Derivado de Fox

En matemáticas , la derivada de Fox es una construcción algebraica de la teoría de grupos libres que guarda muchas similitudes con la derivada convencional del cálculo . La derivada de Fox y conceptos relacionados se conocen comúnmente como cálculo de Fox o (término original de Fox) cálculo diferencial libre . La derivada de Fox fue desarrollada en una serie de cinco artículos por el matemático Ralph Fox , publicados en Annals of Mathematics a partir de 1953.

Si${\displaystyle G}$es un grupo libre con elemento de identidad${\displaystyle e}$y generadores${\displaystyle g_{i}}$, entonces la derivada de Fox con respecto a${\displaystyle g_{i}}$es una función de${\displaystyle G}$en el anillo del grupo integral${\displaystyle \mathbb {Z} G}$que se denota${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}}$y obedece a los siguientes axiomas :

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(g_{j})=\delta _{ij}}$, dónde${\displaystyle \delta _{ij}}$es el delta de Kronecker
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(e)=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(uv)={\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)+u{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(v)}$para cualquier elemento${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$de${\displaystyle G}$.

Los dos primeros axiomas son idénticos a propiedades similares de la derivada parcial del cálculo, y el tercero es una versión modificada de la regla del producto . Como consecuencia de los axiomas, tenemos la siguiente fórmula para inversas:

• ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u^{-1})=-u^{-1}{\frac {\partial }{\partial g_{i}}}(u)}$para cualquier elemento${\displaystyle u}$de${\displaystyle G}$.

La derivada de Fox tiene aplicaciones en la cohomología de grupos , la teoría de nudos y la teoría de espacios de recubrimiento , entre otras áreas de las matemáticas.

• polinomio de Alexander
• Grupo libre
• Anillo (matemáticas)
• Dominio integral
• Derivación (álgebra diferencial)

• Brown, Kenneth S. (1972). Cohomología de grupos . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  87. Springer Verlag . ISBN 0-387-90688-6MR 0672956 .​ 
• Fox, Ralph (mayo de 1953). "Cálculo diferencial libre, I: Derivación en el anillo de grupo libre". Annals of Mathematics . 57 (3): 547– 560. doi : 10.2307/1969736 . JSTOR 1969736. MR 0053938 .  
• Fox, Ralph (marzo de 1954). "Cálculo diferencial libre, II: El problema del isomorfismo de grupos". Annals of Mathematics . 59 (2): 196– 210. doi : 10.2307/1969686 . JSTOR 1969686. MR 0062125 .  
• Fox, Ralph (noviembre de 1956). "Cálculo diferencial libre, III : subgrupos". Annals of Mathematics . 64 (2): 407– 419. doi : 10.2307/1969592 . JSTOR 1969592. MR 0095876 .  
• Chen, Kuo-Tsai ; Ralph Fox; Roger Lyndon (julio de 1958). "Cálculo diferencial libre, IV: Los grupos cociente de la serie central inferior". Annals of Mathematics . 68 (1): 81– 95. doi : 10.2307/1970044 . JSTOR 1970044. MR 0102539 .  
• Fox, Ralph (mayo de 1960). "Cálculo diferencial libre, V: Las matrices de Alexander reexaminadas". Annals of Mathematics . 71 (3): 408– 422. doi : 10.2307/1969936 . JSTOR 1969936. MR 0111781 .