Número amigable

En teoría de números , los números amigos son dos o más números naturales con un índice de abundancia común , que es la razón entre la suma de los divisores de un número y el número mismo. Dos números con la misma "abundancia" forman un par amigo ; n números con la misma abundancia forman una n -tupla amiga .

La amistad mutua es una relación de equivalencia y, por lo tanto, induce una partición de los números naturales positivos en clubes ( clases de equivalencia ) de números mutuamente amigos.

Un número que no forma parte de ningún par de números amigos se llama solitario .

El índice de abundancia de n es el número racional σ( n ) / n , donde σ denota la función suma de divisores . Un número n es un número amigable si existe m ≠ n tal que σ( m ) / m = σ( n ) / n . La abundancia no es lo mismo que la abundancia , que se define como σ( n ) − 2 n .

La abundancia también puede expresarse como${\displaystyle \sigma _{-1}(n)}$dónde${\displaystyle \sigma _{k}}$denota una función divisora ​​con${\displaystyle \sigma _{k}(n)}$igual a la suma de las potencias k -ésimas de los divisores de n .

Los números del 1 al 5 son todos solitarios. El número amigo más pequeño es el 6, formando, por ejemplo, el par amigo 6 y 28 con abundancia σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, igual que σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. El valor compartido 2 es un entero en este caso, pero no en muchos otros. Los números con abundancia 2 también se conocen como números perfectos . Existen varios problemas sin resolver relacionados con los números amigos.

A pesar de la similitud en el nombre, no existe una relación específica entre los números amistosos y los números amigables o los números sociables , aunque las definiciones de estos dos últimos también incluyen la función divisor.

Como otro ejemplo, 30 y 140 forman un par amigable, porque 30 y 140 tienen la misma abundancia: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.}$

Los números 2480, 6200 y 40640 también pertenecen a este club, ya que cada uno tiene una abundancia igual a 12/5.

Como ejemplo de números impares que son amigables, consideremos 135 y 819 (abundancia 16/9 ( deficiente )). También hay casos de números pares que son amigables con los impares, como 42, 3472, 56896, ... (secuencia A347169 en el OEIS ) y 544635 (abundancia de 16/7). El amigo impar puede ser menor que el par, como en 84729645 y 155315394 (abundancia de 896/351), o en 6517665, 14705145 y 2746713837618 (abundancia de 64/27).

Un número cuadrado puede ser amigable; por ejemplo, tanto 693479556 (el cuadrado de 26334) como 8640 tienen una abundancia de 127/36 (este ejemplo se atribuye a Dean Hickerson).

Estado para n pequeño

En la tabla siguiente, los números azules son comprobados como amistosos (secuencia A074902 en el OEIS ) , los números rojos son comprobados como solitarios (secuencia A095739 en el OEIS ) , números n tales que n y${\displaystyle \sigma (n)}$Los números coprimos (secuencia A014567 en el OEIS ) se dejan sin color, aunque se sabe que son solitarios. Otros números (por ejemplo, 10, ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} 14, ^{[ 7 ]} 15, ^{[ 8 ]} 20 ^{[ 9 ]} ) tienen un estado desconocido y son amarillos.

Un número que pertenece a un club de números únicos, porque ningún otro número es amigo suyo, es un número solitario. Se sabe que todos los números primos son solitarios, al igual que las potencias de números primos. De manera más general, si los números n y σ( n ) son coprimos , lo que significa que el máximo común divisor de estos números es 1, de modo que σ( n )/ n es una fracción irreducible, entonces el número n es solitario (secuencia A014567 en la OEIS ) . Para un número primo p tenemos σ( p ) = p + 1, que es coprimo con p .

No se conoce ningún método general para determinar si un número es amistoso o solitario.

El número más pequeño cuya clasificación se desconoce es el 10; se conjetura que es solitario. Si no lo es, su amigo más pequeño es al menos${\displaystyle 10^{30}}$. ^{[ 10 ] [ 11 ]} J. Ward ^{[ 2 ]} demostró que cualquier entero positivo${\displaystyle n}$distinto de 10 con índice de abundancia${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$debe ser un cuadrado con al menos seis factores primos distintos, siendo el más pequeño 5. Además, al menos uno de los factores primos debe ser congruente con 1 módulo 3 y aparecer con un exponente congruente con 2 módulo 6 en la factorización de potencia prima de${\displaystyle n}$HR (Maya) Thackeray ^{[ 3 ]} aplicó métodos de Nielsen ^{[ 12 ]} para demostrar que cada amigo de 10 tiene al menos 10 factores primos no idénticos. S. Mandal y S. Mandal ^{[ 4 ]} demostraron que si${\displaystyle n}$es amigo de 10 y si${\displaystyle q_{2},q_{3},q_{4}}$son el segundo, tercer y cuarto divisor primo más pequeño de${\displaystyle n}$respectivamente entonces

