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Regresión funcional

La regresión funcional es una variante del análisis de regresión en la que las respuestas o covariables incluyen datos funcionales . Los modelos de regresión funcional se pueden...

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La regresión funcional es una variante del análisis de regresión en la que las respuestas o covariables incluyen datos funcionales . Los modelos de regresión funcional se pueden clasificar en cuatro tipos según si las respuestas o covariables son funcionales o escalares: (i) respuestas escalares con covariables funcionales, (ii) respuestas funcionales con covariables escalares, (iii) respuestas funcionales con covariables funcionales y (iv) respuestas escalares o funcionales con covariables funcionales y escalares. Además, los modelos de regresión funcional pueden ser lineales , parcialmente lineales o no lineales . En particular, los modelos polinomiales funcionales, los modelos funcionales de índice único y múltiple , y los modelos aditivos funcionales son tres casos especiales de modelos funcionales no lineales.

Modelos lineales funcionales (MLF)

Los modelos lineales funcionales (MLF) son una extensión de los modelos lineales (ML). Un modelo lineal con respuesta escalar y covariables escalares se puede escribir comoY∈R{\displaystyle Y\in \mathbb {R} }incógnita∈Rpag{\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p}}

donde denota el producto interno en el espacio euclidiano , y denotan los coeficientes de regresión, y es un error aleatorio con media cero y varianza finita . Los FLM se pueden dividir en dos tipos según las respuestas.⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }β0∈R{\displaystyle \beta _{0}\in \mathbb {R} }β∈Rp{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{p}}ε{\displaystyle \varepsilon }

Modelos lineales funcionales con respuestas escalares

Los modelos lineales funcionales con respuestas escalares se pueden obtener reemplazando las covariables escalares y el vector de coeficientes en el modelo ( 1 ) por una covariable funcional centrada y una función de coeficientes con dominio , respectivamente, y reemplazando el producto interno en el espacio euclidiano por el del espacio de Hilbert ,X{\displaystyle X}β{\displaystyle \beta }Xc(⋅)=X(⋅)−E(X(⋅)){\displaystyle X^{c}(\cdot )=X(\cdot )-\mathbb {E} (X(\cdot ))}β=β(⋅){\displaystyle \beta =\beta (\cdot )}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}L2{\displaystyle L^{2}}

donde aquí denota el producto interno en . Un enfoque para estimar y es expandir la covariable centrada y la función de coeficiente en la misma base funcional , por ejemplo, la base B-spline o la base propia utilizada en la expansión de Karhunen - Loève . Supongamos que es una base ortonormal de . Expandiendo y en esta base, , , el modelo ( 2 ) se convierte en Para la implementación, se necesita regularización y se puede hacer a través de truncamiento, penalización o penalización. [ 1 ] Además, también se puede utilizar un enfoque de espacio de Hilbert de núcleo reproductor (RKHS) para estimar y en el modelo ( 2 ) [ 2 ]⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }L2{\displaystyle L^{2}}β0{\displaystyle \beta _{0}}β(⋅){\displaystyle \beta (\cdot )}Xc(⋅){\displaystyle X^{c}(\cdot )}β(⋅){\displaystyle \beta (\cdot )}{ϕk}k=1∞{\displaystyle \{\phi _{k}\}_{k=1}^{\infty }}L2{\displaystyle L^{2}}Xc{\displaystyle X^{c}}β{\displaystyle \beta }Xc(⋅)=∑k=1∞xkϕk(⋅){\displaystyle X^{c}(\cdot )=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\phi _{k}(\cdot )}β(⋅)=∑k=1∞βkϕk(⋅){\displaystyle \beta (\cdot )=\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}\phi _{k}(\cdot )}Y=β0+∑k=1∞βkxk+ε.{\displaystyle Y=\beta _{0}+\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}x_{k}+\varepsilon .}L2{\displaystyle L^{2}}L1{\displaystyle L^{1}}β0{\displaystyle \beta _{0}}β(⋅){\displaystyle \beta (\cdot )}

