Morfismo formalmente étale

En álgebra conmutativa y geometría algebraica , un morfismo se denomina formalmente étale si tiene una propiedad de elevación que es análoga a ser un difeomorfismo local .

Sea A un anillo topológico y B un álgebra topológica A. Entonces B es formalmente étale si para todas las álgebras discretas A C , todos los ideales nilpotentes J de C y todos los homomorfismos continuos A u  : B → C / J , existe una única aplicación continua de álgebra A v  : B → C tal que u = pv , donde p  : C → C / J es la proyección canónica. ^{[ 1 ]}

Formalmente étale es equivalente a formalmente suave más formalmente no ramificado . ^{[ 2 ]}

Dado que el haz estructural de un esquema naturalmente solo contiene la topología discreta, la noción de formalmente étale para esquemas es análoga a formalmente étale para la topología discreta de anillos. Es decir, un morfismo de esquemas f  : X → Y es formalmente étale si para cada esquema afín Y Z , cada haz nilpotente de ideales J sobre Z con i  : Z ₀ → Z siendo la inmersión cerrada determinada por J , y cada morfismo Y g  : Z ₀ → X , existe un único morfismo Y s  : Z → X tal que g = si . ^{[ 3 ]}

Es equivalente a que Z sea cualquier esquema Y y que J sea un haz localmente nilpotente de ideales sobre Z. ^{[ 4 ]}

• Las inmersiones abiertas son formalmente étale. ^{[ 5 ]}
• La propiedad de ser formalmente étale se conserva bajo compuestos, cambio de base y productos fibrosos . ^{[ 6 ]}
• Si f  : X → Y y g  : Y → Z son morfismos de esquemas, g es formalmente no ramificado y gf es formalmente étale, entonces f es formalmente étale. En particular, si g es formalmente étale, entonces f es formalmente étale si y solo si gf lo es. ^{[ 7 ]}
• La propiedad de ser formalmente étale es local en la fuente y el destino. ^{[ 8 ]}
• La propiedad de ser formalmente étale se puede comprobar en tallos. Se puede demostrar que un morfismo de anillos f  : A → B es formalmente étale si y solo si para cada primo Q de B , el mapa inducido A → B _Q es formalmente étale. ^{[ 9 ]} En consecuencia, f es formalmente étale si y solo si para cada primo Q de B , el mapa A _P → B _Q es formalmente étale, donde P = f ^{− 1} ( Q ) .

• Las localizaciones son formalmente étale.
• Las extensiones de cuerpos separables finitas son formalmente étale. De manera más general, cualquier A -álgebra B plana separable (conmutativa) es formalmente étale. ^{[ 10 ]}

• Formalmente no ramificado
• Formalmente liso
• Morfismo étale

• Ford, Timothy J. (2017), Álgebras separables , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, MR 3618889 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi : 10.1007/bf02684747 . SEÑOR 0173675 . 
• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi : 10.1007/bf02732123 . SEÑOR 0238860 .