Retención de primer orden

La retención de primer orden ( FOH ) es un modelo matemático de la reconstrucción práctica de señales muestreadas que se puede realizar mediante un convertidor digital-analógico (DAC) convencional y un circuito analógico llamado integrador . En la FOH, la señal se reconstruye como una aproximación lineal por partes de la señal original muestreada. Un modelo matemático como la FOH (o, más comúnmente, la retención de orden cero ) es necesario porque, en el teorema de muestreo y reconstrucción , una secuencia de impulsos de Dirac , x _s ( t ), que representan las muestras discretas, x ( nT ), se filtra paso bajo para recuperar la señal original muestreada, x ( t ). Sin embargo, la función de impulso de Dirac es una abstracción matemática que no se puede manifestar en la realidad, y generar una secuencia de impulsos que se aproximen a los impulsos de Dirac es poco práctico. En cambio, se pueden implementar dispositivos, utilizando un DAC convencional y algún circuito analógico lineal, para reconstruir la salida lineal por partes para la FOH predictiva o retardada.

Aunque esto no es lo que se hace físicamente, se puede generar una salida idéntica aplicando la secuencia hipotética de impulsos de Dirac, x _s ( t ), a un sistema lineal invariante en el tiempo , también conocido como filtro lineal con tales características (que, para un sistema LTI, están completamente descritas por la respuesta al impulso ) de modo que cada impulso de entrada dé como resultado la función lineal a trozos correcta en la salida.

El filtro de retención de primer orden es el filtro hipotético o sistema LTI que convierte la señal muestreada idealmente.

a la señal lineal por partes

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\ }$

lo que resulta en una respuesta impulsional efectiva de

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{si }}|t|<T\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}\ }$

dónde${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$es la función triangular .

La respuesta en frecuencia efectiva es la transformada de Fourier continua de la respuesta impulsional.

dónde${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\ }$es la función sinc normalizada .

La función de transferencia de la transformada de Laplace de FOH se obtiene sustituyendo s = i⋅2πf :

Se trata de un sistema acausal, ya que la función de interpolación lineal se mueve hacia el valor de la siguiente muestra antes de que dicha muestra se aplique al hipotético filtro FOH.

La retención de primer orden retardada , a veces llamada retención causal de primer orden , es idéntica a la FOH descrita anteriormente, excepto que su salida se retrasa un período de muestreo, lo que resulta en una señal de salida lineal por partes retardada.

${\displaystyle x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {tT-nT}{T}}\right)\ }$

lo que resulta en una respuesta impulsional efectiva de

${\displaystyle h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {tT}{T}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|tT|}{T}}\right)&{\mbox{si }}|tT|<T\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}\ }$

dónde${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$es la función triangular .

La respuesta en frecuencia efectiva es la transformada de Fourier continua de la respuesta impulsional.

dónde${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}$es la función sinc .

La función de transferencia de la transformada de Laplace del FOH retardado se obtiene sustituyendo s = i⋅2πf :

La salida retardada convierte esto en un sistema causal . La respuesta impulsional del FOH retardado no responde antes del impulso de entrada.

Este tipo de reconstrucción lineal por partes retardada es físicamente realizable mediante la implementación de un filtro digital de ganancia H ( z ) = 1 − z ⁻¹ , aplicando la salida de ese filtro digital (que es simplemente x [ n ]− x [ n −1]) a un convertidor digital-analógico convencional ideal (que tiene un retenedor de orden cero inherente como su modelo) e integrando (en tiempo continuo, H ( s ) = 1/( sT )) la salida del DAC.

Por último, la retención predictiva de primer orden es bastante diferente. Se trata de un sistema o filtro LTI hipotético causal que convierte la señal muestreada idealmente.

en una salida lineal por partes, de modo que la muestra actual y la muestra inmediatamente anterior se utilizan para extrapolar linealmente hasta la siguiente instancia de muestreo. La salida de dicho filtro sería

lo que resulta en una respuesta impulsional efectiva de

dónde${\displaystyle \mathrm {rect} (x)\ }$es la función rectangular y${\displaystyle \mathrm {tri} (x)\ }$es la función triangular .

La respuesta en frecuencia efectiva es la transformada de Fourier continua de la respuesta impulsional.

dónde${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\ }$es la función sinc .

La función de transferencia de la transformada de Laplace del FOH predictivo se obtiene sustituyendo s = i 2 π f :

Este es un sistema causal . La respuesta impulsional del FOH predictivo no responde antes del impulso de entrada.

Este tipo de reconstrucción lineal por partes se puede realizar físicamente implementando un filtro digital de ganancia H ( z ) = 1 − z ⁻¹ , aplicando la salida de ese filtro digital (que es simplemente x [ n ]− x [ n −1]) a un convertidor digital-analógico convencional ideal (que tiene un retenedor de orden cero inherente como su modelo) y aplicando esa salida del DAC a un filtro analógico con función de transferencia H ( s ) = (1+ sT )/( sT ).

• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• retención de orden cero
• interpolación bilineal

• Sankar, Krishna (2007). "Interpolación basada en retención de orden cero y retención de primer orden" . Procesamiento de señales dspLog para comunicaciones .