Al agregar múltiples covariables funcionales y escalares, el modelo ( 2 ) puede extenderse a

donde son covariables escalares con , son coeficientes de regresión para , respectivamente, es una covariable funcional centrada dada por , es la función de coeficiente de regresión para , y es el dominio de y , para . Sin embargo, debido al componente paramétrico , los métodos de estimación para el modelo ( 2 ) no se pueden usar en este caso [ 3 ] y hay métodos de estimación alternativos disponibles para el modelo ( 3 ). [ 4 ] [ 5 ]Z1,…,Zq{\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{q}}Z1=1{\displaystyle Z_{1}=1}α1,…,αq{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{q}}Z1,…,Zq{\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{q}}Xjc{\displaystyle X_{j}^{c}}Xjc(⋅)=Xj(⋅)−E(Xj(⋅)){\displaystyle X_{j}^{c}(\cdot )=X_{j}(\cdot )-\mathbb {E} (X_{j}(\cdot ))}βj{\displaystyle \beta _{j}}Xjc(⋅){\displaystyle X_{j}^{c}(\cdot )}Tj{\displaystyle {\mathcal {T}}_{j}}Xj{\displaystyle X_{j}}βj{\displaystyle \beta _{j}}j=1,…,p{\displaystyle j=1,\ldots ,p}α{\displaystyle \alpha }

Modelos lineales funcionales con respuestas funcionales

Para una respuesta funcional con dominio y una covariable funcional con dominio , se han considerado dos FLM que regresan sobre . [ 3 ] [ 6 ] Uno de estos dos modelos es de la formaY(⋅){\displaystyle Y(\cdot )}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}X(⋅){\displaystyle X(\cdot )}S{\displaystyle {\mathcal {S}}}Y(⋅){\displaystyle Y(\cdot )}X(⋅){\displaystyle X(\cdot )}

donde sigue siendo la covariable funcional centrada, y son funciones de coeficiente, y se suele asumir que es un proceso aleatorio con media cero y varianza finita. En este caso, en cualquier momento dado , el valor de , es decir, , depende de toda la trayectoria de . El modelo ( 4 ), para cualquier momento dado , es una extensión de la regresión lineal multivariante con el producto interno en el espacio euclidiano reemplazado por el de . Una ecuación de estimación motivada por la regresión lineal multivariante es donde , se define como con para . [ 3 ] Se necesita regularización y se puede hacer mediante truncamiento, penalización o penalización. [ 1 ] Hay varios métodos de estimación disponibles para el modelo ( 4 ). [ 7 ] [ 8 ] Cuando y se observan simultáneamente, es decir, , [ 9 ] es razonable considerar un modelo lineal funcional histórico, donde el valor actual de solo depende del historial de , es decir, para en el modelo ( 4 ). [ 3 ] [ 10 ] Una versión más simple del modelo lineal funcional histórico es el modelo concurrente funcional (ver más abajo). Al agregar múltiples covariables funcionales, el modelo ( 4 ) puede extenderse aXc(⋅)=X(⋅)−E(X(⋅)){\displaystyle X^{c}(\cdot )=X(\cdot )-\mathbb {E} (X(\cdot ))}β0(⋅){\displaystyle \beta _{0}(\cdot )}β(⋅,⋅){\displaystyle \beta (\cdot ,\cdot )}ε(⋅){\displaystyle \varepsilon (\cdot )}t∈T{\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}Y{\displaystyle Y}Y(t){\displaystyle Y(t)}X{\displaystyle X}t{\displaystyle t}L2{\displaystyle L^{2}}rXY=RXXβ, for β∈L2(S×S),{\displaystyle r_{XY}=R_{XX}\beta ,{\text{ for }}\beta \in L^{2}({\mathcal {S}}\times {\mathcal {S}}),}rXY(s,t)=cov(X(s),Y(t)){\displaystyle r_{XY}(s,t)={\text{cov}}(X(s),Y(t))}RXX:L2(S×S)→L2(S×T){\displaystyle R_{XX}:L^{2}({\mathcal {S}}\times {\mathcal {S}})\rightarrow L^{2}({\mathcal {S}}\times {\mathcal {T}})}(RXXβ)(s,t)=∫SrXX(s,w)β(w,t)dw{\displaystyle (R_{XX}\beta )(s,t)=\int _{\mathcal {S}}r_{XX}(s,w)\beta (w,t)dw}rXX(s,w)=cov(X(s),X(w)){\displaystyle r_{XX}(s,w)={\text{cov}}(X(s),X(w))}s,w∈S{\displaystyle s,w\in {\mathcal {S}}}L2{\displaystyle L^{2}}L1{\displaystyle L^{1}}X{\displaystyle X}Y{\displaystyle Y}S=T{\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {T}}}Y{\displaystyle Y}X{\displaystyle X}β(s,t)=0{\displaystyle \beta (s,t)=0}s>t{\displaystyle s>t}

