Distribución beta generalizada

Se puede demostrar que el momento h se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+h/a,h/a;c\\p+q+h/a;\end{bmatrix}},}$

dónde${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$denota la serie hipergeométrica (que converge para todo h si c < 1, o para todo h / a < q si c = 1).

La beta generalizada de primer tipo se define mediante la siguiente función de densidad de probabilidad:

${\displaystyle GB1(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}(1-(y/b)^{a})^{q-1}}{b^{ap}B(p,q)}}}$

para${\displaystyle 0<y^{a}<b^{a}}$dónde${\displaystyle b}$,${\displaystyle p}$, y${\displaystyle q}$son positivos. Se puede verificar fácilmente que

${\displaystyle GB1(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=0,p,q).}$

Los momentos del GB1 vienen dados por

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB1}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,q)}{B(p,q)}}.}$

La GB1 incluye la beta de primera especie (B1), la gamma generalizada (GG) y la Pareto (PA) como casos especiales:

${\displaystyle B1(y;b,p,q)=GB1(y;a=1,b,p,q),}$

${\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\to \infty }GB1(y;a,b=q^{1/a}\beta ,p,q),}$

${\displaystyle PA(y;b,p)=GB1(y;a=-1,b,p,q=1).}$

El GB2 se define en el siguiente PDF:

${\displaystyle GB2(y;a,b,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}}{b^{ap}B(p,q)(1+(y/b)^{a})^{p+q}}}}$

para${\displaystyle 0<y<\infty }$y cero en caso contrario. Se puede verificar que

${\displaystyle GB2(y;a,b,p,q)=GB(y;a,b,c=1,p,q).}$

Los momentos del GB2 están dados por

${\displaystyle \operatorname {E} _{GB2}(Y^{h})={\frac {b^{h}B(p+h/a,qh/a)}{B(p,q)}}.}$

La GB2 también se conoce como Beta Prima Generalizada (Patil, Boswell, Ratnaparkhi (1984)), ^{[ 2 ]} la beta transformada (Venter, 1983), ^{[ 3 ]} la F generalizada (Kalfleisch y Prentice, 1980), ^{[ 4 ]} y es un caso especial (μ≡0) de la distribución de Feller-Pareto (Arnold, 1983) ^{[ 5 ]} . La GB2 incluye distribuciones comunes como la gamma generalizada (GG), Burr tipo 3, Burr tipo 12 , Dagum , lognormal , Weibull , gamma , Lomax , estadística F , Fisk o Rayleigh , chi-cuadrado , seminormal , semi-t de Student , exponencial , log-Laplace asimétrica, log-Laplace , función de potencia y log-logística . ^{[ 6 ]}

La familia beta de distribuciones (B) se define por: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle B(y;b,c,p,q)={\frac {y^{p-1}(1-(1-c)(y/b))^{q-1}}{b^{p}B(p,q)(1+c(y/b))^{p+q}}}}$

para${\displaystyle 0<y<b/(1-c)}$y cero en caso contrario. Su relación con GB se muestra a continuación:

${\displaystyle B(y;b,c,p,q)=GB(y;a=1,b,c,p,q).}$

La familia beta incluye la beta de primera y segunda especie ^{[ 7 ]} (B1 y B2, donde B2 también se denomina Beta prima ), que corresponden a c = 0 y c = 1, respectivamente. Estableciendo${\displaystyle c=0}$,${\displaystyle b=1}$produce la distribución beta estándar de dos parámetros .

La distribución gamma generalizada (GG) es un caso límite de la GB2. Su PDF se define por: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle GG(y;a,\beta ,p)=\lim _{q\rightarrow \infty }GB2(y,a,b=q^{1/a}\beta ,p,q)={\frac {|a|y^{ap-1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{ap}\Gamma (p)}}}$

con el${\displaystyle h}$momentos dados por

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{GG}^{h})={\frac {\beta ^{h}\Gamma (p+h/a)}{\Gamma (p)}}.}$

Como se mencionó anteriormente, el árbol genealógico de distribución GB representa visualmente los casos especiales y límite (ver McDonald y Xu (1995)).

