Álgebra generada finitamente

En matemáticas , un álgebra finitamente generada (también llamada álgebra de tipo finito ) sobre un anillo (conmutativo)${\displaystyle R}$o un número finitamente generado${\displaystyle R}$El álgebra, abreviadamente, es un álgebra asociativa conmutativa.${\displaystyle A}$definido por homomorfismo de anillos${\displaystyle f:R\to A}$, de tal manera que cada elemento de${\displaystyle A}$puede expresarse como un polinomio en un número finito de generadores${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$con coeficientes en${\displaystyle f(R)}$Dicho de otro modo, hay una sobreyectiva.${\displaystyle R}$- homomorfismo algebraico del anillo de polinomios${\displaystyle R[X_{1},\dots ,X_{n}]}$a${\displaystyle A}$.

Si${\displaystyle K}$es un campo , considerado como una subálgebra de${\displaystyle A}$, y${\displaystyle f}$es la inyección natural${\displaystyle K\hookrightarrow A}$, entonces un${\displaystyle K}$-El álgebra de tipo finito es un álgebra asociativa conmutativa.${\displaystyle A}$donde existe un conjunto finito de elementos${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$de tal manera que cada elemento de${\displaystyle A}$puede expresarse como un polinomio en${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$, con coeficientes en${\displaystyle K}$.

De forma equivalente, existen elementos${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$de tal manera que el homomorfismo de evaluación en${\displaystyle {\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A}$

es sobreyectiva ; por lo tanto, aplicando el primer teorema de isomorfismo ,${\displaystyle A\cong K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})}$.

En cambio ,${\displaystyle A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$para cualquier ideal${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]}$es un${\displaystyle K}$-álgebra de tipo finito, de hecho cualquier elemento de${\displaystyle A}$es un polinomio en las clases laterales${\displaystyle a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n}$con coeficientes en${\displaystyle K}$Por lo tanto, obtenemos la siguiente caracterización de los generados finitamente${\displaystyle K}$-álgebras: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle A}$es un finito generado${\displaystyle K}$-álgebra si y solo si es isomorfa como${\displaystyle K}$-álgebra a un anillo cociente del tipo${\displaystyle K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I}$por un ideal${\displaystyle I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}].}$

Las álgebras que no son finitamente generadas se denominan infinitamente generadas .

Un anillo finitamente generado se refiere a un anillo que es finitamente generado cuando se considera como un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-álgebra.

Un álgebra finitamente generada ( de tipo finito ) no debe confundirse con un álgebra finita (véase más abajo). Un álgebra finita sobre${\displaystyle R}$es un álgebra asociativa conmutativa${\displaystyle A}$que se genera finitamente como un módulo ; es decir, un${\displaystyle R}$-álgebra definida por homomorfismo de anillos${\displaystyle f:R\to A}$, de tal manera que cada elemento de${\displaystyle A}$puede expresarse como una combinación lineal de un número finito de generadores${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$con coeficientes en${\displaystyle f(R)}$Esta es una condición más fuerte que${\displaystyle A}$ser expresable como un polinomio en un conjunto finito de generadores en el caso de que el álgebra sea finitamente generada.

• El álgebra polinómica${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$es finitamente generado. El álgebra de polinomios en infinitos generadores numerables es infinitamente generada.
• El anillo de polinomios de coeficientes reales${\displaystyle {\mathbb {R}}[x]}$se genera de forma finita sobre${\displaystyle {\mathbb {R}}}$pero no termina${\displaystyle {\mathbb {Q}}}$.
• El campo${\displaystyle E=K(t)}$de funciones racionales en una variable sobre un campo infinito${\displaystyle K}$no es un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle K}$. Por otro lado,${\displaystyle E}$se genera sobre${\displaystyle K}$por un solo elemento,${\displaystyle t}$, como un campo .
• Si${\displaystyle E/F}$es una extensión de cuerpo finito entonces se deduce de las definiciones que${\displaystyle E}$es un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle F}$.
• Por el contrario, si${\displaystyle E/F}$es una extensión de campo y${\displaystyle E}$es un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle F}$Entonces la extensión del cuerpo es finita. Esto se conoce como el lema de Zariski . Véase también extensión integral .
• Si${\displaystyle G}$es un grupo finitamente generado entonces el álgebra de grupo${\displaystyle KG}$es un álgebra finitamente generada sobre${\displaystyle K}$.

