Grupo Frieze

En matemáticas , un friso o patrón de friso es un diseño bidimensional que se repite en una dirección. El término deriva de los frisos en arquitectura y artes decorativas , donde se utilizan con frecuencia patrones repetitivos. Los patrones de friso se pueden clasificar en siete tipos según sus simetrías. El conjunto de simetrías de un patrón de friso se denomina grupo de friso .

Los grupos de frisos son grupos de líneas bidimensionales que se repiten en una sola dirección. Están relacionados con los grupos de papel tapiz , más complejos , que clasifican patrones repetitivos en dos direcciones, y con los grupos cristalográficos , que clasifican patrones repetitivos en tres direcciones.

Los frisos matemáticos tienen su origen en las fórmulas del pentagrama mirificum halladas por Carl Friedrich Gauss en 1843 y en el estudio de simetrías de Harold Scott MacDonald Coxeter a mediados del siglo XX. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los patrones de friso fueron introducidos formalmente por Coxeter en 1971. ^{[ 1 ]} Entre las décadas de 1970 y 1980, los patrones de friso fueron objeto de trabajos matemáticos de Coxeter, John Horton Conway , Geoffrey Colin Shephard , Pierre Gabriel y otros en combinatoria y la teoría de las representaciones de carcaj . ^{[ 1 ]}

En el siglo XXI, se encontraron nuevas relaciones entre patrones de frisos y álgebras de clústeres , grassmannianas , ecuaciones de diferencias lineales , espacios de módulos de puntos en espacios proyectivos y matrices de transferencia en modelos de retículos resolubles . ^{[ 1 ]}

Formalmente, un grupo de friso es una clase de grupos de simetría discretos infinitos de patrones en una tira (rectángulo infinitamente ancho), por lo tanto, una clase de grupos de isometrías del plano o de una tira. Un grupo de simetría de un grupo de friso contiene necesariamente traslaciones y puede contener reflexiones de deslizamiento , reflexiones a lo largo del eje largo de la tira, reflexiones a lo largo del eje estrecho de la tira y rotaciones de 180° . Existen siete grupos de friso, que se enumeran en la tabla resumen. Muchos autores presentan los grupos de friso en un orden diferente. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Los grupos de simetría dentro de un grupo de friso se caracterizan por la distancia de traslación mínima y, para los grupos de friso con reflexión vertical o rotación de 180° (grupos 2, 5, 6 y 7), por un parámetro de desplazamiento que ubica el eje de reflexión o el punto de rotación. En el caso de grupos de simetría en el plano, los parámetros adicionales son la dirección del vector de traslación y, para los grupos de friso con reflexión horizontal, reflexión con deslizamiento o rotación de 180° (grupos 3-7), la posición del eje de reflexión o el punto de rotación en la dirección perpendicular al vector de traslación. Por lo tanto, hay dos grados de libertad para el grupo 1, tres para los grupos 2, 3 y 4, y cuatro para los grupos 5, 6 y 7.

Para dos de los siete grupos de friso (grupos 1 y 4), los grupos de simetría son generados individualmente ; para cuatro (grupos 2, 3, 5 y 6), tienen un par de generadores; y para el grupo 7, los grupos de simetría requieren tres generadores. Un grupo de simetría en el grupo de friso 1, 2, 3 o 5 es un subgrupo de un grupo de simetría en el último grupo de friso con la misma distancia de traslación. Un grupo de simetría en el grupo de friso 4 o 6 es un subgrupo de un grupo de simetría en el último grupo de friso con la mitad de la distancia de traslación. Este último grupo de friso contiene los grupos de simetría de los patrones periódicos más simples en la tira (o el plano), una fila de puntos. Cualquier transformación del plano que deje este patrón invariante puede descomponerse en una traslación, ( x , y ) ↦ ( n + x , y ) , seguida opcionalmente de una reflexión en el eje horizontal, ( x , y ) ↦ ( x , − y ) , o en el eje vertical, ( x , y ) ↦ (− x , y ) , siempre que este eje se elija a través de dos puntos o a medio camino entre ellos, o una rotación de 180°, ( x , y ) ↦ (− x , − y ) (ídem). Por lo tanto, en cierto modo, este grupo de friso contiene los grupos de simetría "más grandes", que consisten en todas esas transformaciones.

La inclusión de la condición discreta consiste en excluir el grupo que contiene todas las traslaciones, así como los grupos que contienen traslaciones arbitrariamente pequeñas (por ejemplo, el grupo de traslaciones horizontales por distancias racionales). Incluso sin tener en cuenta el escalado y el desplazamiento, existen infinitos casos, por ejemplo, al considerar números racionales cuyos denominadores son potencias de un número primo dado.

