Desigualdad de correlación gaussiana

La desigualdad de correlación gaussiana ( GCI ), anteriormente conocida como la conjetura de correlación gaussiana ( GCC ), es un teorema matemático en los campos de la estadística matemática y la geometría convexa .

La desigualdad de correlación gaussiana establece:

Dejar${\displaystyle \mu }$sea ​​una medida de probabilidad gaussiana n -dimensional en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, es decir${\displaystyle \mu }$una distribución normal multivariada , centrada en el origen. Entonces, para todos los conjuntos convexos${\displaystyle E,F\subset \mathbb {R} ^{n}}$que son simétricas respecto al origen ,

${\displaystyle \mu (E\cap F)\geq \mu (E)\cdot \mu (F).}$

Como ejemplo sencillo para n = 2, podemos imaginar dardos lanzados a una diana, cuyos puntos de impacto en el plano se distribuyen según una distribución normal bivariada centrada en el origen. (Esta es una suposición razonable para cualquier jugador de dardos, ya que cada jugador se describe mediante una distribución normal distinta). Si ahora consideramos un círculo y un rectángulo en el plano, ambos centrados en el origen, la proporción de dardos que impactan en la intersección de ambas figuras no es menor que el producto de las proporciones de dardos que impactan en cada figura. Esto también se puede formular en términos de probabilidades condicionales : si se nos informa que nuestro último dardo impactó en el rectángulo, esta información aumentará nuestra estimación de la probabilidad de que el dardo impactara en el círculo.

En 1955 se conjeturó un caso especial de la desigualdad; ^{[ 1 ]} Olive Jean Dunn lo desarrolló aún más en 1958. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El caso general se enunció en 1972, también como una conjetura. ^{[ 4 ]} El caso de dimensión n =2 se demostró en 1977 ^{[ 5 ]} y ciertos casos especiales de dimensión superior también se han demostrado en años posteriores. ^{[ 6 ]}

El caso general de la desigualdad permaneció abierto hasta 2014, cuando Thomas Royen , un estadístico alemán jubilado, lo demostró utilizando herramientas relativamente elementales. ^{[ 7 ]} De hecho, Royen generalizó la conjetura y la demostró para distribuciones gamma multivariadas . La demostración no recibió mucha atención cuando se publicó en 2014, debido al relativo anonimato de Royen y al hecho de que se publicó en el Far East Journal of Theoretical Statistics , que no era una revista de renombre en el campo. ^{[ 2 ]} Otra razón fue el historial de demostraciones falsas (por otros) y muchos intentos fallidos de demostrar la conjetura, lo que causó escepticismo entre los matemáticos del campo. ^{[ 2 ]}

La conjetura, y su solución, llegaron a la atención pública en 2017, cuando otros matemáticos describieron la demostración de Royen en una publicación convencional ^{[ 8 ]} y los medios populares informaron sobre la historia. ^{[ 2 ] [ 9 ] [ 10 ]}

• George Lowther, La conjetura de la correlación gaussiana , "Casi seguro"