n -ésimo número pentagonal es un tercio del (3n − 1) -ésimo número triangular . Además, donde T _n es el n- ésimo número triangular:

${\displaystyle p_{n}=T_{n-1}+n^{2}=T_{n}+2T_{n-1}=T_{2n-1}-T_{n-1}}$

Los números pentagonales generalizados se obtienen a partir de la fórmula dada anteriormente, pero con n tomando valores en la secuencia 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4..., produciendo la secuencia:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (secuencia A001318 en el OEIS ) .

Los números pentagonales generalizados son importantes para la teoría de particiones enteras de Euler , tal como se expresa en su teorema de los números pentagonales .

El número de puntos dentro del pentágono más externo de un patrón que forma un número pentagonal es, en sí mismo, un número pentagonal generalizado.

• ${\displaystyle p_{n}}$para n>0 es el número de composiciones diferentes de${\displaystyle n+8}$en n partes que no incluyan 2 o 3.
• ${\displaystyle p_{n}}$es la suma de los primeros n números naturales congruentes con 1 mod 3.
• ${\displaystyle p_{8n}-p_{8n-1}=p_{2n+2}-p_{2n-2}}$

Los números pentagonales generalizados están estrechamente relacionados con los números hexagonales centrados . Cuando la matriz correspondiente a un número hexagonal centrado se divide entre su fila central y una fila adyacente, aparece como la suma de dos números pentagonales generalizados, siendo la parte mayor un número pentagonal propiamente dicho:

En general:

${\displaystyle 3n(n-1)+1={\tfrac {1}{2}}n(3n-1)+{\tfrac {1}{2}}(1-n){\bigl (}3(1-n)-1{\bigr )}}$

donde ambos términos de la derecha son números pentagonales generalizados y el primer término es un número pentagonal propiamente dicho ( n ≥ 1). Esta división de matrices hexagonales centradas da como resultado matrices trapezoidales para los números pentagonales generalizados, que pueden interpretarse como diagramas de Ferrers para su partición. De esta forma, pueden utilizarse para demostrar el teorema de los números pentagonales mencionado anteriormente.

Una fórmula para la suma de los recíprocos de los números pentagonales viene dada por $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2}{n\left(3n-1\right)}}=3\ln \left(3\right)-{\frac {\pi }{\sqrt {3}}}.}$$

Dado un entero positivo x , para comprobar si es un número pentagonal (no generalizado) podemos calcular

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}$

El número x es pentagonal si y solo si n es un número natural . En ese caso, x es el n -ésimo número pentagonal.

Para números pentagonales generalizados, basta con comprobar si 24x + 1 es un cuadrado perfecto.

Para números pentagonales no generalizados, además de la prueba del cuadrado perfecto, también es necesario comprobar si

${\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}$

Las propiedades matemáticas de los números pentagonales aseguran que estas pruebas son suficientes para probar o refutar la pentagonalidad de un número. ^{[ 1 ]}

El gnomon del n- ésimo número pentagonal es:

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=3n+1}$

Un número pentagonal cuadrado es un número pentagonal que también es un cuadrado perfecto. ^{[ 2 ]}

Los primeros son:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... ( Entrada OEIS A036353 )

En teoría de números, un número triangular cuadrado pentagonal es un entero positivo que es simultáneamente un número pentagonal, un número cuadrado y un número triangular. Esto requiere resolver el siguiente sistema de ecuaciones diofánticas.

${\displaystyle P_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}=T_{m}={\frac {m(m+1)}{2}}=k^{2}}$

dónde${\displaystyle P_{n}}$es el${\displaystyle n}$-ésimo número pentagonal,${\displaystyle T_{m}}$es el${\displaystyle m}$-ésimo número triangular, y${\displaystyle k^{2}}$es un número cuadrado.

Las soluciones a este problema se pueden encontrar comparando los números triangulares pentagonales con los números cuadrados. Aparte de la solución trivial de 1, las búsquedas computacionales de los primeros 9690 números triangulares pentagonales no han revelado otros números cuadrados, lo que sugiere que no existen otros números triangulares cuadrados pentagonales por debajo de este límite. ^{[ 3 ]}

Aunque aún no se ha publicado ninguna prueba formal, el trabajo de J. Sillcox entre 2003 y 2006 aplicó los resultados del artículo de WS Anglin de 1996 sobre ecuaciones de Pell simultáneas a este problema. Anglin demostró que las ecuaciones de Pell simultáneas tienen exactamente 19.900 soluciones con${\displaystyle x,y<10^{20000}}$. ^{[ 4 ]} Sillcox demostró que el problema del número triangular cuadrado pentagonal se puede reducir a resolver la ecuación:

${\displaystyle x^{2}-6y^{2}=-5}$

Esto sitúa el problema dentro del alcance de la demostración de Anglin. Para${\displaystyle x=1}$y${\displaystyle y=1}$, solo existe la solución trivial. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

• Número hexagonal
• Número triangular

• Leonhard Euler: Sobre las notables propiedades de los números pentagonales