${\displaystyle 7\leq q_{2}<\left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {7\omega (n)}{3}}\right\rceil {\biggr )},}$

${\displaystyle 11\leq q_{3}<\left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {180\omega (n)}{41}}\right\rceil {\biggr )},}$

${\displaystyle 13\leq q_{4}<\left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {390\omega (n)}{47}}\right\rceil {\biggr )},}$

dónde${\displaystyle \omega (n)}$es el número de divisores primos distintos de${\displaystyle n}$y${\displaystyle \left\lceil \right\rceil }$es la función techo . Posteriormente, S. Mandal ^{[ 6 ]} demostró que para el más pequeño${\displaystyle r}$-th (${\displaystyle r\geq 2}$) divisor primo${\displaystyle q_{r}}$, se cumple el siguiente límite

${\displaystyle q_{r}<\left\lceil {\frac {{\mathcal {A}}\omega (n)}{\mathcal {B}}}\right\rceil {\biggl (}\log \left\lceil {\frac {{\mathcal {A}}\omega (n)}{\mathcal {B}}}\right\rceil +2\log \log \left\lceil {\frac {{\mathcal {A}}\omega (n)}{\mathcal {B}}}\right\rceil {\biggr )},}$

dónde${\displaystyle {\frac {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}}>{\frac {1}{{\dfrac {36}{25}}\prod _{i=4}^{r+1}(1-1/p_{i})-1}},}$(dónde${\displaystyle p_{i}}$es el${\displaystyle i}$-ésimo número primo),${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$son enteros positivos con${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})=1}$y${\displaystyle {\frac {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}}\in \mathbb {Q} ^{+}\setminus \mathbb {Z} ^{+}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {A}}{\mathcal {B}}(r-2)+2{\mathcal {A}}+{\mathcal {B}}>{\mathcal {B}}^{2}}$. Además, S. Mandal ^{[ 5 ]} demostró que no todas las mitades de los exponentes de los divisores primos de un amigo de 10 son congruentes con 1 módulo 3. Además, demostró que si${\displaystyle n=5^{2a}\cdot Q^{2}}$(${\displaystyle Q}$es un entero positivo impar coprimo con 15) es amigo de 10, entonces${\displaystyle \sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})}$es congruente con 6 módulo 8 si y solo si${\displaystyle a}$es par, y${\displaystyle \sigma (5^{2a})+\sigma (Q^{2})}$es congruente con 2 módulo 8 si y solo si${\displaystyle a}$es extraño. Además, estableció que${\displaystyle n>{\frac {25}{81}}\cdot \prod _{i=1}^{\omega (n)}(2a_{i}+1)^{2}}$, En particular${\displaystyle n>625\cdot 9^{\omega (n)-3}}$al establecer${\displaystyle Q=\prod _{i=2}^{\omega (n)}p_{i}^{a_{i}}}$y${\displaystyle a=a_{1}}$, dónde${\displaystyle p_{i}}$son números primos.

Existen números pequeños con un amigo más pequeño relativamente grande: por ejemplo, el 24 es amigable, con su amigo más pequeño 91.963.648. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Sigue siendo un problema abierto si existen clubes infinitamente grandes de números mutuamente afines. Los números perfectos forman un club, y se conjetura que existen infinitos números perfectos (al menos tantos como primos de Mersenne ), pero no se conoce ninguna prueba. Hay clubes con más miembros conocidos: en particular, los formados por números perfectos múltiples , cuya abundancia es un número entero. Aunque se sabe que algunos son bastante grandes, se conjetura que los clubes de números perfectos múltiples (excluyendo los números perfectos en sí) son finitos.

Cada par a , b de números amigos da lugar a una proporción positiva de todos los números naturales que son amigos (pero en diferentes clubes), al considerar pares na , nb para multiplicadores n con mcd ( n , ab ) = 1. Por ejemplo, el par amigo "primitivo" 6 y 28 da lugar a pares amigos 6n y 28n para todo n que sea congruente con 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 o 41 módulo 42. ^{[ 13 ]}

Esto demuestra que la densidad natural de los números amistosos (si existe) es positiva.

Anderson y Hickerson propusieron que la densidad debería ser de hecho 1 (o equivalentemente que la densidad de los números solitarios debería ser 0). ^{[ 13 ]} Según el artículo de MathWorld sobre el número solitario (véase la sección de Referencias más abajo), esta conjetura no se ha resuelto, aunque Pomerance pensó en un momento que la había refutado.

• Grime, James. Un vídeo sobre el número 10. Numberphile .
• Weisstein, Eric W. "Número amigable" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Pareja amistosa" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Número solitario" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Abundancia" . MathWorld .