Álgebra de Verlinde

En matemáticas , un álgebra de Verlinde es un álgebra asociativa de dimensión finita introducida por Erik Verlinde ( 1988 ) . Se define como aquella que tiene una base de elementos φ _λ que corresponden a campos primarios de una teoría de campos conformes bidimensional racional , cuyas constantes de estructura N ^ν _λμ describen la fusión de campos primarios. 

En el contexto de las categorías tensoriales modulares , también existe un álgebra de Verlinde. Se define como aquella que tiene una base de elementos.${\displaystyle [A]}$correspondientes a clases de isomorfismo de objetos simples y cuyas constantes de estructura${\displaystyle N_{C}^{A,B}}$Describir la fusión de objetos simples.

En términos de la matriz S modular para categorías tensoriales modulares, la fórmula de Verlinde se enuncia de la siguiente manera: ^{[ 1 ]} Dados cualesquiera objetos simples${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {C}}}$En una categoría tensorial modular, la fórmula de Verlinde relaciona el coeficiente de fusión.${\displaystyle N_{C}^{A,B}}$en términos de una suma de productos de${\displaystyle S}$-entradas de la matriz y entradas de la inversa de la${\displaystyle S}$-matriz, normalizada por dimensiones cuánticas.

En términos de la matriz S modular para la teoría de campos conformes, la fórmula de Verlinde expresa los coeficientes de fusión como ^{[ 2 ].}

${\displaystyle N_{\lambda \mu }^{\nu }=\sum _{\sigma }{\frac {S_{\lambda \sigma }S_{\mu \sigma }S_{\sigma \nu }^{*}}{S_{0\sigma }}}}$

dónde${\displaystyle S^{*}}$es el conjugado complejo componente a componente de${\displaystyle S}$.

Estas dos fórmulas son equivalentes porque bajo una normalización apropiada la matriz S de cada categoría de tensor modular puede hacerse unitaria, y la entrada de la matriz S${\displaystyle S_{0\sigma }}$es igual a la dimensión cuántica de${\displaystyle \sigma }$.

Si G es un grupo de Lie compacto , existe una teoría de campos conformes racional cuyos campos primarios corresponden a las representaciones λ de algún nivel fijo del grupo de lazos de G. Para este caso especial, Freed , Hopkins y Teleman (2001) demostraron que el álgebra de Verlinde puede identificarse con la K-teoría equivariante retorcida de G.

• Reglas de fusión

• Beauville, Arnaud (1996), "Bloques conformes, reglas de fusión y la fórmula de Verlinde" (PDF) , en Teicher, Mina (ed.), Actas de la Conferencia Hirzebruch 65 sobre Geometría Algebraica (Ramat Gan, 1993) , Israel Math. Conf. Proc., vol.  9, Ramat Gan: Bar-Ilan Univ., pp. 75–96 , arXiv : alg-geom/9405001 , MR 1360497  
• Bott, Raoul (1991), "Sobre la fórmula de E. Verlinde en el contexto de los haces estables", International Journal of Modern Physics A , 6 (16): 2847–2858 , Bibcode : 1991IJMPA...6.2847B , doi : 10.1142/S0217751X91001404 , ISSN 0217-751X , MR 1117752  
• Faltings, Gerd (1994), "Una demostración de la fórmula de Verlinde", Journal of Algebraic Geometry , 3 (2): 347–374 , ISSN 1056-3911 , MR 1257326  
• Freed, Daniel S.; Hopkins, M.; Teleman, C. (2001), "El álgebra de Verlinde es una K-teoría equivariante retorcida" , Turkish Journal of Mathematics , 25 (1): 159– 167, arXiv : math/0101038 , Bibcode : 2001math......1038F , ISSN 1300-0098 , MR 1829086  
• Verlinde, Erik (1988), "Reglas de fusión y transformaciones modulares en la teoría de campos conformes 2D", Nuclear Physics B , 300 (3): 360–376 , Bibcode : 1988NuPhB.300..360V , doi : 10.1016/0550-3213(88)90603-7 , ISSN 0550-3213 , MR 0954762  
• Witten, Edward (1995), "El álgebra de Verlinde y la cohomología del grassmanniano", Geometría, topología y física , Actas de la conferencia Notas de clase Geometría y topología, IV, Int. Press, Cambridge, MA, pp. 357–422 , arXiv : hep-th/9312104 , Bibcode : 1993hep.th...12104W , MR 1358625  
• Discusión en MathOverflow con varias referencias.