La distribución de Pareto (PA) es el siguiente caso límite de la distribución gamma generalizada:

${\displaystyle PA(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow -\infty }GG(y;a,\beta ,p=-\theta /a)=\lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }(-\theta /a)\Gamma (-\theta /a)}}\right)=}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow -\infty }\left({\frac {\theta y^{-\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{-\theta }\Gamma (1-\theta /a)}}\right)={\frac {\theta y^{-\theta -1}}{\beta ^{-\theta }}}}$para${\displaystyle \beta <y}$y${\displaystyle 0}$de lo contrario.

La distribución de la función de potencia (P) es el siguiente caso límite de la distribución gamma generalizada:

${\displaystyle P(y;\beta ,\theta )=\lim _{a\rightarrow \infty }GG(y;a=\theta /p,\beta ,p)=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\mid {\frac {\theta }{p}}|y^{\theta -1}e^{-(y/\beta )^{a}}}{\beta ^{\theta }\Gamma (p)}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{p\Gamma (p)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=}$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma (p+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}=\lim _{a\rightarrow \infty }{\frac {\theta y^{\theta -1}}{\Gamma ({\frac {\theta }{a}}+1)\beta ^{\theta }}}e^{-(y/\beta )^{a}}={\frac {\theta y^{\theta -1}}{\beta ^{\theta }}}}$para${\displaystyle 0<y<\beta }$y${\displaystyle \theta >0}$.

La distribución log-Laplace asimétrica (también conocida como distribución de Pareto doble ^{[ 9 ]} ) se define por: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle ALL(y;b,\lambda _{1},\lambda _{2})=\lim _{a\rightarrow \infty }GB2(y;a,b,p=\lambda _{1}/a,q=\lambda _{2}/a)={\frac {\lambda _{1}\lambda _{2}}{y(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{\begin{cases}({\frac {y}{b}})^{\lambda _{1}}&{\mbox{for }}0<y<b\\({\frac {b}{y}})^{\lambda _{2}}&{\mbox{for }}y\geq b\end{cases}}}$

donde el${\displaystyle h}$Los momentos están dados por

${\displaystyle \operatorname {E} (Y_{ALL}^{h})={\frac {b^{h}\lambda _{1}\lambda _{2}}{(\lambda _{1}+h)(\lambda _{2}-h)}}.}$

Cuando${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$, esto es equivalente a la distribución log-Laplace .

Utilizando una notación similar a la anterior, la función generadora de momentos del EGB se puede expresar de la siguiente manera:

${\displaystyle M_{EGB}(Z)={\frac {e^{\delta t}B(p+t\sigma ,q)}{B(p,q)}}{}_{2}F_{1}{\begin{bmatrix}p+t\sigma ,t\sigma ;c\\p+q+t\sigma$ ;\end{bmatrix}}.}

Cuando cada${\displaystyle c_{i}}$Si es igual a 0, la función MGB se simplifica a la beta generalizada multivariada de primer tipo (MGB1), que se define por:

${\displaystyle MGB1(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})(1-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{q-1}}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)}}}$

dónde${\displaystyle 0}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}}}$${\displaystyle <}$${\displaystyle 1}$.

En el caso donde cada${\displaystyle c_{i}}$Si es igual a 1, el MGB se simplifica al beta generalizado multivariado de segundo tipo (MGB2), con la función de densidad de probabilidad definida a continuación:

${\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q)={\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}b_{i}^{a_{i}p_{i}})B(p_{1},...,p_{n},q)(1+\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}+q}}}}$

cuando${\displaystyle 0}$${\displaystyle <}$${\displaystyle y_{i}}$a pesar de${\displaystyle y_{i}}$.

La función de densidad de probabilidad gamma generalizada multivariada (MGG) se puede derivar de la función de densidad de probabilidad MGB sustituyendo${\displaystyle b_{i}}$=${\displaystyle \beta _{i}q^{\frac {1}{a_{i}}}}$y tomando el límite como${\displaystyle q}$${\displaystyle \to }$${\displaystyle \infty }$, con la aproximación de Stirling para la función gamma, se obtiene la siguiente función:

${\displaystyle MGG(y;a,\beta ,p)=({\frac {(\prod _{i=1}^{n}|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1})}{(\prod _{i=1}^{n}\beta _{i}^{a_{i}p_{i}})\Gamma (p_{i})}})e^{-\sum _{i=1}^{n}({\frac {y_{i}}{\beta _{i}}})^{a_{i}}}=\prod _{i=1}^{n}GG(y_{i};a_{i},\beta _{i},p_{i})}$

que es el producto de variables aleatorias gamma generalizadas distribuidas de forma independiente, pero no necesariamente idéntica.

