Teoría (lógica matemática)

Una teoría${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es una subteoría de una teoría${\displaystyle {\mathcal {T}}}$si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es un subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Si${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es un subconjunto de${\displaystyle {\mathcal {S}}}$entonces${\displaystyle {\mathcal {S}}}$se denomina extensión o superteoría de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Se dice que una teoría es una teoría deductiva si${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es una clase inductiva , lo que significa que su contenido se basa en algún sistema deductivo formal y que algunas de sus proposiciones elementales se toman como axiomas . En una teoría deductiva, cualquier enunciado que sea consecuencia lógica de uno o más de los axiomas es también un enunciado de esa teoría. ^{[ 1 ]} Más formalmente, si${\displaystyle \vdash }$es una relación de consecuencia al estilo Tarski , entonces${\displaystyle {\mathcal {T}}}$está cerrado bajo${\displaystyle \vdash }$(y por lo tanto cada uno de sus teoremas es una consecuencia lógica de sus axiomas) si y solo si, para todas las oraciones${\displaystyle \phi }$en el lenguaje de la teoría${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, si${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \phi }$, entonces${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$; o, equivalentemente, si${\displaystyle {\mathcal {T}}'}$es un subconjunto finito de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$(posiblemente el conjunto de axiomas de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$en el caso de teorías finitamente axiomatizables) y${\displaystyle {\mathcal {T}}'\vdash \phi }$, entonces${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}'}$y por lo tanto${\displaystyle \phi \in {\mathcal {T}}}$.

Una teoría sintácticamente consistente es aquella que no permite demostrar todas las oraciones del lenguaje subyacente (con respecto a algún sistema deductivo , lo cual suele ser evidente por el contexto). En un sistema deductivo (como la lógica de primer orden) que satisface el principio de explosión , esto equivale a exigir que no exista ninguna oración φ tal que tanto φ como su negación puedan demostrarse a partir de la teoría.

Una teoría satisfacible es aquella que posee un modelo . Esto significa que existe una estructura M que satisface cada oración de la teoría. Toda teoría satisfacible es sintácticamente consistente, ya que la estructura que la satisface cubrirá exactamente una de las proposiciones φ y su negación, para cada oración φ.

Una teoría consistente se define a veces como una teoría sintácticamente consistente, y otras veces como una teoría satisfacible. Para la lógica de primer orden , el caso más importante, se deduce del teorema de completitud que ambos significados coinciden. ^{[ 2 ]} En otras lógicas, como la lógica de segundo orden , existen teorías sintácticamente consistentes que no son satisfacibles, como las teorías ω-inconsistentes .

Una teoría completa y consistente (o simplemente una teoría completa ) es una teoría consistente .${\displaystyle {\mathcal {T}}}$de tal manera que para cada oración φ en su lenguaje, o bien φ es demostrable a partir de${\displaystyle {\mathcal {T}}}$o${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle \cup }${φ} es inconsistente. Para teorías cerradas bajo consecuencia lógica, esto significa que para cada sentencia φ, o bien φ o su negación están contenidas en la teoría. ^{[ 3 ]} Una teoría incompleta es una teoría consistente que no está completa.

(Véase también la teoría ω-consistente para una noción más fuerte de consistencia).

Una interpretación de una teoría es la relación entre una teoría y un tema de estudio cuando existe una correspondencia de muchos a uno entre ciertos enunciados elementales de la teoría y ciertos enunciados relacionados con el tema. Si cada enunciado elemental de la teoría tiene un correspondiente, se denomina interpretación completa ; de lo contrario, se denomina interpretación parcial . ^{[ 4 ]}

Cada estructura tiene varias teorías asociadas. La teoría completa de una estructura A es el conjunto de todas las sentencias de primer orden sobre la signatura de A que son satisfechas por A. Se denota por Th( A ). De forma más general, la teoría de K , una clase de σ-estructuras, es el conjunto de todas las σ-sentencias de primer orden que son satisfechas por todas las estructuras en K , y se denota por Th( K ). Claramente, Th( A ) = Th({ A }). Estas nociones también pueden definirse con respecto a otras lógicas.

Para cada σ-estructura A , existen varias teorías asociadas en una signatura mayor σ' que extiende σ agregando un nuevo símbolo constante para cada elemento del dominio de A. (Si los nuevos símbolos constantes se identifican con los elementos de A que representan, σ' puede tomarse como σ${\displaystyle \cup }$A.) La cardinalidad de σ' es , por lo tanto, la mayor entre la cardinalidad de σ y la cardinalidad de A.

El diagrama de A consiste en todas las sentencias σ' atómicas o negadas atómicas que satisface A y se denota por diag _A. El diagrama positivo de A es el conjunto de todas las sentencias σ' atómicas que satisface A. Se denota por diag ⁺ _A. El diagrama elemental de A es el conjunto eldiag _A de todas las sentencias σ' de primer orden que satisface A o, equivalentemente, la teoría completa (de primer orden) de la expansión natural de A a la signatura σ'.

Existen muchos sistemas de derivación formal ("demostración") para la lógica de primer orden. Estos incluyen sistemas deductivos al estilo de Hilbert , deducción natural , cálculo de secuentes , método de tableaux y resolución .

Una fórmula A es una consecuencia sintáctica de una teoría de primer orden.${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$si existe una derivación de A utilizando únicamente fórmulas en${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$como axiomas no lógicos. Dicha fórmula A también se denomina teorema de${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$. La notación "${\displaystyle {\mathcal {QS}}\vdash A}$" indica que A es un teorema de${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$.

Una interpretación de una teoría de primer orden proporciona una semántica para las fórmulas de la teoría. Se dice que una interpretación satisface una fórmula si la fórmula es verdadera según la interpretación. Un modelo de una teoría de primer orden${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$es una interpretación en la que cada fórmula de${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$está satisfecho.

Una teoría de primer orden${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$es una teoría de primer orden con identidad si${\displaystyle {\mathcal {QS}}}$incluye el símbolo de relación de identidad "=" y los esquemas de axioma de reflexividad y sustitución para este símbolo.

• Teorema de compacidad
• Conjunto consistente
• Teorema de deducción
• El lema de Lindenbaum
• Teorema de Löwenheim-Skolem