transformación galileana

En física , una transformación galileana se utiliza para transformar las coordenadas de dos sistemas de referencia que difieren únicamente por un movimiento relativo constante dentro de las estructuras de la física newtoniana . Estas transformaciones, junto con rotaciones y traslaciones espaciales en el espacio y el tiempo, forman el grupo galileano no homogéneo (que se asume a continuación). Sin las traslaciones en el espacio y el tiempo, el grupo es el grupo galileano homogéneo . El grupo galileano es el grupo de movimientos de la relatividad galileana que actúan sobre las cuatro dimensiones del espacio y el tiempo, formando la geometría galileana . Este es el punto de vista de la transformación pasiva . En la relatividad especial, las transformaciones galileanas homogéneas y no homogéneas se reemplazan, respectivamente, por las transformaciones de Lorentz y de Poincaré ; a la inversa, la contracción del grupo en el límite clásico c → ∞ de las transformaciones de Poincaré produce transformaciones galileanas.

Las ecuaciones que aparecen a continuación solo son físicamente válidas en un marco newtoniano y no son aplicables a sistemas de coordenadas que se mueven entre sí a velocidades cercanas a la velocidad de la luz .

Galileo formuló estos conceptos en su descripción del movimiento uniforme . ^{[ 1 ]} El tema fue motivado por su descripción del movimiento de una bola rodando por una rampa , mediante la cual midió el valor numérico de la aceleración de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra .

Si bien las transformaciones reciben su nombre de Galileo, es el tiempo y el espacio absolutos, tal como los concibió Isaac Newton, los que proporcionan su dominio de definición. En esencia, las transformaciones galileanas encarnan la noción intuitiva de suma y resta de velocidades como vectores .

La notación que se muestra a continuación describe la relación bajo la transformación galileana entre las coordenadas ( x , y , z , t ) y ( x ′, y ′, z ′, t ′) de un único evento arbitrario, medido en dos sistemas de coordenadas S y S′ , en movimiento relativo uniforme ( velocidad v ) en sus direcciones comunes x y x ′ , con sus orígenes espaciales coincidiendo en el tiempo t = t ′ = 0 : ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle y'=y}$

${\displaystyle z'=z}$

${\displaystyle t'=t.}$

Cabe señalar que la última ecuación es válida para todas las transformaciones galileanas, salvo la adición de una constante, y expresa la suposición de un tiempo universal independiente del movimiento relativo de los diferentes observadores.

En el lenguaje del álgebra lineal , esta transformación se considera una aplicación de corte y se describe con una matriz que actúa sobre un vector. Con el movimiento paralelo al eje x , la transformación actúa solo sobre dos componentes:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}}}$

Si bien las representaciones matriciales no son estrictamente necesarias para la transformación galileana, proporcionan los medios para una comparación directa con los métodos de transformación en la relatividad especial.

Las simetrías galileanas pueden escribirse de forma única como la composición de una rotación , una traslación y un movimiento uniforme del espaciotiempo. ^{[ 6 ]} Sea x un punto en el espacio tridimensional y t un punto en el tiempo unidimensional. Un punto general en el espaciotiempo viene dado por un par ordenado ( x , t ) .

Un movimiento uniforme, con velocidad v , viene dado por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t),}$

donde v ∈ R ³ . Una traslación viene dada por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+s),}$

donde a ∈ R ³ y s ∈ R . Una rotación viene dada por

${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (R\mathbf {x} ,t),}$

donde R  : R ³ → R ³ es una transformación ortogonal . ^{[ 6 ]}

Como grupo de Lie , el grupo de transformaciones galileanas tiene dimensión 10. ^{[ 6 ]}

Dos transformaciones galileanas G ( R , v , a , s ) y G ( R' , v ′ , a ′ , s ′ ) se componen para formar una tercera transformación galileana,

G ( R ′ , v ′ , a ′ , s ′ ) ⋅ G ( R , v , a , s ) = G ( R ′ R , R ′ v + v ′ , R ′ a + a ′ + v ′ s , s ′ + s ) .

El conjunto de todas las transformaciones galileanas Gal(3) forma un grupo con la composición como operación de grupo.

El grupo a veces se representa como un grupo matricial con eventos espaciotemporales ( x , t , 1) como vectores donde t es real y x ∈ R ³ es una posición en el espacio. La acción viene dada por ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&v&a\\0&1&s\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\t\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Rx+vt+a\\t+s\\1\end{pmatrix}},}$

donde s es real y v , x , a ∈ R³ y R es una matriz de rotación . La composición de transformaciones se realiza mediante multiplicación de matrices . En la discusión ^, debe tenerse cuidado de no restringirse al grupo de componentes conexas de las transformaciones ortogonales.

Gal(3) tiene subgrupos con nombre. El componente identidad se denota como SGal(3) .

