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factor de Lorentz

Definición del factor de Lorentz γ El factor de Lorentz o término de Lorentz (también conocido como factor gamma [ 1 ] ) es una magnitud adimensional que expresa cuánto cambian ...

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Definición del factor de Lorentz γ

El factor de Lorentz o término de Lorentz (también conocido como factor gamma [ 1 ] ) es una magnitud adimensional que expresa cuánto cambian las mediciones de tiempo, longitud y otras propiedades físicas de un objeto mientras se mueve. Esta expresión aparece en varias ecuaciones de la relatividad especial y surge en las derivaciones de las transformaciones de Lorentz . Su nombre proviene de su aparición anterior en la electrodinámica lorentziana , que recibió su nombre del físico neerlandés Hendrik Lorentz . [ 2 ]

Generalmente se denota con γ (la letra griega minúscula gamma ). A veces (especialmente en discusiones sobre movimiento superlumínico ) el factor se escribe como Γ (gamma griega mayúscula) en lugar de γ .

Definición

El factor de Lorentz γ se define como [ 3 ]γ=11−v2do2=11−β2=dtdτ,{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},} dónde:

Esta es la forma más utilizada en la práctica, aunque no la única (véase más abajo para ver las formas alternativas).

El factor de Lorentz se representa como un triángulo rectángulo en un cuadrante de radio 1. [ 4 ]

Para complementar la definición, algunos autores definen el recíproco [ 5 ].α=1γ=1−v2do2 =1−β2;{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};} ver fórmula de adición de velocidad .

Aparición

A continuación se muestra una lista de fórmulas de la relatividad especial que utilizan γ como abreviatura: [ 3 ] [ 6 ]

  • La transformación de Lorentz : El caso más simple es una transformación en la dirección x (formas más generales que incluyen direcciones y rotaciones arbitrarias no se enumeran aquí), que describe cómo cambian las coordenadas del espacio-tiempo de un marco inercial usando coordenadas ( x , y , z , t ) a otro ( x ' , y ' , z ' , t ' ) con velocidad relativa v :t′=γ(t−vincógnitado2),incógnita′=γ(incógnita−vt).{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}

Los corolarios de las transformaciones anteriores son los resultados:

  • Dilatación del tiempo : El tiempo ( ∆t ′ ) entre dos tics , medido en el sistema de referencia en el que se mueve el reloj, es mayor que el tiempo ( ∆t ) entre estos tics, medido en el sistema de referencia en reposo del reloj:Δt′=γΔt.{\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}
  • Contracción de longitud : La longitud ( ∆x ′ ) de un objeto , medida en el sistema de referencia en el que se mueve, es menor que su longitud ( ∆x ) en su propio sistema de referencia en reposo:Δincógnita′=Δincógnita/γ.{\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}

La aplicación de la conservación del momento y la energía conduce a los siguientes resultados:

  • Masa relativista : La masa relativista m de un objeto en movimiento depende deγ{\displaystyle \gamma }y la masa en reposo m 0 :metro=γmetro0.{\displaystyle m=\gamma m_{0}.}
  • Momento relativista : La relación del momento relativista tiene la misma forma que la del momento clásico, pero utilizando la masa relativista mencionada anteriormente:pag→=metrov→=γmetro0v→.{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}
  • Energía cinética relativista : La relación de energía cinética relativistaadopta la siguiente forma ligeramente modificada:mik=mi−mi0=(γ−1)metro0do2{\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}Comoγ{\displaystyle \gamma }es una función devdo{\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}, el límite no relativista dalímitev/do→0mik=12metro0v2{\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}, como cabía esperar de las consideraciones newtonianas.

Valores numéricos

El factor de Lorentz γ se expresa como una función de la velocidad, expresada como una fracción de la velocidad de la luz (v/c). Su valor inicial es 1 (cuando v = 0 ); y a medida que la velocidad se aproxima a la velocidad de la luz ( v → c ), γ aumenta sin límite ( γ → ∞).
α (factor de Lorentz inverso) en función de la velocidad: un arco circular.

En la tabla siguiente, la columna de la izquierda muestra las velocidades como diferentes fracciones de la velocidad de la luz (es decir, en unidades de c ). La columna central muestra el factor de Lorentz correspondiente, y la última es su recíproco. Los valores en negrita son exactos.

Gráfico logarítmico del factor de Lorentz γ (izquierda) y 1/ γ (derecha) frente a la fracción de la velocidad de la luz β (abajo) y 1− β (arriba).

Representaciones alternativas

Existen otras formas de escribir el factor. Arriba se utilizó la velocidad v , pero también pueden ser convenientes variables relacionadas como el momento y la rapidez .