donde para , es una covariable funcional centrada con dominio , y es la función de coeficiente correspondiente con el mismo dominio, respectivamente. [ 3 ] En particular, tomar como una función constante produce un caso especial del modelo ( 5 ) que es un FLM con respuestas funcionales y covariables escalares.j=1,…,p{\displaystyle j=1,\ldots ,p}Xjc(⋅)=Xj(⋅)−E(Xj(⋅)){\displaystyle X_{j}^{c}(\cdot )=X_{j}(\cdot )-\mathbb {E} (X_{j}(\cdot ))}Sj{\displaystyle {\mathcal {S}}_{j}}βj(⋅,⋅){\displaystyle \beta _{j}(\cdot ,\cdot )}Xj(⋅){\displaystyle X_{j}(\cdot )}Y(t)=∑j=1pXjβj(t)+ε(t), for t∈T,{\displaystyle Y(t)=\sum _{j=1}^{p}X_{j}\beta _{j}(t)+\varepsilon (t),\ {\text{for}}\ t\in {\mathcal {T}},}

Modelos concurrentes funcionales

Suponiendo que , otro modelo, conocido como modelo concurrente funcional, a veces también denominado modelo de coeficiente variable, tiene la formaS=T{\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {T}}}

donde y son funciones de coeficientes. Nótese que el modelo ( 6 ) asume que el valor de en el tiempo , es decir, , solo depende del de en el mismo tiempo, es decir, . Se pueden aplicar varios métodos de estimación al modelo ( 6 ). [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] Añadiendo múltiples covariables funcionales, el modelo ( 6 ) también se puede extender a donde son múltiples covariables funcionales con dominio y son las funciones de coeficientes con el mismo dominio. [ 3 ]α0{\displaystyle \alpha _{0}}α{\displaystyle \alpha }Y{\displaystyle Y}t{\displaystyle t}Y(t){\displaystyle Y(t)}X{\displaystyle X}X(t){\displaystyle X(t)}Y(t)=α0(t)+∑j=1pαj(t)Xj(t)+ε(t), for t∈T,{\displaystyle Y(t)=\alpha _{0}(t)+\sum _{j=1}^{p}\alpha _{j}(t)X_{j}(t)+\varepsilon (t),\ {\text{for}}\ t\in {\mathcal {T}},}X1,…,Xp{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}α0,α1,…,αp{\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{p}}

Modelos funcionales no lineales

Modelos polinomiales funcionales

Los modelos polinomiales funcionales son una extensión de los modelos lineales funcionales (MLF) con respuestas escalares, análoga a la extensión de la regresión lineal a la regresión polinomial . Para una respuesta escalar y una covariable funcional con dominio , el ejemplo más simple de modelos polinomiales funcionales es la regresión cuadrática funcional [ 14 ] donde es la covariable funcional centrada, es un coeficiente escalar, y son funciones de coeficientes con dominios y , respectivamente, y es un error aleatorio con media cero y varianza finita. Por analogía con los MLF con respuestas escalares, la estimación de modelos polinomiales funcionales se puede obtener expandiendo tanto la covariable centrada como las funciones de coeficientes y en una base ortonormal. [ 14 ]Y{\displaystyle Y}X(⋅){\displaystyle X(\cdot )}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}Y=α+∫Tβ(t)Xc(t)dt+∫T∫Tγ(s,t)Xc(s)Xc(t)dsdt+ε,{\displaystyle Y=\alpha +\int _{\mathcal {T}}\beta (t)X^{c}(t)\,dt+\int _{\mathcal {T}}\int _{\mathcal {T}}\gamma (s,t)X^{c}(s)X^{c}(t)\,ds\,dt+\varepsilon ,}Xc(⋅)=X(⋅)−E(X(⋅)){\displaystyle X^{c}(\cdot )=X(\cdot )-\mathbb {E} (X(\cdot ))}α{\displaystyle \alpha }β(⋅){\displaystyle \beta (\cdot )}γ(⋅,⋅){\displaystyle \gamma (\cdot ,\cdot )}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}T×T{\displaystyle {\mathcal {T}}\times {\mathcal {T}}}ε{\displaystyle \varepsilon }Xc{\displaystyle X^{c}}β{\displaystyle \beta }γ{\displaystyle \gamma }