Se pueden construir funciones de densidad de probabilidad (FDP) similares para otras variables en el árbol genealógico mostrado anteriormente, simplemente colocando una M delante de cada nombre de FDP y encontrando los casos límite y especiales apropiados del MGB según lo indicado por las restricciones y límites de la distribución univariada. Otras FDP multivariadas en la literatura incluyen la distribución de Dirichlet (forma estándar) dada por${\displaystyle MGB1(y;a=1,b=1,p,q)}$, la distribución beta invertida multivariada y la distribución de Dirichlet invertida (tipo 2 de Dirichlet) dada por${\displaystyle MGB2(y;a=1,b=1,p,q)}$y la distribución de Burr multivariada dada por${\displaystyle MGB2(y;a,b,p,q=1)}$.

Las funciones de densidad marginales de MGB1 y MGB2, respectivamente, son las distribuciones beta generalizadas de primer y segundo tipo, y se dan de la siguiente manera:

${\displaystyle GB1(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}(1-({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{{\bar {p}}-p_{i}+q-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},{\bar {p}}-p_{i}+q)}}}$

${\displaystyle GB2(y_{i};a_{i},b_{i},p_{i},q)={\frac {|a_{i}|y_{i}^{a_{i}p_{i}-1}}{b_{i}^{a_{i}p_{i}}B(p_{i},q)(1+({\frac {y_{i}}{b_{i}}})^{a_{i}})^{p_{i}+q}}}}$

La GB2 y varios de sus casos especiales y límite se han utilizado ampliamente como modelos para la distribución del ingreso. Para algunos ejemplos iniciales, véanse Thurow (1970), ^{[ 13 ]} Dagum (1977), ^{[ 14 ]} Singh y Maddala (1976), ^{[ 15 ]} y McDonald (1984). ^{[ 6 ]} Las estimaciones de máxima verosimilitud utilizando datos individuales, agrupados o codificados en los extremos se realizan fácilmente con estas distribuciones.

Las medidas de desigualdad, como el índice de Gini (G), el índice de Pietra (P) y el índice de Theil (T), pueden expresarse en términos de los parámetros de distribución, como lo indican McDonald y Ransom (2008): ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}G=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-X|)=\left(P{\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }|x-y|f(x)f(y)\,dxdy\\=1-{\frac {\int _{0}^{\infty }(1-F(y))^{2}\,dy}{\int _{0}^{\infty }(1-F(y))\,dy}}\\P=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\operatorname {E} (|Y-\mu |)=\left({\frac {1}{2\mu }}\right)\int _{0}^{\infty }|y-\mu |f(y)\,dy\\T=\operatorname {E} (\ln(Y/\mu )^{Y/\mu })=\int _{0}^{\infty }(y/\mu )\ln(y/\mu )f(y)\,dy\end{aligned}}}$

La función de riesgo , h(s), donde f(s) es una función de densidad de probabilidad y F(s) la función de distribución acumulada correspondiente, se define por

${\displaystyle h(s)={\frac {f(s)}{1-F(s)}}}$

Las funciones de riesgo son útiles en numerosas aplicaciones, como la modelización de la duración del desempleo, el tiempo de fallo de los productos o la esperanza de vida. Por ejemplo, si s representa la duración de la vida, h(s) es la tasa de mortalidad a la edad s, dado que un individuo ha vivido hasta esa edad. La función de riesgo para los datos de mortalidad humana podría presentar la siguiente forma: una disminución de la mortalidad en los primeros meses de vida, seguida de un período de mortalidad relativamente constante y, finalmente, una mayor probabilidad de muerte en edades avanzadas.

Los casos especiales de la distribución beta generalizada ofrecen mayor flexibilidad para modelar la forma de la función de riesgo, que puede requerir formas "∪" o "∩" o líneas estrictamente crecientes (denotadas por I) o decrecientes (denotadas por D). La gamma generalizada tiene forma "∪" para a>1 y p<1/a, forma "∩" para a<1 y p>1/a, forma I para a>1 y p>1/a y forma D para a<1 y p>1/a. ^{[ 17 ]} Esto se resume en la figura siguiente. ^{[ 18 ] [ 19 ]}