La inclusión de la condición de infinito tiene como objetivo excluir a los grupos que no tienen traslaciones:

• el grupo con la identidad solamente (isomorfo a C ₁ , el grupo trivial de orden 1).
• el grupo formado por la identidad y la reflexión en el eje horizontal (isomorfo a C ₂ , el grupo cíclico de orden 2).
• los grupos, cada uno compuesto por la identidad y el reflejo en un eje vertical (ídem)
• los grupos, cada uno formado por la identidad y una rotación de 180° alrededor de un punto en el eje horizontal (ídem)
• los grupos consisten cada uno en la identidad, reflexión en un eje vertical, reflexión en el eje horizontal y rotación de 180° alrededor del punto de intersección (isomorfo al grupo de cuatro de Klein )

Existen siete subgrupos distintos (salvo escalado y desplazamiento de patrones) en el grupo de frisos discretos (denominado TRHVG), generados por una traslación, una reflexión (a lo largo del mismo eje) y una rotación de 180°. Cada uno de estos subgrupos es el grupo de simetría de un patrón de friso, y en la tabla que aparece más abajo se muestran ejemplos de patrones. Los siete grupos diferentes corresponden a las 7 series infinitas de grupos puntuales axiales en tres dimensiones , pero con n igual, por así decirlo, al infinito. ^{[ 5 ]} (Imagínese una cúpula con un friso que la rodea en su base. Pertenecerá a uno de los grupos puntuales, donde n es el número de repeticiones al recorrer toda la cúpula. Los grupos de frisos son similares, pero las traslaciones se extienden infinitamente sin volver al punto de partida).

Es fácil ver por qué hay siete grupos. En cuanto a las reflexiones y los deslizamientos en el eje del friso, hay tres posibilidades: puede haber deslizamientos (G), deslizamientos y una reflexión (H), o ninguno. En cuanto a las reflexiones en líneas "verticales" (V), hay dos posibilidades: tenerlas o no. Esto da como resultado seis grupos:

Cuando tanto V como los deslizamientos están presentes, entonces hay rotaciones dobles R. Pero R puede existir por sí misma, dando el séptimo grupo, TR (D _∞ ).

En la tabla siguiente, los grupos se identifican utilizando la notación de Hermann-Mauguin , la notación de Coxeter , la notación de Schönflies , la notación de orbifold , apodos creados por el matemático John H. Conway y, finalmente, una descripción en términos de traslación, reflexiones y rotaciones.

^* La notación de grupo puntual de Schönflies se extiende aquí como casos infinitos de las simetrías de puntos diedros equivalentes.

^§ El diagrama muestra un dominio fundamental en amarillo, con líneas de reflexión en azul, líneas de reflexión de deslizamiento en verde discontinuo, normales de traslación en rojo y puntos de giro doble como pequeños cuadrados verdes.

De los siete grupos de frisos, solo hay cuatro salvo isomorfismo . Dos son generados individualmente e isomorfos a${\displaystyle \mathbb {Z} }$; cuatro de ellos son doblemente generados, entre los cuales uno es abeliano y tres son no abelianos e isomorfos a${\displaystyle D_{\infty }}$, el grupo diedral infinito ; y uno de ellos tiene tres generadores. ^{[ 7 ]}

• Grupos de simetría en una dimensión
• Grupo de líneas
• Grupo de varillas
• Grupo de papel tapiz
• Grupo espacial

Existen herramientas de software gráfico que crean patrones 2D mediante grupos de frisos. Por lo general, el patrón completo se actualiza automáticamente en respuesta a las modificaciones de la tira original.

• EscherSketch: Un programa online gratuito para dibujar, guardar y exportar teselaciones. Compatible con todos los grupos de fondos de pantalla.
• Kali , una aplicación de software libre y de código abierto para fondos de pantalla, frisos y otros patrones.
• Kali archivado el 21/11/2020 en Wayback Machine , Kali descargable gratuitamente para Windows y Mac Classic.
• Tess , un programa de teselación de nagware para múltiples plataformas, admite todos los grupos de fondos de pantalla, frisos y rosetas, así como los mosaicos de Heesch.
• FriezingWorkz , un paquete de software libre de Hypercard para la plataforma Classic Mac que admite todos los grupos de friezes.

• Diseños de frisos en cut-the-knot
• Iluminaciones: Patrones de frisos