Impulso

Resolver la ecuación de momento relativista anterior para γ conduce a γ=1+(pagmetro0do)2.{\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.} Esta forma se usa raramente, aunque aparece en la distribución de Maxwell-Jüttner . [ 7 ]

Rapidez

Aplicando la definición de rapidez como el ángulo hiperbólicoφ{\displaystyle \varphi }: [ 8 ]tanh⁡φ=β{\displaystyle \tanh \varphi =\beta } también conduce a γ (mediante el uso de identidades hiperbólicas ): γ=aporrear⁡φ=11−tanh2⁡φ=11−β2.{\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

Utilizando la propiedad de la transformación de Lorentz , se puede demostrar que la rapidez es aditiva, una propiedad útil que la velocidad no posee. Por lo tanto, el parámetro de rapidez forma un grupo de un parámetro , lo que constituye la base de los modelos físicos.

función de Bessel

La identidad de Bunney representa el factor de Lorentz en términos de una serie infinita de funciones de Bessel : [ 9 ]∑metro=1∞(Jmetro−12(metroβ)+Jmetro+12(metroβ))=11−β2.{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

Expansión en serie (velocidad)

El factor de Lorentz tiene la siguiente serie de Maclaurin : γ=11−β2=∑norte=0∞β2norte∏k=1norte(2k−12k)=1+12β2+38β4+516β6+35128β8+63256β10+⋯,{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}} que es un caso especial de una serie binomial .

La aproximaciónγ≈1+12β2{\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}Puede utilizarse para calcular efectos relativistas a bajas velocidades. Su precisión es del 1 % para v < 0,4 c ( v < 120 000 km/s) y del 0,1 % para v < 0,22 c ( v < 66 000 km/s).        

Las versiones truncadas de esta serie también permiten a los físicos demostrar que la relatividad especial se reduce a la mecánica newtoniana a bajas velocidades. Por ejemplo, en la relatividad especial se cumplen las dos ecuaciones siguientes:

pag=γmetrov,mi=γmetrodo2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}

Paraγ≈1{\displaystyle \gamma \approx 1}yγ≈1+12β2{\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}, respectivamente, estos se reducen a sus equivalentes newtonianos:

pag=metrov,mi=metrodo2+12metrov2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}

La ecuación del factor de Lorentz también se puede invertir para obtener β=1−1γ2.{\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.} Esto tiene una forma asintótica β=1−12γ−2−18γ−4−116γ−6−5128γ−8+⋯.{\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.}

Los dos primeros términos se utilizan ocasionalmente para calcular rápidamente las velocidades a partir de valores grandes de γ . La aproximaciónβ≈1−12γ−2{\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}se mantiene dentro de una tolerancia del 1% para γ > 2 y dentro de una tolerancia del 0,1% para γ > 3,5 .

Aplicaciones en astronomía

El modelo estándar de estallidos de rayos gamma (GRB) de larga duración sostiene que estas explosiones son ultrarrelativistas ( γ inicial mayor que aproximadamente 100), lo que se invoca para explicar el llamado problema de la "compacidad": en ausencia de esta expansión ultrarrelativista, la materia eyectada sería ópticamente gruesa para la producción de pares a energías espectrales máximas típicas de unos pocos cientos de  keV, mientras que se observa que la emisión inmediata no es térmica. [ 10 ]

Los muones , partículas subatómicas, viajan a una velocidad tal que poseen un factor de Lorentz relativamente alto y, por lo tanto, experimentan una dilatación temporal extrema . Dado que los muones tienen una vida media de tan solo 2,2 μs , los muones generados por colisiones de rayos cósmicos a 10 km (6,2 millas) de altura en la atmósfera terrestre deberían ser indetectables en la superficie debido a su tasa de desintegración. Sin embargo, aproximadamente el 10 % de los muones provenientes de estas colisiones aún son detectables en la superficie, lo que demuestra los efectos de la dilatación temporal en su tasa de desintegración. [ 11 ]   

Véase también

Referencias

  1. ↑ "El factor gamma" . webs.morningside.edu . Consultado el 14 de enero de 2024 .
  2. ↑ Tyson, Neil deGrasse ; Liu, Charles Tsun-Chu ; Irion, Robert. "La teoría especial de la relatividad" . Un universo . Academias Nacionales de Ciencias, Ingeniería y Medicina . Archivado del original el 25 de julio de 2021. Consultado el 6 de enero de 2024 .
  3. 1 2 Forshaw, Jeffrey; Smith, Gavin (2014). Dinámica y relatividad . John Wiley & Sons . pág. 118. ISBN  978-1-118-93329-9.
  4. ↑ Wyrd Smythe, SR #X6: Moving at Light Speed , Logos con carne, 9 de diciembre de 2020
  5. ↑ Yaakov Friedman, Aplicaciones físicas de bolas homogéneas , Progress in Mathematical Physics 40 Birkhäuser, Boston, 2004, páginas 1-21.
  6. ↑ Young; Freedman (2008). Física universitaria de Sears y Zemansky (12.ª ed.). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN  978-0-321-50130-1.
  7. ↑ Synge, JL (1957). El gas relativista. Serie de física. North-Holland. LCCN 57-003567
  8. ↑ Cinemática Archivado el 21/11/2014 en Wayback Machine , por JD Jackson . Consulte la página 7 para la definición de rapidez.
  9. ^ Cameron RD Bunney y Jorma Louko Clase 2023. Gravedad cuántica. 40 155001
  10. ↑ Cenko, SB; et al. (2015). "iPTF14yb: El primer descubrimiento de un resplandor posterior a un estallido de rayos gamma independiente de un disparador de alta energía". Astrophysical Journal Letters . 803 (L24): 803. arXiv : 1504.00673 . Bibcode : 2015ApJ...803L..24C . doi : 10.1088/2041-8205/803/2/L24 . 
  11. ↑ "Experimento de muones en relatividad" . HyperPhysics.Phy-Astr.GSU.edu . Consultado el 6 de enero de 2024 .
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