Modelos funcionales de índice único y múltiple

Un modelo funcional de índice múltiple viene dado por Tomando produce un modelo funcional de índice único. Sin embargo, para , este modelo es problemático debido a la maldición de la dimensionalidad . Con y tamaños de muestra relativamente pequeños, el estimador dado por este modelo a menudo tiene una gran varianza. [ 15 ] Un modelo funcional alternativo de índice múltiple de -componentes puede expresarse como Existen métodos de estimación para modelos funcionales de índice único y múltiple. [ 15 ] [ 16 ]Y=g(∫TXc(t)β1(t)dt,…,∫TXc(t)βp(t)dt)+ε.{\displaystyle Y=g\left(\int _{\mathcal {T}}X^{c}(t)\beta _{1}(t)\,dt,\ldots ,\int _{\mathcal {T}}X^{c}(t)\beta _{p}(t)\,dt\right)+\varepsilon .}p=1{\displaystyle p=1}p>1{\displaystyle p>1}p>1{\displaystyle p>1}p{\displaystyle p}Y=g1(∫TXc(t)β1(t)dt)+⋯+gp(∫TXc(t)βp(t)dt)+ε.{\displaystyle Y=g_{1}\left(\int _{\mathcal {T}}X^{c}(t)\beta _{1}(t)\,dt\right)+\cdots +g_{p}\left(\int _{\mathcal {T}}X^{c}(t)\beta _{p}(t)\,dt\right)+\varepsilon .}

Modelos aditivos funcionales (FAM)

Dada una expansión de una covariable funcional con dominio en una base ortonormal : , un modelo lineal funcional con respuestas escalares mostrado en el modelo ( 2 ) puede escribirse como Una forma de FAM se obtiene reemplazando la función lineal de , es decir, , por una función suave general , donde satisface para . [ 3 ] [ 17 ] Otra forma de FAM consiste en una secuencia de modelos aditivos en el tiempo: donde es una cuadrícula densa en con tamaño creciente , y con una función suave, para [ 3 ] [ 18 ]X{\displaystyle X}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}{ϕk}k=1∞{\displaystyle \{\phi _{k}\}_{k=1}^{\infty }}X(t)=∑k=1∞xkϕk(t){\displaystyle X(t)=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\phi _{k}(t)}E(Y|X)=E(Y)+∑k=1∞βkxk.{\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}x_{k}.}xk{\displaystyle x_{k}}βkxk{\displaystyle \beta _{k}x_{k}}fk{\displaystyle f_{k}}E(Y|X)=E(Y)+∑k=1∞fk(xk),{\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x_{k}),}fk{\displaystyle f_{k}}E(fk(xk))=0{\displaystyle \mathbb {E} (f_{k}(x_{k}))=0}k∈N{\displaystyle k\in \mathbb {N} }E(Y|X(t1),…,X(tp))=∑j=1pfj(X(tj)),{\displaystyle \mathbb {E} (Y|X(t_{1}),\ldots ,X(t_{p}))=\sum _{j=1}^{p}f_{j}(X(t_{j})),}{t1,…,tp}{\displaystyle \{t_{1},\ldots ,t_{p}\}}T{\displaystyle {\mathcal {T}}}p∈N{\displaystyle p\in \mathbb {N} }fj(x)=g(tj,x){\displaystyle f_{j}(x)=g(t_{j},x)}g{\displaystyle g}j=1,…,p{\displaystyle j=1,\ldots ,p}

Extensiones

Una extensión directa de los FLM con respuestas escalares que se muestran en el modelo ( 2 ) consiste en agregar una función de enlace para crear un modelo lineal funcional generalizado (GFLM) por analogía con la extensión de la regresión lineal a la regresión lineal generalizada (GLM), cuyos tres componentes son:

  1. Predictor lineal ;η=β0+∫TXc(t)β(t)dt{\displaystyle \eta =\beta _{0}+\int _{\mathcal {T}}X^{c}(t)\beta (t)\,dt}
  2. Función de varianza , donde es la media condicional ;Var(Y|X)=V(μ){\displaystyle {\text{Var}}(Y|X)=V(\mu )}μ=E(Y|X){\displaystyle \mu =\mathbb {E} (Y|X)}
  3. Función de enlace que conecta la media condicional y el predictor lineal a través de .g{\displaystyle g}μ=g(η){\displaystyle \mu =g(\eta )}