• Una imagen homomórfica de un álgebra finitamente generada también es finitamente generada. Sin embargo, una propiedad similar para subálgebras no se cumple en general.
• Teorema de la base de Hilbert : si${\displaystyle A}$es un álgebra conmutativa finitamente generada sobre un anillo noetheriano entonces cada ideal de A es finitamente generado, o equivalentemente,${\displaystyle A}$es un anillo noetheriano.

Las álgebras conmutativas reducidas finitamente generadas son objetos básicos de estudio en la geometría algebraica moderna , donde corresponden a variedades algebraicas afines ; por esta razón, estas álgebras también se denominan álgebras afines (conmutativas) . Más precisamente, dado un conjunto algebraico afín${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$podemos asociar un número finitamente generado${\displaystyle K}$-álgebra

${\displaystyle \Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)}$

llamado anillo de coordenadas afines de${\displaystyle V}$; además, si${\displaystyle \phi \dos puntos V\a W}$es una aplicación regular entre los conjuntos algebraicos afines${\displaystyle V\subseteq \mathbb {A} ^{n}}$y${\displaystyle W\subseteq \mathbb {A} ^{m}}$, podemos definir un homomorfismo de${\displaystyle K}$-álgebras

${\displaystyle \Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,}$

entonces,${\displaystyle \Gamma }$es un functor contravariante de la categoría de conjuntos algebraicos afines con aplicaciones regulares a la categoría de conjuntos finitamente generados reducidos${\displaystyle K}$-álgebras: este functor resulta ^{[ 2 ]} ser una equivalencia de categorías

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{conjuntos algebraicos afines}})^{\rm {opp}}\to ({\text{K{\text{-álgebras}} finitamente generadas reducidas}}),}$

y, restringiéndonos a variedades afines (es decir, conjuntos algebraicos afines irreducibles ),

${\displaystyle \Gamma \colon ({\text{variedades algebraicas afines}})^{\rm {opp}}\to ({\text{K{\text{-álgebras}} integrales finitamente generadas}}).}$

Recordemos que una conmutativa${\displaystyle R}$- álgebra${\displaystyle A}$es un homomorfismo de anillos${\displaystyle \phi \colon R\to A}$; el${\displaystyle R}$- estructura del módulo de${\displaystyle A}$se define por

${\displaystyle \lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.}$

Un${\displaystyle R}$-álgebra${\displaystyle A}$se denomina finito si se genera finitamente como un${\displaystyle R}$-módulo, es decir, existe un homomorfismo sobreyectivo de${\displaystyle R}$-módulos

${\displaystyle R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.}$

Nuevamente, existe una caracterización de las álgebras finitas en términos de cocientes: ^{[ 3 ]}

Un${\displaystyle R}$-álgebra${\displaystyle A}$es finito si y solo si es isomorfo a un cociente${\displaystyle R^{\oplus _{n}}/M}$por un${\displaystyle R}$- submódulo${\displaystyle M\subsetequ R}$.

Por definición, un finito${\displaystyle R}$El álgebra es de tipo finito, pero lo contrario es falso: el anillo de polinomios${\displaystyle R[X]}$es de tipo finito pero no finito. Sin embargo, si un${\displaystyle R}$-álgebra es de tipo finito e integral , entonces es finita. Más precisamente,${\displaystyle A}$es un finito generado${\displaystyle R}$-módulo si y solo si${\displaystyle A}$se genera como un${\displaystyle R}$-álgebra por un número finito de elementos integral sobre${\displaystyle R}$.

Las álgebras finitas y las álgebras de tipo finito están relacionadas con las nociones de morfismos finitos y morfismos de tipo finito .

• Módulo generado de forma finita
• Extensión de campo generada finitamente
• Lema de Artin-Tate
• lema de normalización de Noether
• Álgebra finita
• Morfismo de tipo finito