Sea m la matriz de transformación con parámetros v , R , s , a :

• ${\displaystyle \{m:R=I_{3}\},}$transformaciones anisotrópicas.
• ${\displaystyle \{m:s=0\},}$transformaciones isócronas.
• ${\displaystyle \{m:s=0,v=0\},}$transformaciones euclidianas espaciales.
• ${\displaystyle G_{1}=\{m:s=0,a=0\},}$transformaciones uniformemente especiales / transformaciones homogéneas, isomorfas a las transformaciones euclidianas.
• ${\displaystyle G_{2}=\{m:v=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{4},+\right),}$desplazamientos de origen/traslación en el espacio-tiempo newtoniano.
• ${\displaystyle G_{3}=\{m:s=0,a=0,v=0\}\cong \mathrm {SO} (3),}$rotaciones (del marco de referencia) (véase SO(3) ), un grupo compacto.
• ${\displaystyle G_{4}=\{m:s=0,a=0,R=I_{3}\}\cong \left(\mathbf {R} ^{3},+\right),}$Movimientos/impulsos uniformes del marco.

Los parámetros s , v , R , a abarcan diez dimensiones. Dado que las transformaciones dependen continuamente de s , v , R , a , Gal(3) es un grupo continuo , también llamado grupo topológico.

La estructura de Gal(3) se puede entender mediante reconstrucción a partir de subgrupos. La combinación de productos semidirectos (${\displaystyle A\rtimes B}$) de grupos es necesario.

1. ${\displaystyle G_{2}\triangleleft \mathrm {SGal} (3)}$( G2 _es un subgrupo normal )
2. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong G_{2}\rtimes G_{1}}$
3. ${\displaystyle G_{4}\trianglelefteq G_{1}}$
4. ${\displaystyle G_{1}\cong G_{4}\rtimes G_{3}}$
5. ${\displaystyle \mathrm {SGal} (3)\cong \mathbf {R} ^{4}\rtimes (\mathbf {R} ^{3}\rtimes \mathrm {SO} (3)).}$

El álgebra de Lie del grupo galileano está generada por H , P _i , C _i y L _ij (un tensor antisimétrico ), sujeto a relaciones de conmutación , donde

${\displaystyle [H,P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},H]=0}$

${\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0}$

${\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]}$

${\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}$

${\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}$

${\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}$

${\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0~.}$

H es el generador de traslaciones temporales ( Hamiltoniano ), P _i es el generador de traslaciones ( operador de momento ), C _i es el generador de transformaciones galileanas sin rotación (impulsos galileanos), ^{[ 8 ]} y L _ij representa un generador de rotaciones ( operador de momento angular ).

Se observa que esta álgebra de Lie es un límite clásico especial del álgebra del grupo de Poincaré , en el límite c → ∞ . Técnicamente, el grupo galileano es una célebre contracción de grupo del grupo de Poincaré (que, a su vez, es una contracción de grupo del grupo de De Sitter SO(1,4) ). ^{[ 9 ]} Formalmente, renombrando los generadores de momento y boost de este último como en

P ₀ ↦ H / c

K _i ↦ c ⋅ C _i ,

donde c es la velocidad de la luz (o cualquier función no acotada de la misma), las relaciones de conmutación (constantes de estructura) en el límite c → ∞ toman las relaciones de las anteriores. Se identifican los generadores de traslaciones y rotaciones temporales. También se observan los invariantes de grupo L _mn L ^mn y P _i P ⁱ .

En forma matricial, para d = 3 , se puede considerar la representación regular (incrustada en GL(5; R ) , de la cual podría derivarse mediante una única contracción de grupo, evitando el grupo de Poincaré),

${\displaystyle iH=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i{\vec {a}}\cdot {\vec {P}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&0&a_{1}\\0&0&0&0&a_{2}\\0&0&0&0&a_{3}\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i{\vec {v}}\cdot {\vec {C}}=\left({\begin{array}{ccccc}0&0&0&v_{1}&0\\0&0&0&v_{2}&0\\0&0&0&v_{3}&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right),\qquad }$${\displaystyle i\theta _{i}\epsilon ^{ijk}L_{jk}=\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&0&0\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&0&0\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)~.}$

El elemento del grupo infinitesimal es entonces

${\displaystyle G(R,{\vec {v}},{\vec {a}},s)=1\!\!1_{5}+\left({\begin{array}{ccccc}0&\theta _{3}&-\theta _{2}&v_{1}&a_{1}\\-\theta _{3}&0&\theta _{1}&v_{2}&a_{2}\\\theta _{2}&-\theta _{1}&0&v_{3}&a_{3}\\0&0&0&0&s\\0&0&0&0&0\\\end{array}}\right)+\ ...~.}$

Se puede considerar ^{[ 10 ]} una extensión central del álgebra de Lie del grupo galileano, generada por H ′ , P′i , _{C′i ,} L′ ij y un operador M _: La llamada álgebra de Bargmann se obtiene imponiendo${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}}$, de tal manera que M se encuentra en el centro , es decir, conmuta con todos los demás operadores.

En su totalidad, esta álgebra se presenta como

${\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}$

${\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}$

${\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}$

y finalmente

${\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}~.}$

donde el nuevo parámetro${\displaystyle M}$aparece. Esta extensión y las representaciones proyectivas que esto permite están determinadas por su cohomología de grupo .

• invariancia galileana
• Teoría de la representación del grupo galileano
• Formulación tensorial covariante de Galileo
• Grupo Poincaré
• Grupo Lorentz
• Coordenadas lagrangianas y eulerianas

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