Véase también

Referencias

  1. 1 2 Morris, Jeffrey S. (2015). "Regresión funcional". Annual Review of Statistics and Its Application . 2 (1): 321– 359. arXiv : 1406.4068 . Bibcode : 2015AnRSA...2..321M . doi : 10.1146/annurev-statistics-010814-020413 . S2CID 18637009 . 
  2. ↑ Yuan y Cai (2010). "Un enfoque de espacio de Hilbert con núcleo reproductor para la regresión lineal funcional". The Annals of Statistics . 38 (6):3412 – 3444. doi : 10.1214/09-AOS772 .
  3. 1 2 3 4 5 6 7 8 Wang, Jane-Ling; Chiou, Jeng-Min; Müller, Hans-Georg (2016). "Análisis de datos funcionales" . Annual Review of Statistics and Its Application . 3 (1): 257– 295. Bibcode : 2016AnRSA...3..257W . doi : 10.1146/annurev-statistics-041715-033624 .
  4. ↑ Kong, Dehan; Xue, Kaijie; Yao, Fang; Zhang, Hao H. "Regresión lineal parcialmente funcional en altas dimensiones" . Biometrika . 103 (1): 147–159 . doi : 10.1093/biomet/asv062 . ISSN 0006-3444 . 
  5. ↑ Hu, Z. (1 de junio de 2004). "Profile-kernel versus backfitting in the partially linear models for longitudinal/clustered data" . Biometrika . 91 (2): 251–262 . doi : 10.1093/biomet/91.2.251 . ISSN 0006-3444 . 
  6. ↑ Ramsay y Silverman (2005). Análisis de datos funcionales , 2.ª ed., Nueva York: Springer, ISBN 0-387-40080-X.
  7. ↑ Ramsay, JO; Dalzell, CJ (1991). "Algunas herramientas para el análisis de datos funcionales" . Journal of the Royal Statistical Society. Serie B (Metodológica) . 53 (3): 539– 572. ISSN 0035-9246 . 
  8. ↑ Yao, Fang; Müller, Hans-Georg; Wang, Jane-Ling. "Análisis de regresión lineal funcional para datos longitudinales" . The Annals of Statistics . 33 (6): 2873– 2903. arXiv : math/0603132 . doi : 10.1214/009053605000000660 . ISSN 0090-5364 . 
  9. ↑ Granandro, Ulf. "Procesos estocásticos e inferencia estadística" . Arkiv för Matematik . 1 (3): 195– 277. doi : 10.1007/BF02590638 . ISSN 0004-2080 . 
  10. ↑ Malfait, Nicole; Ramsay, James O. (2003). "El modelo lineal funcional histórico" . Revista Canadiense de Estadística . 31 (2): 115– 128. doi : 10.2307/3316063 . ISSN 1708-945X . 
  11. ↑ Fan, Jianqing; Zhang, Wenyang. "Estimación estadística en modelos de coeficientes variables" . The Annals of Statistics . 27 (5): 1491– 1518. doi : 10.1214/aos/1017939139 . ISSN 0090-5364 . 
  12. ↑ Huang, Jianhua Z.; Wu, Colin O.; Zhou, Lan (2004). "Estimación e inferencia mediante splines polinomiales para modelos de coeficientes variables con datos longitudinales" . Statistica Sinica . 14 (3): 763– 788. ISSN 1017-0405 . 
  13. ↑ Şentürk, Damla; Müller, Hans-Georg (1 de septiembre de 2010). "Modelos funcionales de coeficientes variables para datos longitudinales" . Journal of the American Statistical Association . doi : 10.1198/jasa.2010.tm09228 . ISSN 0162-1459 . 
  14. 1 2 Yao, F.; Muller, H.-G. (2010-03-01). "Regresión cuadrática funcional" . Biometrika . 97 (1): 49– 64. doi : 10.1093/biomet/asp069 . ISSN 0006-3444 . 
  15. 1 2 Chen, Dong; Hall, Peter; Müller, Hans-Georg. "Modelos de regresión funcional de índice único y múltiple con enlace no paramétrico" . The Annals of Statistics . 39 (3): 1720– 1747. arXiv : 1211.5018 . doi : 10.1214/11-AOS882 . ISSN 0090-5364 . 
  16. ↑ Jiang, Ci-Ren; Wang, Jane-Ling. "Modelos funcionales de índice único para datos longitudinales" . The Annals of Statistics . 39 (1): 362– 388. arXiv : 1103.1726 . doi : 10.1214/10-AOS845 . ISSN 0090-5364 . 
  17. ↑ Müller, Hans-Georg; Yao, Fang (1 de diciembre de 2008). "Modelos aditivos funcionales" . Journal of the American Statistical Association . doi : 10.1198/016214508000000751 . ISSN 0162-1459 . 
  18. ↑ Fan, Yingying; James, Gareth M.; Radchenko, Peter. "Regresión aditiva funcional" . The Annals of Statistics . 43 (5): 2296– 2325. arXiv : 1510.04064 . doi : 10.1214/15-AOS1346 . ISSN 0090-5364 . 
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